精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度下学期期中考试高二年级数学科试卷 一．选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列，，中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知离散型随机变量的方差为2，则（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 3. 下列说法中错误是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 4. 已知数列的首项为，且满足，则此数列的第4项是（ ） A. 4 B. 12 C. 24 D. 32 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 7 D. 2 6. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ） 附：若，则，. A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413 7. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 8. 设数列满足，，，，则满足的的最大值是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 二．选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A 事件与相互独立； B. ； C. ； D. ，，是两两互斥的事件 10. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 11. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 等差数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 三．填空题：本题共3小题，每小题5分． 12. 某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为________． 13. 已知数列前项和满足，则________. 14. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 四．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列中， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明. 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病. 某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表. 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女                    4 24 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布和期望； （2）依据表中数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性. 参考数据： 参考公式：，其中. 17. 记为数列的前项和，已知，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 18. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19. 马尔科夫链是概率统计中一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. （1）求; （2）求; （3）证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期中考试高二年级数学科试卷 一．选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列，，中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义及等比中项的性质列方程可得解. 【详解】由题意可得， 解得或， 当时，，，不满足条件； 当时，等比数列为，，，满足条件， 故选：B. 2. 已知离散型随机变量的方差为2，则（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质即可得解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为2， 所以 故选：D. 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程恒过样本中心点，A正确；根据相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强，B正确；根据线性回归方程中，回归系数的含义可得C正确；根据平均数计算公式和方差计算公式计算可得D错误． 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，正确； 对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，正确； 对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得，，故错误； 故选：D 4. 已知数列的首项为，且满足，则此数列的第4项是（ ） A. 4 B. 12 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】 由，依次求出，从而可得 【详解】解：因为，， 所以， ， ， 故选：D 【点睛】此题由递推式求数列的通项，属于基础题 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 7 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 故，即， 解得. 故选：C 6. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ） 附：若，则，. A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】若函数没有零点， ∴二次方程无实根， ∴，∴. 又∵没有零点的概率是0.5， ∴. 由正态曲线的对称性知， ∴，∴，， ∴，，，， ∴，， ∴ . 故选：B. 7. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 8. 设数列满足，，，，则满足的的最大值是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得，，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为2，公差为1的等差数列，分别求得为奇数时，；为偶数时，，代入不等式求出符合条件的的值即可得的最大值. 【详解】数列满足,,，则， ，即，① ，，② 当是奇数时, 由①得，， 由，得，解不等式，得， 又,所以此时的最大值是9； 当是偶数时, 由②得，， 由，得，解不等式，得， 而,所以此时的最大值是12. 综上可知, 的最大值是12. 故选：C. 二．选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立； B. ； C. ； D. ，，是两两互斥的事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出各事件的概率，即可得出结论. 【详解】由题意， ，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件． 显然，，，是两两互斥的事件，D正确 且，， 而，A错误， ，， 所以，B正确； ，C正确； 故选：BCD. 10. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件及可得出，进而可得，从而可判断A，结合等比数列的性质可判断B；由条件可知均大于1，均大于0且小于1，从而可判断CD． 【详解】对于A，由得， 由，可得， 当时，因为，所以，， 此时，不合题意； 所以， 因为，所以，，， 结合且，可得， 则，所以A错误； 对于B，因为，即，所以B正确； 对于C和D，由，，，且， 可知均大于1，均大于0且小于1， 又，可知是数列中的最大值，故C正确，D错误． 故选：BC． 11. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】对于选项A：由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，即， 显然，且，即， 所以为递增数列，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 两式相减得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：错位相减法的关注点 1适用题型：等差数列与等比数列对应项相乘型数列求和； 2.步骤：①求和时先乘以数列的公比；②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分． 12. 某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合计数问题求出试验及事件含有的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】从8人中任抽2人的试验含有的基本事件数为种， 恰有一名女生的事件含有的基本事件数为， 设事件所抽取的两名学生中恰有一名女生参加校运会助理裁判为， 则， 所以事件恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为. 故答案为：. 13. 已知数列前项和满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 当时，， 因为， 故， 故答案为： 14. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨假设游戏结束时恰好划拳3次时是甲登上第3个台阶，考虑所有可能的情况，同时考虑到也可能是划拳3次恰好是乙登上第3个台阶，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为， 事件“第次划拳甲输”为， 则； 故 ， 故答案为： 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于考虑清楚游戏结束时恰好划拳3次的所有可能情况，要注意到最终登上第3个台阶的人在第2次划拳时不能输. 四．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列中， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 因为，即， 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故. 【小问2详解】 由题意 所以 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病. 某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表. 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女                    4 24 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布和期望； （2）依据表中数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性. 参考数据： 参考公式：，其中 【答案】（1）分布列见解析， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 样本中感冒的男性有8人，女性有 4人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人， 随机变量的所有取值为. ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以. 【小问2详解】 提出统计假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关. 所以扩大10倍后，数据改变，结论也会发生变化， 为使此研究更具有严谨性，可以扩大调查的样本容量. 17. 记为数列的前项和，已知，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【小问1详解】 时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 18. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，棋手可能得分或分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率； （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知，甲共胜局，对棋手甲分两种情况讨论：（i）棋手第局以分比赛终止；（ii）棋手第局以分比赛终止.计算出“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，分析数列的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. （1）求; （2）求; （3）证明:. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分析得的所有可能得取值为3，2，1，0，再写出对应的概率，利用期望公式即可得到答案； （3）分别计算，构造得，再利用等比数列通项公式得，再取倒数，求和放缩即可. 【小问1详解】 分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率， 由题可知:. 【小问2详解】 记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 易得. 由题易得的所有可能得取值为3，2，1，0， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 3 2 1 0 数学期望. 【小问3详解】 记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 因此是等比数列，公比为， 首项为， 所以. 因此:， ， . 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造等比数列，再求出，最后求和即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$