精品解析：2025年四川省德阳市绵竹市中考第二次诊断考试数学试题

绵竹市2025年九年级第二次诊断考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 3. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天我市有雨 B. 打开电视机，它正在播广告 C. 你的年龄比你亲生父亲年龄小 D. 中秋节的晚上，我们都能看见圆月 6. 学校食堂有10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ） A. 9.9元 B. 10.9元 C. 11元 D. 11.2元 7. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A. B. C. D. 8. 已知的三边，，满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（ ） A. 13 B. C. D. 11 10. 如图，中，，，，是的外接圆，为圆上一点，连接且，过点作的切线与的延长线交于点，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 11. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 12. 二次函数（）的图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若，则__________． 14. 国产动画片《哪吒之魔童闹海》火遍全球，目前票房收入达亿元，将数据亿元用科学记数法表示为_____元． 15. 关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是__________. 16. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 17. 如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________． 18. 如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_____． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°； （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 如图，在中，，过点A作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，求的长． 24. 为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同． （1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用． 25. 已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，且，求的长． 26. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵竹市2025年九年级第二次诊断考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥． 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 2. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，掌握比较有理数大小的方法是关键．根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：A． 3. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天我市有雨 B. 打开电视机，它正在播广告 C. 你的年龄比你亲生父亲年龄小 D. 中秋节的晚上，我们都能看见圆月 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，即可解答，理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、明天我市有雨为随机事件，故不符合题意； B、打开电视机，它正在播广告为随机事件，故不符合题意； C、你的年龄比你亲生父亲年龄小为必然事件，符合题意； D、中秋节的晚上，我们都能看见圆月为随机事件，故不符合题意； 故选：C． 6. 学校食堂有10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ） A. 9.9元 B. 10.9元 C. 11元 D. 11.2元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】由扇形统计图，知当天10元价位的午餐销售占比为40%，因此当天学生购买午餐的平均费用是（元）， 故选：B． 7. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵， 依题意，得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 已知的三边，，满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先证明，进而得出，即可判断的形状． 【详解】解：∵的三边，，， ∴， ∵， ∴， ， a、b、c是的三边， ， ， 的形状为等腰三角形， 故选：C． 9. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（ ） A. 13 B. C. D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，中，，，，是的外接圆，为圆上一点，连接且，过点作的切线与的延长线交于点，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据得出，则，是等边三角形，得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线 ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的定义，弧与弦的关系，等弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，过点作交的延长线于点，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 由作图可知平分， ， 是等边三角形， ，， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，，， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查作图—垂直平分线、角平分线，线段垂直平分线、角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 12. 二次函数（）的图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．由二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．可得，则，由或，故①不符合题意；由顶点坐标为：，即，可得过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．可得抛物线与轴的另一个交点为：；把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线（）；再结合函数图像可得关于的不等式的解集为；故③符合题意；当，实数时，，，如图，可得点，中点与对称轴的距离较近，可得．故④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：二次函数（）的图像与轴交于点， 对称轴为直线． ， ，则， ∵或，故①不符合题意； 对称轴为直线． 顶点坐标为：，即， 过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意； 当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线． 抛物线与轴的另一个交点为：； 把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线 （）； 如图， 而的解集为：， 的解集为：， 即关于的不等式的解集为；故③符合题意； 当，实数时，，如图， 点，中点与对称轴的距离较近， ．故④符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若，则__________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方法则，利用同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，即可求解．掌握上述法则的逆运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：27． 14. 国产动画片《哪吒之魔童闹海》火遍全球，目前票房收入达亿元，将数据亿元用科学记数法表示为_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，把亿用科学记数法表示，小数点需要向左移动位，所以的指数是. 【详解】解：亿． 故答案为：． 15. 关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解．根据分式方程的解以及增根的意义即可确定的取值范围． 【详解】解：关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于关于的分式方程的解是非负数， ， 即， 又因为分式方程的增根是， 当时，即， 解得， 的取值范围是且． 故答案为：且． 16. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 17. 如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据平移的性质和中点的定义得出的长度，在中利用勾股定理求出的长，利用锐角三角函数求出的度数，进而求出和，最后根据计算即可 【详解】解：连接，  点是的中点，，  ，  扇形沿方向平移得到扇形，  ，即， 在中，，  ，  ，  ，  ，  ，  阴影部分的面积   ． 18. 如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【详解】解：如图， 在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图： 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后再依次计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，正确掌握零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ； 当时， 原式． 21. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°； （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）300，54 （2）约有1750人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关知识，用样本估计总体，用树状图以及列表法求概率等知识． （1）结合频数分布直方图和扇形统计图，根据B组人数除以B组的占比，即可求出抽查的学生人数，用乘以“E”组人数的占比即可求出“E”组所对应的圆心角度数． （2）先求出C等级人数，再用总体乘以C等级人数占比即可． （3）列出表格，然后找出总的情况以及恰好抽到一名男生和一名女生的情况，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 随机抽查的学生共有（人）， 扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为， 故答案为：300，54； 【小问2详解】 C等级人数为（人）， （人）， 答：估计等级为C的学生约有1750人； 【小问3详解】 根据题意，列表如下： 女 女 女 男 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 男 女，男 女，男 女，男 从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或． 23. 如图，在中，，过点A作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ，且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识： （1）通过，平分，可得，等量代换可得，结合可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得，根据直角三角形得到，设，则，由勾股定理求得，从而列得关于x的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ，菱形中， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 的长为3． 24. 为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同． （1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元 （2）当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元 【解析】 【分析】（1）设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列方程求解即可； （2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．先根据“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，根据 题意列出W与x 的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出W的最小值。 本题主要考差了列分式方程解应用题，以及一元一次不等式和一次函数的实际应用。根据题意找出等量关系和不等量关系是解题的关键。 【小问1详解】 解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元． 【小问2详解】 解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个． 根据题意，得， 解得； 设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则， ， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W的值最小，，此时（个）， ∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元． 25. 已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点D作于F； 为的切线， ， ， 平分，， ， 与相切； （2） 证明：在和中， ， （）， ， 为的切线，与相切， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，切线长定理等； （1）过点D作于F，由切线的性质得，由角平分线的性质定理得，即可求证； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，由线段的和差即可得证； （3）由（2）可知，，等量代换得，设，，由勾股定理得，求出的值后，可求出、，进而求出的值，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解． 掌握切线的判定方法∶“作垂直，证半径”，并能熟练利用全等三角形的判定方法及性质、相似三角形的判定方法及性质，用勾股定理求解是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， ， ， 设，， ， ， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 26. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2）点的坐标为 （3）存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、三角形面积最大值求解以及利用几何构造求线段和的最小值． （1）通过代入已知点坐标，求出解析式及顶点坐标； （2）作轴，交于点，设设，计算的长度，利用三角形面积公式求解．当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，通过构造含角的直角三角形，利用几何性质求解的最小值．当A、Q、N三点共线时，取得最小值，计算得到最小值为． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线解析式为，其中， 点的坐标为， 将代入，解得：， ． 抛物线的解析式为． 对称轴为直线， 将代入，得：． 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：，， 直线的解析式为：． 点在抛物线上，且位于直线下方， 设，其中，． 如图所示，作轴，交于点， ． ． ，，， ． ． 整理可得：，其中． ， 当时，取得最大值． 将代入，得：， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在最小值，理由如下： 如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，， 则，． 在中，． 随着点的运动，总有． ． 要使得取得最小值， 即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值， 此时，，， ， ，． ． ． ． 存在最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $