模型2 “角—双角平分线”模型&模型阶段练-【一本】·初中数学几何模型

一本初中数学几何模型 模型2“角—双角平分线”模型 真题讲模型 真题再现 (江苏盐城月考)如图，OB平分∠AOC,OD平分∠COE,∠AOC=100°，∠EOC= 40°，则∠BOD的度数为 [解析]由题意，得∠B0C=2∠A0C=50,∠C0D-∠B0C=20, ∴.∠BOD=∠BOC+∠COD=70°. [答案]70 [小结]题目条件中含有共顶点十两条角平分线时，考虑用“角一双角平分线”模型解题. 模型提炼 类型1“双角平分线和“型 》口诀巧记 已知条件 图示 结论 双角平分线组成的“新角”等于 原角的一半. 射线OP在∠AOB内部， OM平分∠BOP,ON平 2∠A0B M ∠MON= 》拓展延伸 分∠AOP 如图，已知∠AOB十∠AOC+ 0 B ∠BOC=360°，OP1平分 证明：，OM平分∠BOP,ON平分∠AOP, ∠AOC,OP:平分∠BOC, ∴∠MOP=2∠BOP,LNOP=2∠AOP, 得∠POP:=180° 1 2∠AOB. ∴.∠MON=∠MOP+∠NOP= ∠BOP+∠A0P=2UBOP+ ∠AOP)= 2∠AOB. P 类型2“双角平分线差”型 已知条件 图示 结论 射线OP在∠AOB外部， OM平分∠BOP,ON平 ∠MON=号∠A0B 分∠AOP B 证明：，OM平分∠BOP,ON平分∠AOP,∴∠POM= 2∠BOP,∠PON= ∠AOP,∠MON=∠POM-∠PON=2∠BOP- 1 2∠AOP 2(ZBOP-∠AOP)-2∠AOB. ◆004◆ 第1章几何图形初步 例题固模型 例●（四川广元期末）如图，已知∠AOB=a,∠BOC=3,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则 ∠MON的度数是 ) A2 B.2(a-B) C.a-28 怎么用模型 P我题眼共顶点O,OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线. 意配模型“角一双角平分线”模型， ⊙用模型 根据角平分线的意义得出∠MOC=2∠AOC,∠NOC-2∠BOC,可得到∠MON ∠M0C-∠N0C=2∠A0C-2∠BOC=2∠A0C-∠B0C)-2∠A0B. ·答案见《器案详解P01 习题练模型 1.(模型秒杀)（河北衡水期末）如图，点A,O,B A.45 在同一条直线上，OD,OE分别平分∠AOC和 846+号ZA0c ∠BOC.若∠COD=65°，则∠DOE的度数为 C.0-AOC D90-3∠A0c () 3.(陕西西安碑林区期末)如图，∠AOB=126°， 射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC 2∠AOC.若OM平分∠BOC,ON平分 ∠AOC,则∠MON A.145 B.120 B C.90° D.75 2.(江苏南通期末)如图，已知∠AOB是直角， ∠AOC是锐角，OM平分∠BOC,ON平分 ∠AOC,则∠MON的度数为 () 4.已知∠AOB=90°，OC为一条射线，OE,OF 分别平分∠AOC,∠BOC,那么∠EOF的度 数为 5.已知∠AOB=130°，作射线OC.射线OD,OE 分别是∠AOB,∠BOC的平分线. ◆0054 一本初中数学几何模型 (1)如图，当射线OC在∠AOB的内部时. 6.已知∠AOC和∠BOC,OD平分∠BOC,OE ①若∠BOC=30°，则∠DOE的度数 平分∠AOC. 为 (1)请写出一对相等的角. ②若∠BOC=a,求∠DOE的度数（用含a的 (2)如图，若∠AOC在∠BOC的外部，且 式子表示). ∠AOB=120°，其他条件不变，求∠EOD的 (2)当射线OC在OA的左边时，若∠BOC= 度数.从结果中你能看出∠EOD与∠AOB之 3,且130°<3<180°，请直接写出∠DOE的度 间有什么数量关系吗？ 数（用含B的式子表示）. (3)若∠AOC=a,∠BOC=B(a,B都大于0° 且小于180°，且a<3),其他条件不变，试求 ∠EOD的度数（结果用含a,B的代数式 表示). ·答案见《答案详解》PO1 ◆006◆ 第1章几何图形初步 模型阶段练 1.(山东德州武城期末)如图，∠AOB=120°，OC ∠BOD的度数是多少？ 是∠AOB内部的一条射线，OD,OE分别是 (2)如果∠AOE=160°，∠COD=30°，那么 ∠AOC,∠BOC的平分线，下列叙述正确的是 ∠AOB的度数是多少？ A.∠AOD+∠BOE=60 B∠AOD=3∠BOC C.∠BOE=2∠COD D.∠DOE的度数不能确定 2.(山东潍坊期末)如图，C,D是线段AB上任 6.(广西梧州苍梧期末)如图1，点O在直线AB 意两点，M是线段AC的中点，N是线段DB 上，过点O在直线AB的同侧作射线OC, 的中点，若AB=m,MN=n,则线段CD的长 OD,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平 等于 ( 分线。 A MC D N B (1)若∠COD=110°，则∠MON的度数是 1 A.2(m+n) B.2(m-n) 多少？ (2)若∠COD=a,请你猜想∠MON的度数 C.2m-n D.2n-m (结果用含α的代数式表示)，并说明理由. 3.(湖北黄冈下陆区期末)如图，C是线段AB上 (3)其实线段的计算和角的计算存在着紧密 任意一点（不与端点重合），M是AB的中点， 的联系.如图2，已知线段AB=m,C,D是线 P是AC的中点，Q是BC的中点，给出下列 段AB上两点，线段CD=n,M,N分别是 结论：①PQ=MB;②PM=2(AM-MC): AC,BD的中点，求MN的长（结果用含m,n 的代数式表示). ③PQ-号(AQ+AP):④MQ 2(MB+ C M MC).其中正确的结论有 ( B A MC DN B A P M C Q B 图 图2 A1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(广东广州越秀区期末)有两条长度分别为 10cm,12cm的线段，将它们其中一端重合并 放在同一条直线上，则两条线段的中点之间 的距离是 5.(四川广元旺苍期末)如图，OB是∠AOC的 平分线，OD是∠COE的平分线 (1)如果∠AOB=50°，∠DOE=30°，那么 。答案见《答案详解》P02 ◆0074AC.CN-BC, CM-1 第 章几何图形初步 ..MN=CM+CN=- AC+号c=号A=4 1 模型① “线段—双中点”模型 故答案为24， >例题固模型 例D【解析】：M,N分别是线段AB,BC的中点， (2D当点C在线段AB上时，MmN-2AC+号8C- 1 .BM-7AB,BN-2BC, 1 合x10+日4=n+5i MN-HM-BN-A B-= 1 ②当点G在线段AB的延长线上时，MN一CM 4c-x10-5 CN-2AC-2BC-X10-m 》习题练模型 ③当点C在线段BA的延长线上时，MN=CN一 1.B cM-2c-Ac=-x10=-5 2.12【解析】，M,C分别是线段AN,BN的中点， ∴.AN-2MN,BN-2CN, 综上所述，线段MN的长为2n+5或5一2或 ..AB-AN+BN-2MN+2CN-2CM. 2m-5. 'CM=6 cm,.'.AB=12 cm. 3.解：，AC:BC-3:2,∴.可设AC-3xcm,BC- 模型2 “角—双角平分线”模型 2x cm,.'.AB=AC++BC=5r cm. ,D,E分别是线段AC,AB的中点， 》例题固模型 AD=号AC=1.5xcm,AE=号AB=25xcm 例D【解析】，(OMΨ分∠AC,(ON平分∠BC, .DE=AE-AD=2.5x-1.5x=x(cm). ∴∠M0C=2∠A0C,∠N0C=z∠0C, DE=2 cm,..x=2,.AB=10 cm. 4.解：①当点C在线段A3上时， ÷ZM0N=LM0C-∠GC=专∠A0C .'BC-4 cm, ∴.AC-AB-BC-6em /B-2/ac-/00-3/A08- ,M是AC的中点， 》习题练模型 MC-AC-3 cm. 1.c 2.A【解析】'(M平分∠BC,(ON平分∠A(C ,∴.BM=MC+5C=3+4=7(cm). ②当点G在线段AB的延长线上时， ÷∠MCC=7∠B0C,LN0C=7LA0C, .AB=10 cm:BC=4 cm. .∠MN=∠MC-∠NC .AC=AB+BC=14 cm. /B00-2/A0c ,M是AC的中点， 1 MC-号AC-1em (/C-/A0)-号/B0A-×90 -45. .BM=MC-BC=7-1=3(cm). 3.117【解析】：∠A(OB+∠BC+∠A(C=360° 综上，线段BM的长为7cm或3cm ∠AOB-126°， 5.解：(1)①M为线段AC的中点，AC=10, .∠B℃+∠A(℃=360°-∠A(0B=234° CM=2AC=2X10=5. ,OM平分∠IOC,ON平分∠AOC, N为线段C的点，BC=4CN=BC=2, ∴/M0C-2/B0c,/00N- 2/40C. ∴∠MON-∠MOC+∠CON-2∠B0C+ ∴.MN=CM+CN=5+2=7. ②：M,N分别为线段AC,BC的巾点， 名NC=2B0C+ZN0)-号×23r-1r ·01 4.45或135【解析1①如图，当(C在∠A(B的内部州. ∴∠DOE-∠BOD-∠BOE-65°- 9 2a. (2)∠D0E=2B-65° 提示：：∠A()B=130°，∠B(C=P,射线(0D,(0E分 B 别是∠AO3,∠13C的平分线， :(E,(OF分别平分∠A(C,∠BC,∴∠CE 1 ./AOD-/BOD-/AOB-65'/COE- 7∠AC,∠coF=3∠C.ZcE+ZQ5 ∠BE=2B, AOC+/EOF/AOB. ∴∠DOE=∠B0E-∠0D=2A-63 又：/A(OB=90°，∴./E0F=45 ②如图，当OC在∠AOB的外部（常近OA)时. 6解：(1)答案个唯一，如∠AOE-∠COE. (2)因为OR平分∠AOC, 所以∠c0E=AC. 同理，∠D0X=号∠B0C, 所以∠BOD-∠D0C+∠cOE-2∠B0C+ OE,OF分别平分∠AOC,∠C,∴.∠FC= 2/A0c=3/A0B 2∠A0c,∠oc-3∠1c,∠C+∠0c 因为∠A(0B=120°，所以∠E(D=60°， ZA+ZB0C-ZA+ZB00)- 从结果巾能石出：∠BOD-2∠A0B, 2X(8602-909=135,∠E0F=135 (3)①当∠AOC在∠BOC的外部时，由(2)可知 ③如图，当O℃在∠AO的外部（常近O3)时， ∠poD=2a+p. 同理可求得∠EOP-45 ②当∠AO℃在∠1O℃的内部时， 因为OE平分∠AOC, 1 所以∠00E=2∠A0C=2a. 同理，∠D0C=7∠B0C=A, 综上所述，∠E0F的度数为45或135°. 所以∠0D=∠ID0C-∠C0=2(B-a). 5.解：(1)①/A(0B=130°，/B(C=30°，射线(OD, 综上所述，∠B0D-(a+D成∠BOD-2g 1 (OE分别是∠AOB,∠B(C的平分线， /AOD-/BOD-/AOB-65 /COE- a). ∠130=15°， 模型阶段练 ∠D0E-∠B0D-∠B0E-65°-15°-50°. 1.A 放答案为50° 2.D【解析】，AB=m,MN=n, ②：∠A()B=130°，∠B(0C=x,射线(OD,(E分别 .AB-MN=m-n,AM+BN=m-n. 是∠A(OB,∠B(C的平分线， ,M是线段AC的中点，N是线段DB的中点， ..AM=CM,BN=DN: ∠AOD=∠BOD=2∠A0B=65,∠C0E= ..AC+BD=AM+CM+BN+DN=2(AM+ 1 BN)=2(m-n)=2m-2n, ∠BOE=2a, ..CD-AB-(AC+BD)-m-(2m-2n)-2n-m. ·02· 3.C【解析】：P是线段AC的中点，Q是线段BC的 ∴.∠CB=∠A()B,∠DE=∠CD. 中点， :∠A0B=50°，∠D0E=30°， ∴PC-2AC,CQ-2C, ∴∠C0B-50°，∠D0C-30, ∴.∠B(D=∠C()B+∠D℃=50°+30°=80° FQ-FC+0Q-2AC+号 (2),OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平 ,M是线段AB的巾点， 分线， ∴MB=7AB,∴PQ=MB.放①正确 ∴.∠CB=∠A(B,∠D)E=∠CC0D ∠C0D-30°，/AOE-160°， ,M是线段AB的中点，P是线段AC的中点， ∴.∠DE=30°， AM-M-号A,AP- AC, ∴.∠AOC-∠AOE-∠DOE-∠OD-160° 30°-30°=100°， :.PM-AM-AP-7AB-7AC-7DC. ∠AOB=50 6.解：(1)三题多解方法①OM,ON分别是∠AOC, .'AM-MC=BM-MC=BC, ∠1OD的平分线， ∴PM=2(MM-MC).枚②正确. ÷ZAM0C-2∠A0C,Z0D- 2∠B0D. 由①可得，PQ=PC+CQ=2AB, ,∠00=110°， .∠A0℃+∠B0D-180°-110°-70° 而AQ十AP≠AB,故③错误 ,M是线段AB的中点，Q是线段BC的中点， ∴.∠MN=∠CD+∠MC+∠N(D=∠CD+ .MB-2 AB.BQ-BC, 2/A0c+/B0D-/00D+2/A0C+ MQ=M-Q=2A书-2C=2 AC. ∠800)-10+号×70-145 .'BM-AM, 方法②·(M,()N分别是∠A(C,∠B(D的平 .BM+MC-AM+MC-AC, 分线， MQ-MB+MC).故④正第 ÷∠M0A-2∠A0C,∠OB-2∠B0D, :∠C00=110°， 综上所述，正确的结论有3个 ∴∠A(0C+∠B()D=180°-110°=70， 4.1cm或11cm【解析】设较长的线段A3=12cm, ∴∠MON=180°-（∠MOA+∠NOB)=180° 较短的线段BC=10cm. 分两利情况讨论： (信∠A0c+号∠B0D)=180-专（∠A0c+ ①如图，当两条线段在重合一端的同侧时. B NM CA /B0D)-180-2×70-145. ,M是AB的中点，N是BC的中点， (2)一多霜方法①猜想：∠MN=7a十90.理 BM-AB-6 cm.BN-pC-5 cm, 山如下： .MW=BM-BN=6-5=1(cm). :OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线， ②如图，当两条线段在重合一端的异侧附。 ∴ZM0C=号∠A0C,∠OD-=∠0D. N B M ∠C(D=a M是AB的中点，N是BC的中点， ∠AOC+∠BOD-180°-a, BM=7 AB=6 cm,BN-7BC-5 cm, ∴.∠MN=∠CD+∠MC+∠N(D=∠CD+ ∠a0c+号∠B0D-∠C0D+日（∠A0c+ 1 ..MN-BM++BN-6+5-11(cm). 综上所述，两条线段的中点之间的距离是1cm或 11cm. ∠B0D)-a+210-a）-号+90e 5.解：(1)(B是∠A(C的平分线，(0D是∠C)E的 平分线， 方法②猎总：∠MN=2+90理由如下。 ·03· ':(M,(N分别是∠A(C,∠B()D的平分线， AB∥CD,E为平行线间一点，∴图形构成“猪蹄” ∠a0A-∠A0C,∠N0B-3∠B0D, 模型. 根据“猪蹄”模型的结论，得∠BEF=∠CBE+∠DFE, ,∠COD=a, .∠(G3E=∠3F-∠IDFE=70°-40=30°， ∴./AOC+/BOD=180°-a, .∠ABE-180°-∠GBE-150. ,∴./M0N=180°-(/MA+∠N(0B)=180° G (号∠A0C+∠B0D）=180°-2（∠A0x+ C F D ∠B0)=1680-1s0-a）-2a+90 3.C【解析】如图，构成“猪蹄”模型 1 (3)题多解方法①M,N分别是AC,BD的 A 504—B 中点， MC-AC.DN-BD. ∠2-65°，.∠5-180°-∠2-180°-65°-115° .AB=m,CD=n, ,∠1-115°，∴.∠4-180°-115-65 .AC+BD=m-n 易得∠5=∠4+∠C,∴.115=65°+∠C, :AMN-CD+MC+DN-CD+号AC+号BD .∠C=50 4.570【解析】，拐点个数为4，根据猪蹄”模型可知 CD+(AC+BD)(m+. ∠O1+∠O+∠O:+∠O.-∠B+∠D+(4-1)× 180°，.∠0+∠(0g+∠(03+∠(04=30°+(4 方法②M,N分别是AC,BD的中点， 1)×180°-570 ∴AM-号AC,BN-号BD. 5.解：(1)80 ,AB-m,CD一n, 2②∠ENF=鼻的知下， ∴.AC+BD-m-, 如图，过点N作NH∥AB. :“AN=AB-(M+EBN)=AB-(2AC+2BD） EB M< C 1 FD 由(1)，知∠EMF=∠AEM+∠CFM. AB∥CD,.AB∥CD∥NH, 相交线与平行线 ∴∠AEN-∠ENH,∠HNF-∠CFN, 模型3 “猪蹄”模型 ·∠NF=∠NH+∠HNF=3∠AM+ 》例题固模型 3∠CM=号AB+∠CW=∠BF=3 例A【解析】如图，过点E作EF的反向延K线EG 模型4 “铅笔头”模型 y B 》例题固模型 例1230【解析】一题多解方法①如图，过点O作 G OC∥a. ,AB∥CD∥EF, .∠I=∠BCD,∠DCE=∠GEC .∠G℃=180°-∠2， 0Q2 .∠EBCE=∠DCE+∠BCD=180°-∠2+∠1. 》习题练模型 '直线“向下平移得到直线b, 1.c a∥b,OC∥b, 2.A【解析】如图，延长AB创点G. ∴.∠1+∠A0℃-180°，∠(OB+∠3-180°， 。04·