精品解析：2025年四川省绵阳市涪城区中考三模数学试题

绵阳市涪城区2024-2025学年度九年级中考第三次模拟检测 （九年级数学） 考生注意：本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分为150 分，考试时间为120 分钟． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 3. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. x＞ 1 B. x≠1 C. x≥－1且x≠1 D. x＞－1且x≠1 4. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 某数学兴趣小组同学进行测量大树高度的综合实践活动，如右图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为，然后沿在同一剖面的斜坡行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面的坡度（或坡比），那么大树的高度约为多少？（ ） A. 18米 B. 13米 C. 12米 D. 5米 9. 如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 11. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. 分解因式：_____________________． 14. 如图，，点E在上，．若，则的度数是____ 15. 不等式的最大正整数解是______． 16. “三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是_______ 17. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__． 18. 如图，是边长为4的正三角形的外接圆，D为上的一动点，过点A作直线的垂线．垂足为E，连接．设的长为x，则x的取值范围为________ 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选-种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了多少人？在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是多少？ （2）将条形统计图补充完整，并回答：支付方式的“众数”是 （3）利用这次的调查结果，估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数． 20. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积． 21. 如图，与直线l相离，于点，交于点，过点作的切线，切点为，连接并延长交直线于点． （1）求证：； （2）若的半径为3，，求的长． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 23. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N． （1）求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）． （2）当时，求的长． （3）试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． （3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市涪城区2024-2025学年度九年级中考第三次模拟检测 （九年级数学） 考生注意：本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分为150 分，考试时间为120 分钟． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除， 先判断是否是同类项解答A，再根据合并同类项法则解答B，然后根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解答C，最后根据同底数幂相除底数不变，指数相减解答D． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 3. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. x＞ 1 B. x≠1 C. x≥－1且x≠1 D. x＞－1且x≠1 【答案】C 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数；要使分式有意义，则必须满足分式的分母不为零. 【详解】根据题意可得：，解得：. 【点睛】本题考查代数式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数，分式的分母不为0是关键. 4. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是 故选C． 考点：简单几何体的三视图． 5. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴且， 故选：． 7. 某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设A种产x件，B种产品件，根据题意列出不等式组，解不等式组求出x值，从而得出方案数． 【详解】解：设A种产x件，B种产品件， ， ， 因为x为整数， 所以，31，32 所以有3种方案 方案1，A产品30件，B产品20件； 方案2，A产品31件，B产品19件； 方案3，A产品32件，B产品18件． 有3种方案． 故选：B． 8. 某数学兴趣小组同学进行测量大树高度的综合实践活动，如右图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为，然后沿在同一剖面的斜坡行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面的坡度（或坡比），那么大树的高度约为多少？（ ） A. 18米 B. 13米 C. 12米 D. 5米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是构造出直角三角形，运用勾股定理和锐角三角函数来解决问题． 作于F，在中，运用勾股定理，根据各边的数量关系求得的长度，就可得到的长度． 【详解】解：作于F，如图所示： 则米，． ∵斜面的坡度， ∴． 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴米，米， ∴米． 在中，米， ∴米． 故选：B 9. 如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点I作于E，于E，连接、、，根据勾股定理求出，，根据内心性质得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点I作于E，于E，连接、、，如图所示： 在中，∵，，， ∴， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了直角三角形的内心的概念及性质，勾股定理．熟练掌握三角形内心的特点是解题的关键． 11. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，利用“”证明，利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断①；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和可判定②；利用含30度角的直角三角形性质以及全等三角形的性质可判定③；运用勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∴； 故①符合题意； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， 即平分， 故②符合题意； ∵平分，且， ∴ 则， ∴，， ∵， 则， 即， 故③符合题意； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 12. 如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可． 【详解】对称轴为直线，经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ，故A选项错误； ， ， ，故B选项错误； 抛物线的开口向上， ， 当时，， ， ， ，故C选项错误； 抛物线与轴的交点在点与之间， ， 当时，， ， ， ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. 分解因式：_____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，，点E在上，．若，则的度数是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，先由，得，由得，再根据三角形内角和定理得，，即，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 15. 不等式的最大正整数解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，求不等式的整数解，解题的关键是熟练求出不等式的解集．先求出不等式的解集为，然后得出不等式的最大正整数解即可． 【详解】解：由不等式得：， ∴最大正整数解是：． 故答案为：． 16. “三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了树状图的应用，解题的关键是认真审题画出树状图．画出树状图，根据概率公式计算可得． 【详解】画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，则这三个小孩中至少有一个女孩的有7种结果， ∴则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 故答案为：． 17. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__． 【答案】或 【解析】 【详解】分析：依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长． 详解：分两种情况： ①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4， ∴∠C=30°，AB=AC=+2， 由折叠可得，∠MDN=∠A=60°， ∴∠BDN=30°， ∴BN=DN=AN， ∴BN=AB=， ∴AN=2BN=， ∵∠DNB=60°， ∴∠ANM=∠DNM=60°， ∴∠AMN=60°， ∴AN=MN=； ②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形， 由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°， ∴∠BDN=60°，∠BND=30°， ∴BD=DN=AN，BN=BD， 又∵AB=+2， ∴AN=2，BN=， 过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°， ∴AH=AN=1，HN=， 由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°， ∴△MNH是等腰直角三角形， ∴HM=HN=， ∴MN=， 故答案为或． 点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 18. 如图，是边长为4的正三角形的外接圆，D为上的一动点，过点A作直线的垂线．垂足为E，连接．设的长为x，则x的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质以及勾股定理，根据题意得到点E在以为直径的圆上是解题的关键． 根据，可得点E在以为直径的圆上，作以为直径的圆F，连接，交圆F于点，延长，交圆F于点，则圆F的半径为2，可得当点E与点重合最短时，当点E与点重合最长时，再根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点E在以为直径的圆上， 如图，作以为直径的圆F，连接，交圆F于点，延长，交圆F于点，则圆F的半径为2， ∴当点E与点重合最短时，当点E与点重合最长时， ∵三角形为等边三角形，边长为4， ∴， ∴， ∴，， 即x的取值范围为． 故答案为： 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选-种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了多少人？在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是多少？ （2）将条形统计图补充完整，并回答：支付方式的“众数”是 （3）利用这次的调查结果，估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数． 【答案】（1）200人； （2） 补充完整条形统计图，如图所示： 微信 （3）300人 【解析】 【分析】本题考查了求扇形圆心角，样本估计总体，众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用支付宝，现金，其他支付方式的总人数除以占比，求出这次活动的总人数，再求出“支付宝”支付的扇形圆心角的度数，即可作答． （2）结合众数的概念进行作答即可； （3）运用样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴这次活动共调查了人； 则， ∴在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数是； 【小问2详解】 解：使用银行卡支付方式的人数为（人）， 使用微信支付方式的人数为（人）， 补充完整条形统计图略 ∵微信支付方式的人数为60人，且， ∴支付方式的“众数”是微信， 故答案为：微信； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， ∴估计某商场1200名购物者中用现金支付的人数为300人． 20. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积． 【答案】（1）y＝x﹣4，y＝；（2）32 【解析】 【分析】（1）依据S△AOD=S△ADC=6，可得A（6，2），将A（6，2）代入，可得到反比例函数解析式；将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得一次函数解析式； （2）依据E（0，4），可得CE=8，解方程组，即可得到B（﹣2，﹣6），进而得出△ABE的面积． 【详解】（1）连接AO． ∵AD⊥x轴于点D，设A（a，2），∴AD=2． ∵∠CAD=45°，∴∠AFD=45°，∴FD=AD=2． ∵AD∥y轴，∴S△AOD=S△ADC=6，∴OD=6，∴A（6，2），将A（6，2）代入，得：m=12，∴反比例函数解析式为y； ∵∠OCF=∠CAD=45°．在△COF中，OC=OF=OD﹣FD=6﹣2=4，∴C（0，﹣4），将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y=kx+b，可得： ，∴，∴一次函数解析式为y=x﹣4； （2）点E是点C关于x轴的对称点，∴E（0，4），∴CE=8，解方程组，得：或，∴B（﹣2，﹣6），∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键． 21. 如图，与直线l相离，于点，交于点，过点作的切线，切点为，连接并延长交直线于点． （1）求证：； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明∶ AI 如图，连接，是的切线，，  ． 又， ， ， ，  ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，利用得到．由于，根据等腰三角形的性质得到．根据题意，所以．利用三角形内角和定理得到，根据等角对等边的性质得到． （2）根据，设，则．在中，利用勾股定理得到的值．过点作，根据等腰三角形的性质得到．在直角三角形中设，，用勾股定理求出，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶，， ． 的半径为， ． 设，则 ． 在中，， ， 解得或(舍去) ． 如图，过点作于点， 在中，设， 则． ， 即， 解得或(舍去)， ， ． 【点睛】本题考查圆的切线性质、等腰三角形的判定、三角函数以及勾股定理的应用．解题关键在于利用切线性质得到直角，通过角的等量代换证明等腰三角形，借助三角函数设未知数并结合勾股定理求解线段长度． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 23. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，，E是线段上的动点，以为边向左侧作正方形，点F始终在直线上，直线与直线交于点N． （1）求证：（在图1或图2中选择一个图形加以证明）． （2）当时，求的长． （3）试探究，当点E在上运动时，的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1，∵四边形和四边形均是正方形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）或 （3）的值不变，为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，，，进而得，即可证明，得，再得，再根据平行线的判定定理可得结论； （2）分两种情况：①如图1，证明，得，即可求的长；如图2，同理证明，可求的长； （3）如图1，连接，由和，证明，得；利用图2，同理可以求得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴， 分以下两种情况： ①如图1，∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； ②如图2，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 综上所述，或； 【小问3详解】 解：当点E在上运动时，的值不发生变化． 如图1，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 如图2，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 综上所述，的值不变，为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，动点问题等知识点． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． （3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，的坐标或或或 【解析】 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标； （3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 把、坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式：； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①当， 若点在轴上方，此时点，直线交轴于点， 若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， 即， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点， 若点在轴下方，此时点，如图： ∵，， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的解析式为， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵，， ∴， ∴， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $