模型6 “牛角”模型&模型阶段练-【一本】·初中数学几何模型

/ABD, AB∥EF,.CN∥AB∥DM∥EF, ∴.∠EFG=∠ABD '.3+∠MDE=180°，∠CDM=∠NCD,&+ ,∠C3D=120°，∠ABD=180°-∠C3D=60°， ∠ACV=180. ∠EFG=60 又'∠ACD=60°， 3.C【解析】如图，过点C作CD∥AB,过点M作 ,.∠ACN+∠NCD=180°-a+∠CDM= MN∥AB,延长AB至点H 180°-a+Y-∠M10E=180°-a+y-(18°-g)= B -----H B+Y-a=60 6.解：(1)∠APQ+∠PQC-∠A+∠C+180°成立.理 M B-N 由如下： E TOF 如图，过点P作PH∥AB,过点Q作QG∥AB. AB∥EF,.AB∥CD∥MN∥EF, B ,'.∠CBH=∠BCD,∠DCM=∠CMN,∠NMF= Y, 且∠13CD=180°-a,∠DCM=∠CMN=B-Y, D ∴.x=∠BCD+∠DCM=180°-a+8-Y. :AB∥CD,.AB∥CD∥PH∥QG, 4.150【解析】一题多解方法①如图. ∴.∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+ ∠GQP=180°， Ba ∠APQ+∠PQC-∠APH+∠HPQ+∠GQP+ 2 ∠CQG-∠A+∠C+180° 符合“锯齿”模型。 (2)3∠PMQ+∠A+∠C-360.理由下： 根据“锯齿”模型结论，得∠1十∠3=∠3十∠α. 如图，过点P作PH∥AB,过点Q作QG∥AB,过 ∴∠a=∠8，∴∠1=∠3=30°. 点M作MN∥AB. :∠2+∠3=180°， .∠2=180°-30°=130° 方法②如图，延长AB交。于点E. D :AB∥CD,.AB∥CD∥PH∥QGMN, Ba ∴.∠A-∠APH,∠C-∠CQG,∠HPQ+ D ∠(GQP-180°，∠IIPM-∠PMN,∠(GQM ∠a=∠B,AB∥CD ∠QMN, :t1∥2，∠3-∠1-30°， ∴.∠PMQ-∠HPM+∠GQM. ∴.∠2=180°-∠3=150°. :∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP, 5.3+Y-a=60【解析】一题多解方法①如图，延 ∠PMQ+MPQ+∠MQP-180°， 长BA至点G,延长FE至点H,符合“锯齿”模型根 ./APM+/CQM=/A+/C+/PMQ= 据“解齿”模型结论，得/1十Y-/2+/C.,/1= 2∠MPQ+2/MQP=2(180°-∠PMQ), 180°-g,∠2=180°-3，∠C=60°，.180°-a+y= ∴.3∠PMQ+∠A+∠C=360°. 180°-8+60°，∴B+y-&=60°. 模型⑥“牛角”模型 G-1 —B 》例题固模型 yD 例C【解析】，∠DFG一85°，∴，∠CFG-180° H 方法②过点C,D分别作CN∥AB,DM∥AB. /DFG=180°一85=95°.根据“牛角”模型的结论， 得/G=/AEG-/CFG=130°-95°=35. A 修习题练模型 C2----------W M- D 1.c B 2.C【解析】一题多解方法①如图. ·06· 50°. :∠APD=80°，.∠APE=80°-50°=30° AB∥PE,∴∠A+/APE=180, 一b ∴.∠A=180°-30°=150° ,a∥b,∠2=70°，∴∠3=∠2=70° 故答案为150 又：∠3-∠1+∠A,∠1-39°， (2)证明：如图，过点P作EF∥AB. .∠1=∠3-∠1=70°-39°=31° P F 方法②如图，折线EDACF构成“牛角”模型，根据 “牛角”模型的结论，∠A=∠5一∠4.，∠1=39°， .∠5=180°-∠1=180°-39°=141°.∠2=70°， D ∠4=180°-70°=110°，.∠A=141°-110°=31 A3∥C),.A3∥EF∥CD,.∠CIDP= ∠DPF,∠FPA+∠PAB=180°. E- 5.163 ∠PA-∠IDP-∠APID,.∠IDPF-∠APID+ ∠PAB=180°， F 42 .∠CDP+∠PAB-∠APD-180°，即∠PAB+ 3.D【解析】如图. ∠CDP-∠APD=180°. 横型阶段练 1.D 2.B【解析】如图，过点C作CF∥AB AB∥CD,∴.∠1=∠B=85°. B A ,∠E=27, --- ∴./D=∠1-/E=85°-27=58 E 4.C【解析】如图. ,AB∥DE,CF∥AB, ∴AB∥CF∥DE, ∴.∠BCF-∠B-20°，∠DCF-180°-∠D 180°-130°=50°， ∴.∠BCD=∠BCF+/DCF=20°+50°-70 ∠1=∠3=100°，∠B=30°， 3A【解析】如图，符合“猪蹄”模型 ∴.∠2=∠B+∠3=1309. /3=60°，2=50°，根据“猪蹄”模型结论，得/3= 5.40【解析】如图，过点C作CF∥AB. ∠1+∠2，.∠1=∠3-∠2=60°-50°=10° A- b 3V 2 ,AB∥CF,∠ABC=80°，.∠BCF=∠ABC= 4.C【解析】∠A13E-150°，∠CDF-160°， 80 ∴∠ABP=180-∠ABE=30°，∠CDP=180°- 又'AB∥DE,.DE∥CF, ∠CDF-20° ,.∠DCF+∠CDE=180°，∴.∠DCF=∠180°- :AB∥CD∥MN, /CDE=180°-140°=40°，∴./BCD=/BCF ∴.∠BPN=∠ABP=30°，∠IDPN=∠CIDP=20°， .∠EPF=∠BPN+∠DPN=50 ∠DCF=80°-40°=40°. 5.B【解析】.AB∥CD, 6.解：(1)如图，过点P作PE∥AB. ∠BCD=∠B=0°. A B 在△CDE中，/E-30°， ·∠D=∠BD-∠E=50°-30°=20° 6解：(1)如图1，过点P作MN∥AB. :AB∥CD,.AB∥CD∥PE,∴∠EPD-∠D- AB∥CD,.AB∥CD∥MN. 。07 又：∠A=18°，∠C=12°，.∠APM=∠A=18°， 180°，∴.∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB= ∠MPC=∠C=42°， 180°，即五角星的五个内角之和为180° ,.∠APC=/APM+∠MPG=18+42°-=60° 》习题练模型 故答案为60. 1.A (2)∠ABP=∠CDP+∠BPD. 2.C【解析】由“8字”型可知∠A+∠C=∠1D+ 证明：如图2，延长AB交PD于点H,∴∠ABP是 ∠DEG,∠B+∠F=∠DGE+∠D, △PBH的一个外角， ../A+/B+/C+/F=/D+/DEG+ :AH∥CD,∴∠CDP=∠BHP,.在△PBH中， ∠DGE+∠D. ∠BPD+∠BHP=∠ABP, :∠D=28°，∠D+∠DEC+∠DGE=180°， ·∠ABP-∠CDP+∠BPD. .∴∠A+∠B+∠C+∠F-180°+28°-208°. (3)知图3，延长AB交PF于点H,过点G作 3.180 【解析】如图，连接BC MN∥AB. 'ABCD,∴.MN∥AB∥CD,∠HEC=ECM, ∠EHF=∠PFD,∠MGF=∠GFD 'EB平分∠PEC,FPΨ分∠GFD,∠PFD=50°， C ∴.∠PEH=∠HEG,∠PFD=∠PFG=50°， 由“8字”型可得，∠A+∠D=∠DBC+∠ACB, ∠GFD=100°， ∴.∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E=∠DBC+ ∴∠EGF=∠ECM+∠MF=∠HEC+∠GFD= ∠EBD+∠ACE+∠ACB+∠E=∠EBC+ ∠PEH+100°，∠P+∠PEH=∠EHF ∠E(CB+∠E-180°. ∠PFD=50°， 4.540° 【解析】如图，连接AE.设AG与EF交于 ∴.∠P=50°-∠PEH,∴.∠EGF+∠P=∠PEH+ 点(0. 100°+50°-∠PEH=150°. G>D B M--p--- M C 由“8字”型可得，/1十/2=∠F十/G, -D 图1 图2 图3 ∴.∠IBAG+∠B+∠C+∠D+∠IDEF+∠F+ ∠G=∠3+∠B+∠C+∠D+∠4+∠1+∠2= 第 章 三角形 (5-2)×180°=540. 5.360【解析】-题多解方法①如图，连接DE,符 模型7 “8字”型 合“8字”埋./3=/4， ∴∠B+∠F=∠1+∠2. 》例题固模型 在四边形AC1DE巾，∠A+∠C+∠5+∠1+ /6+2=360°，即/A+/B+/C+/D+ 例175【解析】山8字”型可知，∠DGH十∠D=∠C+ ∠1HEC, ∠E+∠F=360. .∠DGH+45°=30°+90°，.∠DGH=75 例2A【解析】如图，连接CD.设BD与CE交于 点O. 方法②如图. '∠BOE-/COD, ∴∠B+∠E-∠OCD+∠ODC :∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB- ·08·一本初中数学几何模型 模型6 “牛角”模型 真题 讲模型 真题再现 (山东济南一模)某同学在研究传统文化“抖空竹”（如图1）时有一个发现：可以把它抽象成数学问题 如图2所示，已知AB∥CD,∠BAE=84°，∠DCE=120°，则∠E的度数是 () 图1 图2 A.36 B.38 C.39 D.42° [解析]如图，过点E作EF∥AB. ,AB∥EF,∠BAE=84°， ∴.∠BAE+∠AEF=180°，即∠BAE+∠AEC+∠CEF=180° ,AB∥CD, ∴.CD∥EF,∴.∠DCE+∠CEF=180°， ∴.∠DCE=∠BAE+∠AEC. ,∠DCE=120°，∠BAE=84°， .∠AEC=120°-84°=36. [答案]A [小结]题目条件中含有当角在平行线外，形成牛角形状时，考虑用“牛角”模型解题。 模型提炼 类型1“牛角”模型 》口诀巧记 已知条件 图示 结论 牛角的度数等于较大角减去较 E 小角。 已知AB∥CD,E为平 B ∠2=∠1-∠3 行线外一点，∠1>∠3 D ◆016◆ 第2章相交线与平行线 续表 》拓展延伸 证明：方法①如图，过点E作AB的平行线EF. 如图，“牛角”模型的证明也可添 EF∥AB,∠1+∠FEB-180. B 加其他辅助线，如延长EB交 'AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠3+∠FED=180°， CD于点F,利用外角求值. 即∠3+∠2+∠FEB=180°， E ∴.∠1=∠2+∠3，即∠2=∠1-∠3. 方法②如图，延长AB交DE于点F 24 :AB∥CD,∠3=∠4. B :∠1是△BEF的外角，∴∠1=∠2+∠4， D .∠1=∠2+∠3，即∠2=∠1-∠3. 类型2“牛角”模型变式 已知条件 图示 结论 E AB∥CD,E为平行线 B ∠1+∠3-∠2=180° 外一点，∠1>∠3 D 证明：如图，过点E作AB的平行线EF, E c63 D EF∥AB,∴∠1+∠FEB=180. :AB∥CD,∴EF∥CD,∴.∠3=∠FEC,即∠3-∠2=∠FEB, ∴.∠1+∠3-∠2=180° 例题因模型 例●（山西忻州模拟）如图，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，G是AB上方一点，连接GE, GF,GF与AB交于点H,若∠AEG=130°，∠DFG=85°，则∠G的度数是 () A.25 B.30° C.35° D.40° 怎么用模型 P找题眼平行线外侧有拐点。 ◆配模型“牛角”模型 ⊙用模型因为∠CFG=180°-∠DFG,根据“牛角”模型，得∠G=∠AEG-∠CFG,从而求解. 。答案见《答案详解》P06 ◆017◆ 一本初中数学几何模型 习题练模型 1.(模型秒杀)（广东佛山期末）如图，AB∥CD, 6.(北京期中)已知AB∥CD,P为平面内一点. BC∥DE,∠A=45°，∠C=110°，则∠AED (1)如图1，连接AP,DP,已知∠APD=80°， 的度数为 () ∠D=50°，则∠A (2)如图2，求证：∠PAB+∠CDP一 ∠APD=180°. B A.95° B.105° C.115° D.125 2.(湖北襄阳模拟)如图，直线a∥b,∠1=39°， 图 图2 ∠2=70°，则∠A的度数为 () D A.39° B.21° C.31° D.70 3.(山东临沂模拟)如图，AB∥CD,若∠B 85°，∠E=27°，则∠D的度数为 () A A.45 B.48° C.50° D.58° 4.(山东威海期末)将一块含有30°角的直角三 角尺（∠B=30)按如图所示的方式摆放，若 EF∥MN,∠1=100°，则∠2= () A.110° B.120° C.130 D.140° 5.如图，已知AB∥DE,∠ABC=80°，∠CDE= 140°，则∠BCD= ·答案见《答案详解》PO6 ◆0184 第2章相交线与平行线 模型阶段练 1.(广东深圳期末)路政工程车的工作示意图如 图所示，工作篮底部与支撑平台平行.若 ∠1=30°，∠2=60°，则∠3的度数为() 工作篮一→■四 A.15 B.20° C.30° D.50° 3 6.(广东梅州期中)已知AB∥CD,P为平面内 C 一点 支撑平台一 (1)如图1，当点P在AB与CD之间时，若 A.120° B.130 C.140° D.150° ∠A=18°，∠C=42°，则∠P= 2.如图，已知AB∥DE,∠B=20°，∠D=130°， (2)如图2，当点P在点B右上方时，∠ABP, 那么∠BCD的度数为 () ∠CDP,∠BPD之间存在怎样的数量关系， B A 请给出证明： (3)如图3，EB平分∠PEG,FP平分 E D ∠GFD,若∠PFD=50°，求∠G+∠P的 A.60° B.70° C.80° D.90 度数 3.(甘肃平凉一模)如图，将一块含有60°角的直 角三角尺的两个顶点分别放在两条平行的直 线a,b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为 图1 图2 图3 A.10 B.20° C.30 D.40 4如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF的反 向延长线交于主光轴MN上一点P.若 ∠ABE=150°，∠CDF=160°，则∠EPF的 度数为 () D A.20° B.30° C.50 D.60 5.(云南昆明三模)如图，点B在△CDE的边 EC的延长线上，AB∥CD,若∠B=50°， ·答案见（答案详解P07 ∠E=30°，则∠D的度数为 () ◆0194