精品解析：广东省惠州市惠东县2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题

惠东县2023-2024学年第二学期高一年级期中学业水平质量监测 数学 2024.05 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，那么向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标法则计算可得． 【详解】因为，，所以． 故选：D． 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案． 【详解】， 所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点， 故选：C． 3. 在中，，则的面积是（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【详解】在△ABC中，∵ AB＝5，BC＝6，AC＝7，则由余弦定理可得49＝25＋36－2×5×6×cos B，求得cos B＝，∴ sin B＝＝，故△ABC的面积为·AB·BC·sin B＝×5×6×＝6. 4. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 5. 记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充要条件的性质、正弦定理、二倍角的正弦公式计算即可得. 【详解】当时，由正弦定理可得， 又，在中，， 故， 即，故“”是“”的充分条件； 当时，例如，，，， 有，符合题意，但， 故“”不是“”的必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 故选：D 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 8. 如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以， 又由正方形的边长为，可得， 则 ， 正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得， 所以，即的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求有两个解时需要的条件判断选项C；由为锐角三角形求角B的范围，结合正弦定理求的取值范围判断选项D. 【详解】中，内角所对的边分别为， 若，则，A选项错误； 当时， ， 当时等号成立，所以最小值为，B选项正确； 由正弦定理，，当有两个解时， 且，的取值范围是，C选项错误； ，，当为锐角三角形时，， 解得，则，， ，所以的取值范围是，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 面积的最大值为 C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C：根据题意可得圆锥的外接球半径为的外接圆半径，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D，利用圆锥的体积公式即可求解． 【详解】对于A：由题意可知：， 故圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B：的面积， 在中，，故为钝角， 由题意可得， 故当时，面积的最大值为，故B正确； 对于C：由选项B可得：，则为钝角， 可得， 由题意可得圆锥的外接球半径为的外接圆半径，设其半径为， 则，即， 故圆锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D：当水的平面过的中点时，则水的体积为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 方程有一个根为，求实数_______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解. 【详解】依题意，方程的两个根为，， 所以. 故答案为：5 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 14. 的内角的对边分别为，若，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得，结合同角三角函数关系式求得，代入余弦定理表示出，代入中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时关系，进而求得的值. 【详解】由正弦定理将变形可得 ， 即， 由可得， 而是锐角，所以， 则由余弦定理可得， 则， 当且仅当时，取得最小值， 故，故， 所以. 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且的夹角为60°. （1）求； （2）若，求实数λ的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的运算律及定义求数量积； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求参数值. 【小问1详解】 由； 【小问2详解】 由，则， 所以，可得. 16. 解答下列各题： （1）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z； （2）已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得. （2）由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 （1）设复数， 因为为实数，所以，则复数， 又因为为纯虚数， 则，得， 所以复数． 【小问2详解】 ， 由复数表示的点位于第四象限，可得，解得， 当时，复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴m的取值范围为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求A﹔ （2）若，D为BC的中点，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到，从而得解； （2）先利用余弦定理得到，再根据D为BC的中点，由求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得， 因为，所以，则； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得，即，解得或（舍去）， 又因为D为BC的中点，所以， 则 ， 所以. 18. 如图，四边形ABCD是圆柱底面圆的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点. （1）求圆柱的表面积 （2）求四棱锥的体积的最大值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出底面圆半径，进而求出表面积. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，再利用体积公式求解即得. 【小问1详解】 如图： 连接BD，在中，，， 由余弦定理，得， 设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得， 所以圆柱的表面积. 【小问2详解】 由（1）知，中，，， 由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，则， 于是的面积， 而，又， 则四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积的最大值为. 19. 中，已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求的余弦值. 【答案】（1） 因为，所以由正弦定理得 因为，所以由正弦定理得，， 所以，又，所以.即为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化即可证明结论； （2）根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理可得，再根据平行线的性质与余弦定理即可求得的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示， 过点作交于点， 设，则 因为，所以，即，则， 所以，所以. 在中，， 在中，. 因为，所以，所以， 化简得，方程两边同时除以，得， 解得或. 当，即时，； 当，即时，（舍去）. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠东县2023-2024学年第二学期高一年级期中学业水平质量监测 数学 2024.05 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，那么向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，，则的面积是（ ） A. B. C. 12 D. 4. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 11. 已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 面积的最大值为 C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 方程有一个根为，求实数_______ 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 14. 的内角的对边分别为，若，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且的夹角为60°. （1）求； （2）若，求实数λ的值. 16. 解答下列各题： （1）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z； （2）已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求A﹔ （2）若，D为BC的中点，求AD. 18. 如图，四边形ABCD是圆柱底面圆的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点. （1）求圆柱的表面积 （2）求四棱锥的体积的最大值 19. 中，已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $