模型5 “锯齿”模型-【一本】·初中数学几何模型

一本初中数学几何模型 模型5 “锯齿”模型 真题 讲模型 真题再现 (河南安阳林州期末)如图，AB∥EF,∠C=90°，则a,3和y之间的关系是 A.B=a+y B.a+3+y=180° C.a+B-y=90° D.3+y-a=180° E [解析]如图，过点C,D分别作CG∥AB,DH∥AB. ,AB∥EF,∴.AB∥CG∥DH∥EF,∴.∠1=a,∠2=∠3，∠4=Y ,∠BCD=90°，∴.∠2=90°-∠1=90°-a. :∠3=B-∠4=B-y,∴.90°-a=B-y,即a+B-y=90. [答案]C [小结]题目条件中含有一组平行线十平行线间多个拐点时，考虑用“锯齿”模型解题. 。模型提炼 “锯齿”模型 》口快巧记 已知条件 图示 结论 向左的角之和等于向右的角之 和（平行线间至少有两个拐，点， B 且拐点方向不一致) AB∥EF ∠B+∠D-∠C+∠E 》模型运用 当题目中有多个拐点时，过每 个拐点作平行线，形成若干个 证明：如图，过点C作MN∥AB,过点D作PQ∥AB. 相等的内错角。 AB∥EF,∴AB∥MN∥PQ∥EF, A ∴.∠B=∠1，∠3=∠2，∠4=∠E, ------ ∴∠B+∠3+∠4=∠1+∠2+∠E, ∠B+∠CDE=∠BCD+∠E. 例题固模型 圆●（黑龙江大庆肇源期中）如图，已知AB∥CD,∠1=∠2，∠E=50°，则∠F的度A一B E 数为 12 D ◆0144 第2章相交线与平行线 怎么用模型 P找题眼AB∥CD,E,F为平行线间的2个拐点. 女配模型“锯齿”模型。 ⊙用模型根据“锯齿”模型结论，向左的角之和等于向右的角之和，得∠1十∠F=∠2十∠E.因为∠1= ∠2，所以∠F=∠E=50 ·答案见《答案详解PO5 习题练模型 1.(模型秒杀)（江苏常州二十四中期中）如图， 5.(福建莆田荔城区月考)如图，AB∥EF, 已知AB∥CD,EMNF是直线AB,CD间的 ∠C=60°，∠A=a,∠E=B,∠D=y,则a, 一条折线.若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则 B,Y的数量关系是 ∠4的度数为 ( ) 6.已知AB∥CD,线段EF分别与AB,CD相 A.55° B.50° C.40 D.30° 交于点E,F,点P,Q在线段EF上移动（不 与E,F两点重合). A (1)如图1，∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+ 3N D 180°成立吗？请说明理由. (2)如图2，∠APM=2∠MPQ,∠CQM= 第1题图 第2题图 2∠MQP,∠M+∠MPQ+∠MQP=180° 2如图，已知FG∥AC,BD∥EF,则当∠CBD= 请写出∠M,∠A与∠C之间的数量关系，并 120时，∠EFG的度数为 ( 说明理由。 A.50 B.60 C.70 D.80 3.(贵州六盘水期中)如图，AB∥EF,用含a,B, Y的式子表示x为 ( )4 A.a+8+Y B.3+Y-a B C.180°-a+B-Y D.180°+a+B-Y 4.(湖北武汉青山区期末)如图，若直线1∥12， ∠a=∠3，∠1=30°，则∠2的度数 为 A ·答案见《答案详解PO5 28 D E 第4题图 第5题图 ◆015◆∴.∠1+∠2+∠3=360°， 5.A【解析】如图，过点E作EH∥AB,过点F作 ∴.∠2+∠3=360°-∠1=230°. FI∥CD. 方法②符合“铅笔头”模型. ,∠1=130， ∴.∠2+∠3=360°-∠1=230°. 例2540【解析】题多解方法①如图，过点E作 “∠1=3∠ABF,CE平分∠DCF, EM∥CD,过点F作FN∥CD C D '.∠ABF=3∠1，∠DCF=2∠ECD. M---------E ,AB∥CD,.AB∥EH∥CD,AB∥FI∥CD, N----------F ∴.∠BEH=∠1，∠ECD=∠CEH,∠ABF+ A B ∠BFI=180°，∠DCF+∠CFI=180, .AB∥CD,∴.AB∥FN∥EM∥CD, ∴.∠I+∠ECD=∠BEH+∠CEH=∠2， ∴.∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN= ∠ABF+∠BF1+∠DCF+∠CF1=180+180°=360， 180°，∠D+∠DEM=180°， 即∠1+∠ECD=∠2,3∠1+∠3+2∠ECD ∴，∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+ 360°，∠ECD=∠2-∠1， ∠BFN+∠EFN+∠FEM+∠DEM+∠D= ∴.3∠1+∠3+2（∠2-∠1）=360°， 540. ∴.∠1+2∠2+∠3=360 6.解：(1)，AB∥CD,∴.∠1+∠2=180 方法②符合“铅笔头”模型一多拐点类型，题图 中有E,F两个拐点，根据公式180°×(n+1),直 故答案为180° (2)如图，过点E作EF∥AB. 接可以求∠B+∠F+∠E+∠D=(2+1)× B 180°=540°. 》习题练模型 1.A AB∥CD,∴.CD∥EF, 2.D【解析】题图中有E,F,G,H共4个拐点， ∴.∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， 根据“铅笔头”模型的拓展结论，得∠1十∠2十 .∠1+∠2+∠3=360°. ∠3+∠4+∠5+∠6=(4+1)×180°=900°. (3)如图，过点E,F分别作AB的平行线. 3.C【解析】如图，过点M作MN∥a. B a C D 45 类比(2)可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°. 故答案为540°. :a∥b,∴.MN∥a∥b, (4)(n-1)×180 ·∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180° 又∠1=105°，∠2=140°，∴.∠4=75°，∠5=40°， 模型5 “锯齿”模型 .∠3=180°-∠4-∠5=65. 》例题固模型 4.D【解析】如图，过点B作BG∥AE,则∠BAE+ ∠ABG=180°. 例50【解析】本题中一共有两个拐点，符合“锯齿” C D 模型，根据“锯齿”模型结论，向左的角之和等 于向右的角之和，可得∠1十∠F=∠2十∠E.因为 B ∠1=∠2，所以∠E=∠F=50°. A E >习题练模型 'AE∥CD,∴.BG∥CD,∴∠C+∠CBG=180°， 1.B ,·∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C=360°， 2.B【解析】BD∥EF,∴.∠E=∠D. 即∠BAE+∠ABC+∠C=360°. .FG∥AC, ,AB⊥AE,∴∠BAE=90°， ∴折线GFEDBA构成“锯齿”模型. ∴.∠ABC+∠C=360°-90°=270° 根据“锯齿”模型的结论，得∠EFG十∠D一∠E+ ·05 ∠ABD, :AB∥EF,∴.CN∥AB∥DM∥EF, ∴.∠EFG=∠ABD .B+∠MDE=180°，∠CDM=∠NCD,a+ .'∠CBD=120°，∠ABD=180°-∠CBD=60°， ∠ACN=180. .∠EFG=60, 又.∠ACD=60°， 3.C【解析】如图，过点C作CD∥AB,过点M作 .∠ACN+∠NCD=180°-a+∠CDM= MN∥AB,延长AB至点H. 180°-a+y-∠MDE=180°-a+y-(180°-B)= B+y-a=60° --C 6.解：(1)∠APQ十∠PQC=∠A+∠C+180°成立.理 MAB-.N 由如下： E IF 如图，过点P作PH∥AB,过点Q作QG∥AB. ,ABEF,.AB∥CD∥MN∥EF, B ,'.∠CBH=∠BCD,∠DCM=∠CMN,∠NMF= Y. 且∠BCD=180°-a,∠DCM=∠CMN=B-Y, D ∴.x=∠BCD+∠DCM=180°-a+B-Y. ,AB∥CD,∴.AB∥CD∥PH∥QG, 4.150【解析】一题多解)方法①如图. ∴.∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+ 1>一1 ∠GQP=180°， Ba ∴.∠APQ+∠PQC=∠APH+∠HPQ+∠GQP+ ∠CQG=∠A+∠C+180 符合“锯齿”模型。 (2)3∠PMQ+∠A+∠C=360°.理由如下： 根据“锯齿”模型结论，得∠1十∠3=∠3十∠a. 如图，过点P作PH∥AB,过点Q作QG∥AB,过 ∠a=∠8，∴∠1=∠3=30°. 点M作MN∥AB. :∠2+∠3=180°， ∴∠2=180°-30°=150° 方法②如图，延长AB交1：于点E. ,'AB∥CD,∴.AB∥CD∥PH∥QG∥MN, Ba ∴.∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+ ∠GQP=180°，∠HPM=∠PMN,∠GQM= ∠a=∠B,AB∥CD. ∠QMN, 1∥l2,∠3=∠1=30°， ∴.∠PMQ=∠HPM+∠GQM. ∴∠2=180°-∠3=150°. :∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP, 5.3+y-a=60【解析】一题多解方法①如图，延 ∠PMQ+∠MPQ+∠MQP-180 长BA至点G,延长FE至点H,符合“锯齿”模型根 .∠APM+∠CQM=∠A+∠C+∠PMQ= 据“锯齿”模型结论，得∠1+y=∠2十∠C.,∠1= 2∠MPQ+2∠MQP=2(180°-∠PMQ), 180°-a,∠2=180°-B,∠C=60°，180°-a+y= ∴.3∠PMQ+∠A+∠C=360°. 180°-+60°，∴.3+y-a=60°. 模型6“牛角”模型 —B C 》例题固模型 YD B 例C【解析】，∠DFG=85,∴.∠CFG=180°一 方法②过点C,D分别作CN∥AB,DM∥AB. ∠DFG=180°-85°=95°.根据“牛角”模型的结论， B 得∠G=∠AEG-∠CFG-130°-95°-35 》习题练模型 C2---------N M--- 1.C B 2.C【解析】一题多解方法①如图. ·06·