模型4 “铅笔头”模型-【一本】·初中数学几何模型

第2章相交线与平行线 模型4 “铅笔头”模型 真题 讲模型 ☑真题再现 (山东淄博博山区一模)如图，直线a∥b,点M,N分别在直线a,b上，P为两平行 线间的一点，那么∠1+∠2+∠3= () P2 3 A.3609 B.300° C.270° D.180° [解析]如图，过点P作PA∥a,则a∥b∥PA,∴.∠3+∠NPA=180°，∠1十∠MPA=180°， ∴.∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°. [答案]A [小结]题目条件中含有一组平行线十平行线外凸拐点时，考虑用“铅笔头”模型解题， 模型提炼 “铅笔头”模型 已知条件 图示 结论 A B AB∥CD ∠B+∠0+∠C=360° C 》口诀巧记 证明：方法①过拐点作平行线 “铅笔头”模型：三个角之和 小 为360 如图，过点O作EF∥AB. E------ AB∥CD,.EF∥AB∥CD D ∴∠B+∠BOE=180°，∠C+∠EOC=180°， .∠B+∠BOE+∠C+∠EOC-360°， 》模型运用 ∴∠B+∠BOC+∠C=360. “铅笔头”模型与“猪蹄”模型之 方法②作延长线 间可以互相转化，在做题时可 如图，延长AB,CO相交于点E 以根据条件灵活构造模型. AB∥CD,∠E+∠C=180 '∠ABO+∠EBO=180°， .∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° :∠E+∠EBO=∠BOC, ∴.∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360°. 也可以延长BO,DC,证明同方法②. ◆0114 一本初中数学几何模型 汇>模型拓展 “铅笔头”模型中拐点数与角度和的关系 B A E 》拓展延伸 图示 多拐点“铅笔头”模型的解題思 D C 路：有多少个拐点，就添加多少 条平行线，每相邻两条平行线 平行线间 间的角度和为180°. 2 3 的拐点数 平行线间 180° 360° 540° 720° 180°×(n+1) 的角度和 例题固模型 例①（江苏盐城期中）如图，直线a与∠AOB的一边OA相交，∠1=130°，向下平移直线a得到直 线b,直线b与∠AOB的另一边OB相交，则∠2+∠3= A 的) 怎么用模型 P找题眼直线a∥b十外凸拐点O. ·配模型“铅笔头”模型 ⊙用模型过点O作OC∥a,可得∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，进而得出∠2+∠3的度数. 例2（甘肃庆阳期中）如图，如果直线AB∥CD,那么∠B+∠F十∠E十∠D= E 的) 怎么用模型 P找题眼直线AB∥CD+外凸拐点E,F, ◆配模型“铅笔头”模型 ⊙用模型先过点E作EM∥CD,过点F作FN∥CD,再根据平行线的性质，得∠B+∠BFN-18O°， ∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，从而求解. ·答案见《答案详解》PO ◆012◆ 第2章相交线与平行线 习题练模型 1.(模型秒杀)（河南新乡卫辉期末）如图，AB∥ 5.(浙江嘉兴期中)如图，AB∥CD,∠1= ED,∠B=115°，∠D=120°，则∠BCD的度 3∠ABF,CE平分∠DCF,则∠1，∠2，∠3 数为 之间的数量关系是 () 923 E D D A.125° B.135° C.115° D.105° A.∠1+2∠2+∠3=3609 2.(湖南娄底期末)如图，AB∥CD,E,F,G,H B.2∠2+∠3-∠1=3601 为AB,CD之间的四点，则∠1+∠2+∠3+ C.∠1+2∠2-∠3=90° ∠4+∠5+∠6的度数为 () D.3∠1+∠2+∠3=360 B 6.如图，已知AB∥CD. 30F B A G CN D 3 A.630° B.720° C.800° D.900° D 图1 图2 3.如图，已知直线a∥b,∠1=105°，∠2=140°， 则∠3= () E2 月2 图3 图4 A.55 B.60° C.65 D.70 (1)如图1，∠1十∠2= 4,(江西南昌期末)某小区车库门口的“曲臂直 (2)如图2，求∠1+∠2+∠3； 杆道闸”（如图1）可抽象为如图2所示的模型. (3)如图3，∠1+∠2+∠3十∠4= 已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动 (4)如图4，试探究∠1十∠2十∠3+∠4十…+ 识别后，“曲臂直杆道闸”的BC段绕点B逆 时针转动，使CD段一直保持水平状态上升 (即CD与AE始终平行)，在该运动过程中， ∠B+∠C始终等于 () 。答豢见《答案详解)P05 C D 图1 图2 A.360° B.180° C.250° D.270° ◆013◆':(M,(N分别是∠A(C,∠B()D的平分线， AB∥CD,E为平行线间一点，∴图形构成“猪蹄” ∠a0A-∠A0C,∠N0B-3∠B0D, 模型. 根据“猪蹄”模型的结论，得∠BEF=∠CBE+∠DFE, ,∠COD=a, .∠(G3E=∠3F-∠IDFE=70°-40=30°， ∴./AOC+/BOD=180°-a, .∠ABE-180°-∠GBE-150. ,∴./M0N=180°-(/MA+∠N(0B)=180° G (号∠A0C+∠B0D）=180°-2（∠A0x+ C F D ∠B0)=1680-1s0-a）-2a+90 3.C【解析】如图，构成“猪蹄”模型 1 (3)题多解方法①M,N分别是AC,BD的 A 504—B 中点， MC-AC.DN-BD. ∠2-65°，.∠5-180°-∠2-180°-65°-115° .AB=m,CD=n, ,∠1-115°，∴.∠4-180°-115-65 .AC+BD=m-n 易得∠5=∠4+∠C,∴.115=65°+∠C, :AMN-CD+MC+DN-CD+号AC+号BD .∠C=50 4.570【解析】，拐点个数为4，根据猪蹄”模型可知 CD+(AC+BD)(m+. ∠O1+∠O+∠O:+∠O.-∠B+∠D+(4-1)× 180°，.∠0+∠(0g+∠(03+∠(04=30°+(4 方法②M,N分别是AC,BD的中点， 1)×180°-570 ∴AM-号AC,BN-号BD. 5.解：(1)80 ,AB-m,CD一n, 2②∠ENF=鼻的知下， ∴.AC+BD-m-, 如图，过点N作NH∥AB. :“AN=AB-(M+EBN)=AB-(2AC+2BD） EB M< C 1 FD 由(1)，知∠EMF=∠AEM+∠CFM. AB∥CD,.AB∥CD∥NH, 相交线与平行线 ∴∠AEN-∠ENH,∠HNF-∠CFN, 模型3 “猪蹄”模型 ·∠NF=∠NH+∠HNF=3∠AM+ 》例题固模型 3∠CM=号AB+∠CW=∠BF=3 例A【解析】如图，过点E作EF的反向延K线EG 模型4 “铅笔头”模型 y B 》例题固模型 例1230【解析】一题多解方法①如图，过点O作 G OC∥a. ,AB∥CD∥EF, .∠I=∠BCD,∠DCE=∠GEC .∠G℃=180°-∠2， 0Q2 .∠EBCE=∠DCE+∠BCD=180°-∠2+∠1. 》习题练模型 '直线“向下平移得到直线b, 1.c a∥b,OC∥b, 2.A【解析】如图，延长AB创点G. ∴.∠1+∠A0℃-180°，∠(OB+∠3-180°， 。04· ∴.∠1+∠2+∠3=360°， 5.A【解析】如图，过点E作EH∥AB,过点F作 ∴.∠2+∠3=360°-∠1=230. FI∥CD. 方法②符合“铅笔头”模型 ∠1-130°， ∴∠2+∠3-360°-∠1-230°. 例2540【解析】题多解方法①如图，过点E作 “∠1-号∠AF,CE平分∠DCr. EM∥CD,过点F作FN∥CD C D ./ABF=3/1,/DCF-=2/ECD. M----E 'AB∥CD,.AB∥EH∥CD,AB∥FI∥D, N----------F .∠IBFH-∠1，∠CID-∠CEH,∠ABF+ A B ∠BFI-180°，∠DCF+∠CF1-180°， ,AB∥CID,.AB∥FN∥EM∥CD, ∴.∠1+∠ECD-∠BEII+∠CEII-∠2， ∴.∠B+∠BFN=18O°，∠FM+∠EN= ∠ABF+/BFI+/C+∠CFI=180+180°=360°， 180°，∠D+∠DEM-180°， 即∠1+∠ECD=∠2,3∠1+∠3+2∠ECD= ∴.∠B+∠BFE+∠DEF+∠D-∠B+ 360,∴.∠ECD=∠2-∠1， ∠BFN+∠EFN+∠FEM+∠DEM+∠D= .3∠1+∠3+2（∠2-∠1）=360°， 540. ∴.∠1+2∠2+∠3=360° 6.解：(1)，ABCD,∴./1+/2=180 方法②符合“铅笔头”模型一多拐点类型，题图 中有E,F两个拐点，根据公式180°×(n十1)，直 故答案为180° (2)如图，过点E作EF∥AB. 接可以求∠B+∠F+∠E+∠D=(2+1)× B 180°=540° >习题练模型 D 1.A AB∥CD,∴.CD∥EF, 2.D【解析】题图巾有E,F,G,H共4个拐点， .∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， 根据“铅笔头”模型的拓展结论，得∠1+∠2十 .∠1+∠2+∠3=360°. ∠3+∠4+∠5+∠6=(4+1)×180°=900°. (3)如图，过点E,F分别作A3的平行线. 3.c【解析】如图，过点M作MN∥a. B D 类比(2)可知∠1+∠2+∠3+∠4-180°×3-540°. 故答案为540°. :a∥h,.MN∥a∥h, (4)(n-1)×180 .∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°. 又∠1=105°，∠2=140°，∠4=75°，∠5=40°， 模型5 “锯齿”模型 .∠3=180°-∠4-∠5=65° 》例题固模型 4.D【解析】如图，过点B作I∥AE,则∠BAE十 ∠ABG-180, 例50【解析】本题中~共有两个扬点，符合“锯齿” 模型，根据“锯齿”模型结论，向左的角之和等 于向右的角之和，可得/1十/F=/2十/E.因为 B ---------G ∠1=∠2，所以∠E=∠F=0. A 》习题练模型 :AE∥CD,∴.BG∥CD,∴./C+/CBG=180°， 1.B ∴.∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C=360°， 2.B【解析】.BD∥EF,∴∠E=∠D 即/BAE+/ABC+C=360°. .FG//AC, ,AB⊥AE,∴.∠BME=90°， .折线GFEDBA构成“锯齿”模型 ∴∠ABG+∠C-360-90°-270° 根据“锯齿”模型的结论，得∠EFG+∠D一∠E+ ·05·