精品解析：2025年湖北省襄阳市襄城区中考适应性考试数学试题

襄城区2025年中考适应性考试 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 7 2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “某市明天降雨的概率为”表示该市明天一定会下雨 B. 甲、乙两人次数学测试的平均分都是分，且方差，则发挥稳定的是甲 C. 调查某批次充电器的使用寿命，适合采用全面调查 D. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是随机事件 5. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 在平面直角坐标系中，边长为的正方形如图这样放置，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 计算：________． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 13. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______ 14. 如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 15. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则_____°，的长为_______． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： 17. 如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）画出以为边的平行四边形； （2）四边形是菱形吗？ _______ （请在横线上填“是”或“否”）； （3）直接写出点D到的距离为________； （4）在上画点E，使． 18. 如图，小明在高度为24米的楼顶C处观测到楼后一棵树的最高点A的俯角为，小亮在高4米的二楼窗户D处观测到树的最高点A的仰角为，已知他们的观测点C，D和楼底E在一条直线上，求树的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）_____，_______； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有_______人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，请求出a、b的值，并结合图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线： （2）若，求的长． 22. 综合与实践： 当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧． 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为． 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒． 【解决问题】请按要求完成下列任务： （1）分别求y关于x，S关于x的函数解析式； （2）若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值； （3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长． 23. 在中，，点D是射线上一点，点E是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点F恰好落在直线上． （1）如图1，若，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若点F在的延长线上，且，求折痕的长； （3）如图3，若点D在的延长线上，点F在的延长线上，且，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的点，满足，求点P的坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w与y轴交于点Q，设w的顶点的横坐标为m，的长为d． ①直接写出d关于m的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当d随m的增大而增大，且抛物线w将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄城区2025年中考适应性考试 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，且 ∴最接近标准质量的是， 故选：A． 2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、同底数幂除法、二次根式的乘法、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 利用负整数次幂、同底数幂除法、二次根式的乘法、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “某市明天降雨的概率为”表示该市明天一定会下雨 B. 甲、乙两人次数学测试的平均分都是分，且方差，则发挥稳定的是甲 C. 调查某批次充电器的使用寿命，适合采用全面调查 D. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小，方差，全面调查，随机事件，根据可能性大小，方差，全面调查，随机事件相关知识逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：“某市明天降雨的概率为”表示该市明天下雨的可能性更大，原选项说法错误，不符合题意； 、甲、乙两人次数学测试的平均分都是分，且方差，则发挥稳定的是乙，原选项说法错误，不符合题意； 、调查某批次充电器的使用寿命，适合采用抽样调查，原选项说法错误，不符合题意； 、“经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是随机事件，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 5. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，边长为的正方形如图这样放置，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键．先根据正方形的性质以及勾股定理可得，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质可得A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，据此即可解答． 【详解】解：∵边长为的正方形如图这样放置， ∴， 如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 故选：C． 7. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， 根据题意，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 8. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 9. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点． 设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 10. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值、二次根式的性质、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据绝对值、二次根式的性质、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有四种区域文化，随机选一种文化开展专题学习，随机选一种文化开展专题学习， ∴则选中“荆楚文化”的概率是， 故答案为：． 13. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数，当时，函数值随的值增大而减小写出表达式即可． 【详解】解：设一个正比例函数为， ∵当时，函数值随的值增大而减小， ∴写出一个函数值随的值增大而减小的正比例函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为M，则， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得， ， 解得． 故答案为：． 15. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则_____°，的长为_______． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作交的延长线于点E，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，则；再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于点E， ∵将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴．． 故答案为∶ 45，． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是关键．先计算单项式乘以多项式、括号内分式的加法、把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法，最后计算整式加减法即可． 【详解】解： 17. 如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）画出以为边的平行四边形； （2）四边形是菱形吗？ _______ （请在横线上填“是”或“否”）； （3）直接写出点D到的距离为________； （4）在上画点E，使． 【答案】（1）图见解析； （2）是； （3）4； （4）图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图-网格作图，平行四边形、菱形的判定，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点，连接，则四边形即为所求的平行四边形； （2）由网格和勾股定理得到，即可得出结论； （3）四边形为菱形，所以点到的距离点到的距离，点到的距离点到的距离，由网格可知，点到的距离为，即可得出答案； （4）取格点，连接，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：取格点，连接，则四边形即为所求的平行四边形，如图： 由网格可知，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由网格可得：，， ∴， ∴四边形为菱形， 故答案为：是； 【小问3详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴点到的距离点到的距离， 点到的距离点到的距离， 由网格可知，点到的距离为， ∴点到的距离， 故答案为：； 【小问4详解】 解：取格点，连接，连接交于点，则点即为所求，如图： 由网格可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，小明在高度为24米的楼顶C处观测到楼后一棵树的最高点A的俯角为，小亮在高4米的二楼窗户D处观测到树的最高点A的仰角为，已知他们的观测点C，D和楼底E在一条直线上，求树的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】12.6米 【解析】 【分析】此题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．过点作于点，设，则.根据列出方程，解出的值即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F， ∴. 设，则. 由题意可得，，， 在中，. 在中，， ∴， ∴， 解得（米）， 则（米）. 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）_____，_______； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有_______人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）6，5 （2） 补全条形图如下： （3）275 （4）从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均个数是5.8；从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上个数不少于6个；从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5个的人数最多 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行计算即可； （2）根据（1）中求出的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）根据平均数、中位数、众数的意义，进行作答即可． 【小问1详解】 解：作4个人数为：； 作8个的人数为：； 将数据排序后，第20个和第21个数据均为6， ∴； 作5个的人数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）； 故答案为： 【小问4详解】 略 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，请求出a、b的值，并结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数的平移，图象法求不等式的解集，是解题的关键． （1）把代入求出m，得，从而可求出k的值，即得反比例函数的解析式； （2）由直线平移得，把点代入得，根据直线与反比例函数的图象的交点为，结合图象可得不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上，∴， ∴反比例函数解析式为： 【小问2详解】 ∵将直线向下平移后得直线， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得，． 根据函数图象及交点坐标可知，不等式的解集为． 21. 如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定和，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识的综合运用，掌握切线的判定，角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可证，，，结合切线的判定即可求解； （2）如图，过点作于点，可证，则，在中，根据勾股定理得到，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的直径，且， ∴， 在中，， ∴． 22. 综合与实践： 当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧． 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为． 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒． 【解决问题】请按要求完成下列任务： （1）分别求y关于x，S关于x的函数解析式； （2）若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值； （3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长． 【答案】（1） （2）4 （3）S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用． （1）根据题意列出y关于x，S关于x的函数解析式即可． （2）当时，解一元二次方程，并选择合适的答案即可． （3）由y的取值范围得出x的取值范围，再根据二次函数的图像和性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 即． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 解得， （舍去）， 答：x的值为4． 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴，解得，， ∵， 又∵， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为408， 即S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm． 23. 在中，，点D是射线上一点，点E是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点F恰好落在直线上． （1）如图1，若，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若点F在的延长线上，且，求折痕的长； （3）如图3，若点D在的延长线上，点F在的延长线上，且，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再根据平行线的判定与性质以及等腰三角形的判定可得，进而得到证明结论； （2）如图2：过E作于点G，于点H，易得四边形是矩形、，再证明可得，设，则，， ，再根据勾股定理列方程可得，即；设，则，同理可得，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． （3）如图：3，过点E作于点G，令，则，易得，根据相似三角形的性质列比例式可得，进而得到；同理由(2)知，，设，则，利用勾股定理列方程可得，进而得到，最后代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵将沿直线折叠，使点B的对应点F恰好落在直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图2：过E作于点G，于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ， 由折叠性质知，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：，即， ∴， ∴． 【小问3详解】 解∶如图：3，过点E作于点G， ∵ ∴令，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 同理由(2)知，， ∴设，则， 由折叠性质知． 在中，， ∴，解得：， ∴． ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的点，满足，求点P的坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w与y轴交于点Q，设w的顶点的横坐标为m，的长为d． ①直接写出d关于m的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当d随m的增大而增大，且抛物线w将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①当时，，当或时，；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于D，先求出点C坐标，得到的长，再求出的长，则可求出的值，设，则，进而得到，根据建立方程求解即可； （3）①求出原抛物线顶点坐标，则由平移的性质可得w的顶点坐标为，则w的解析式为，进而得到，则，据此求解即可；②根据（3）①所求求出d随m增大而增大时，m的取值范围，再根据A、B、C的坐标确定内的整点个数和整点坐标，再分图3和图4两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作轴于D， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴点P一定在点C的上方， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∵抛物线对称轴为直线， ∴此时点P在抛物线对称轴右侧，符合题意， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：①∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为 ∵将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w的顶点的横坐标为m， ∴w的顶点坐标为， ∴w的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 当，即时，则， 当，即或时，则； ②如图2所示， 当时，此时函数开口向下，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大， 当时，此时函数开口向上，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大； ∵， ∴内的整点有共6个整点， 如图3所示，当抛物线w的对称轴右侧平分整点个数时， 则， 解得， ∴； 如图4所示，当抛物线w的对称轴左侧平分整点个数时， 则， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题，解（2）的关键在于求出的值，解（3）的关键在于确定d关于m的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $