精品解析：天津市滨海新区汉沽第六中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

汉沽六学2024-2025学年度第二学期期中阶段性检测 高一年级数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简: （ ） A. B. C. D. 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则 （  ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 设，则=（ ） A. B. C. D. 2 9. 在中，角所对的边长分别为.若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A B. C. D. 11. 下列四式不能化简为的是（ ） A B. C. D. 12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知，，，则向量与的夹角为________. 14. 已知，则与垂直的单位向量的坐标为___________. 15. 已知复数， 那么复数 的共轭复数是___________________. 16. 已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是__________ 17. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形ABC的面积为____________ 18. 已知向量，则________，________ 19. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为___________ 20. 若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为________ 三、解答题：本题共4道题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求值． 22. 如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： （1）四边形是菱形； （2）平面． 23. 已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件实数的值. （1）z为实数; （2）z为纯虚数. （3）若z在复平面内对应点在第二象限，求的取值范围. 24. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汉沽六学2024-2025学年度第二学期期中阶段性检测 高一年级数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简: （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加减法的运算法则化简. 【详解】. 故选：D. 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 3. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由数量积的定义求出，再由模的平方运算代入数量积求解可得. 【详解】∵，，且与的夹角为， ∴， ∴， 故． 故选：A. 4. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，即可得虚部. 【详解】因为复数，则虚部为. 故选：D 5. 已知向量，，若，则 （  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，所以即，所以， 所以， 故选:D. 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 7. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 8. 设，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案； 【详解】， 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题. 9. 在中，角所对的边长分别为.若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，则，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以或. 故选：D. 10. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C 11. 下列四式不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D， 故选：D. 12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求，进而可得体积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知，，，则向量与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】设向量与的夹角为， ， 因为，所以. 故向量与的夹角为. 故答案为： 14. 已知，则与垂直的单位向量的坐标为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设出与垂直的单位向量的坐标，由题意列方程组，求解后即可得到答案. 【详解】设与垂直的单位向量， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 故答案为：或. 15. 已知复数， 那么复数 的共轭复数是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求解，进而求出共轭复数. 【详解】复数，则， 所以复数 的共轭复数是. 故答案为： 16. 已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是__________ 【答案】或. 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可推导出结论. 【详解】当时，由得； 当时，满足题中条件. 综上，直线与平面位置关系是或. 故答案为：或. 17. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形ABC的面积为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则求出正三角形边长，进而求出其面积. 【详解】依题意，正的边长， 所以. 故答案为： 18. 已知向量，则________，________ 【答案】 ①. ②. 17 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得的坐标；求出的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】由，得； ，所以 故答案为：；17 19. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】求出正方体内切球半径，再利用球的体积公式求解. 【详解】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1， 所以所求最大球的体积为. 故答案为： 20. 若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的结构特征及圆锥的体积公式计算得解. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高为， 所以圆锥的体积. 故答案为： 三、解答题：本题共4道题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得的值，进而求得的值； （2）利用正弦定理即可求得的值． 【小问1详解】 △ABC中，，，． 则有 又，则 【小问2详解】 由（1）可知，又△ABC中，，，． 则 22. 如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： （1）四边形是菱形； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到，，进而证明平行四边形，再结合给定条件得到，证明菱形即可. （2）利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理求解即可. 【小问1详解】 由题意得分别是空间四边形边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． 【小问2详解】 由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 23. 已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. （1）z为实数; （2）z为纯虚数. （3）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由虚部为零，计算可得； （2）由实部为零，虚部不为零计算可得； （3）由实部小于零，虚部大于零计算可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得或. 【小问2详解】 由题意可得，解得. 【小问3详解】 由题意可得，解得. 24. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$