精品解析：2025年河南省平顶山市鲁山县西北七校中考三模数学试题

2025鲁山县西北七校中招第三次模拟试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 草长莺飞二月天，九年级的同学进行了放风筝比赛，下面风筝的简笔画中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 月日时分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，长征八号遥三运载火箭飞行分钟后，星箭分离，将鹊桥二号中继星直接送入近地点高度千米、远地点高度万千米的预定地月转移轨道，中继星太阳翼和中继通信天线相继正常展开，发射任务取得圆满成功．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点E在直线上，点F，G在直线上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，若，的长为3，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 开学季到来的时候，某文具店在今年月份购进了数量相同的，两种品牌的钢笔，其中品牌钢笔花费元，品牌钢笔花费元．已知品牌钢笔的单价比品牌钢笔单价少元，那么品牌钢笔的单价为多少元？设品牌钢笔的单价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 9. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2025 B. C. 2028 D. 2030 10. 如图1，点P从的顶点A出发，沿直线运动到上一点，再从该点在三角形的内部沿直线运动到边上，设点P运动的路程为x，,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则边的长为( )． A. B. 2 C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 12. 用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________． 13. 在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有__________个． 14. 如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为________． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，将沿翻折得，连接，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 观察下列等式： ； ； ； … （1）根据以上规律可得，则的值为 ． （2）写出的值，并通过计算说明其正确性． 18. 小明早上骑自行车或者乘坐公交车到学校上学，为了解上学路上所用时间，小明记录了20天上学路上所花的时间，其中10天骑自行车，另外10天乘坐公交车．根据记录数据绘制成如下统计图： （1）根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 自行车 18 2.4 5 公交车 15.6 11 18.04 （2）请你帮助小明选择其中上学方式，并利用以上至少2个统计量说明理由． 19. 如图，线段是半圆O的直径． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，分别与半圆O，线段交于C，E两点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 20. 中小学生拉杆式书包通过底部的滑轮来拉动书包，有效减少了书包对背部的压力，而且拉杆书包通常配备可拆卸的拉杆，当书本不多时，可以拆下拉杆，像普通书包一样背在身上，非常方便．某种拉杆式书包示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且，求点D坐标； （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1） ； （2）若二次函数图象与x轴交于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 23. 正方形的边长为2，M、N分别为边、上的动点，且 （1）猜想线段、、的数量关系并证明； （2）若，P是的中点，求的长； （3）M、N运动过程中，请直接写出面积的最大值　 　和最小值　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025鲁山县西北七校中招第三次模拟试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】A．∵，，， ∴，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．∵，，， ∴，故符合题意． 故选：D． 2. 草长莺飞二月天，九年级的同学进行了放风筝比赛，下面风筝的简笔画中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 月日时分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，长征八号遥三运载火箭飞行分钟后，星箭分离，将鹊桥二号中继星直接送入近地点高度千米、远地点高度万千米的预定地月转移轨道，中继星太阳翼和中继通信天线相继正常展开，发射任务取得圆满成功．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：万， 故选：A． 4. 如图，，点E在直线上，点F，G在直线上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用三角形内角和求出，再结合平行线性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方等知识点逐项判断解答即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6. 如图，是的外接圆，若，的长为3，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据圆周角得出圆心角为，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴所对的圆心角的度数为， ∴的长为． 故选：C． 7. 开学季到来的时候，某文具店在今年月份购进了数量相同的，两种品牌的钢笔，其中品牌钢笔花费元，品牌钢笔花费元．已知品牌钢笔的单价比品牌钢笔单价少元，那么品牌钢笔的单价为多少元？设品牌钢笔的单价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键． 根据“某文具店在今年月份购进了数量相同的，两种品牌的钢笔”，列出分式方程即可． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 8. 在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，先计算周长为，再结合，进一步估算即可． 【详解】解：第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …… 第九个三角形的斜边长， 则这个图形周长， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3， ∴与最接近的整数是13， 故选：B． 9. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2025 B. C. 2028 D. 2030 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根的定义得①，由根与系数的关系得②，然后由整理可得答案． 【详解】∵a和b是方程的两个解， ∴①， ②， 得，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图1，点P从的顶点A出发，沿直线运动到上一点，再从该点在三角形的内部沿直线运动到边上，设点P运动的路程为x，,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则边的长为( )． A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、函数图像、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，发现点P的运动轨迹成为解题的关键． 分、、三种情况分析说明是等腰直角三角形、，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：当时，即点P与点A重合，此时，， ∴， ∵， ∴,即， ∴,即是等腰直角三角形， ∴, 当时，开始，即， ∵， ∴， 当后，由，即沿的垂直平分线运动到的中点， 当时，点P到达的中点，即, ∴,即， ∴． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 12. 用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 13. 在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有__________个． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，先根据白球的信息求出总球数，再减去白球数即可得到红球的数量． 【详解】解：由题意可得，袋中约有红球： （个）， 故答案为：14． 14. 如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中， 得：， 即， 解得：， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，将沿翻折得，连接，则线段的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、辅助圆等知识点，发现点E的轨迹是解题的关键． 由勾股定理可得，由折叠的性质可得，即如图：点E的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，然后结合图形即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿翻折得，连接， ∴， ∴如图：点E的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，且当点E在的点处时，最小， ∵． 故答案为2． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先化简绝对值、计算三角函数和零指数幂，再算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 观察下列等式： ； ； ； … （1）根据以上规律可得，则的值为 ． （2）写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ，，， ． 18. 小明早上骑自行车或者乘坐公交车到学校上学，为了解上学路上所用时间，小明记录了20天上学路上所花的时间，其中10天骑自行车，另外10天乘坐公交车．根据记录数据绘制成如下统计图： （1）根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 自行车 18 2.4 5 公交车 15.6 11 18.04 （2）请你帮助小明选择其中上学方式，并利用以上至少2个统计量说明理由． 【答案】（1）18；18；15；11 （2）乘坐公交车 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，极差的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键． （1）直接利用折线图数据结合平均数，中位数，众数，极差求法得出答案； （2）比较平均数，众数，中位数，分别分析得出最佳路线． 【小问1详解】 自行车：15，16，17，18，18，18，19，19，20，20， 平均数：，众数为18； 公交车：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22， 中位数：，极差：； 故答案为：18；18；15；11； 【小问2详解】 乘坐公交车的平均数小于骑自行车的时间，乘坐公交车的中位数小于骑自行车的，乘坐公交车的众数小于骑自行车，因此选择乘坐公交车． 19. 如图，线段是半圆O的直径． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，分别与半圆O，线段交于C，E两点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、半圆所对的圆周角是直角，勾股定理． （1）由题意作出线段的垂直平分线，分别与半圆O，线段交于C，E两点即可； （2）先根据垂直平分线的性质得，，进而得，，再由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，根据作图知垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ． 20. 中小学生拉杆式书包通过底部的滑轮来拉动书包，有效减少了书包对背部的压力，而且拉杆书包通常配备可拆卸的拉杆，当书本不多时，可以拆下拉杆，像普通书包一样背在身上，非常方便．某种拉杆式书包示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出的值即可． 【详解】解：如图，作，垂足为， 设，则， ， ， 如图，作，垂足为， 则， ， ， ， ， 解得：， 答：每节拉杆的长度为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且，求点D坐标； （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先结合点，可求得的值，即可确定反比例函数解析式；再确定点B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）首先确定点坐标，结合易得，即可获得答案； （3）结合一次函数与反比例函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 把，代入（）， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 对于一次函数， 令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或； 【小问3详解】 由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1） ； （2）若二次函数图象与x轴交于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【答案】（1）8 （2）或且 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，二次函数与x轴交点问题，点到直线的距离、面积的计算等，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）将点A坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）设点C，B的横坐标为m，n，将点B的坐标代入抛物线得到，求出，，表示出，然后得到的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入抛物线表达式得， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：设点C，B的横坐标为m，n， 将点B的坐标代入抛物线得， 则， 即抛物线的表达式为， ∴，， ∴， ∴的面积， ∴，即， ∴或， 解得或且． 23. 正方形的边长为2，M、N分别为边、上的动点，且 （1）猜想线段、、的数量关系并证明； （2）若，P是的中点，求的长； （3）M、N运动过程中，请直接写出面积的最大值　 　和最小值　 　． 【答案】（1）， 理由：如图1，延长至E使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，  ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中，  ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） （3）2， 【解析】 【分析】（1）延长到E，使，连接，根据SAS证，推出，，求出，根据SAS证出，从而得到； （2）如图2，过点A作，由AAS可证，可得，，由勾股定理可求，即可求的长，由勾股定理可求的长； （3）由三角形的面积公式可求，由三角形的三边关系和完全平方公式可求的最大值和最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点A作， ∵点M是的中点， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴的最小值为， ∴面积的最小值为， ∵，且， ∴， ∴， ∴的最大值为2， ∴面积的最大值为2． 故答案为2，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积等知识，掌握全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $