专题04：列方程（组）解应用题【五大重难点题型专练】 ------ 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题09 列方程组解应用题 1、 列方程（组）解应用题的关键 列方程（组）解应用题的关键是根据题意把已知量与未知量联系起来，找出等量关系． 2、 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题：理解题意，弄清楚题中的已知量、未知量以及它们之间的关系 （2）设未知数：选择适当的量来设未知数，用字母表示出来 （3）列方程：认真分析题目中的相等关系，列出方程（组） （4）解方程：准确求出未知数的值 （5）检验：要使方程有意义或满足实际情况 （6）作答：检验方程的解符合题意后，写出答案，注意单位名称 3、 方案问题 增长率问题： ； 现有产量为a，年平均增长率为x，经过n年后，年产量 现有产量为a，年平均减少率为x，经过n年后，年产量 存款问题： ；； 商品销售问题： ；； 4、 浓度问题 ；； 5、 工程问题： 6、 行程问题： 题型1：列分式方程应用题（工程类） 1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 2．（2024春·上海浦东新·八年级统考期末）新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩？ 3．（2022春·上海·八年级期中）为迎接线下开学，某学校决定对原有的排水系统进行改造，如果甲组先做5天后，剩下的工程由乙组单独承担，还需7.5天才能完工，为了早日完成工程，甲乙两组合作施工，6天完成了任务；甲乙两组单独完成此项工程各需要多少天？ 4．（2024春·上海金山·八年级统考阶段练习）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成； 万案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成． （l）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 5. （黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 提示：本题可以设该厂实际每天生产x面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会． 6. 题型2：列分式方程应用题（行程类） 6．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 7．（2022春·上海·八年级校考期中）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？ 8．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，求火车原来行驶的速度． 9．（2022春·上海·八年级期末）甲、乙两辆客车分别从相距400千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了250千米，如果乙车每小时比甲车多走20千米，求甲、乙两车速度． 10．（2021春·上海松江·八年级校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果按原速度继续行驶20千米到达B站，也晚点6分钟，但如果从A站到B站将速度每小时加快10千米，那么可以在B站准点到达，求火车原来行驶的速度． 11．（2024春·八年级校考课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度． 12.（嘉定2024期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 13．（2023春·八年级单元测试）甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？ 14.、两地相距48，一艘轮船从地顺流航行至地，比从地逆流航行至地少用，已知水流速度为，求该轮船在静水中的航行速度是多少?若设该轮船在静水中的速度为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 题型3：列分式方程应用题（销售类） 15．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 16．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）某商店将甲、乙两种糖果混合销售，已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为18元/千克，现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入3千克甲种糖果再出售时，混合糖果的单价为19元/千克．问这箱甲种糖果有多少千克？（列方程或方程组解答） 17．随着国家新冠疫情管控方式的变化，某药店用元购送了一批布洛苏缓释胶囊，上市后销售非常快，于是该药店又用元购进第二批这种药品，所购数量是第一批购进数量的倍，但每盒进价多了元． (1)该药店两批共购进这种药品多少盒？ (2)为了更好地为广大患者服务，该药店将两批药品按同一价格全部销售完毕后，获利不低于元，求每盒这种药品的售价至少是多少元？ 18．某商店欲购进，两种商品，B种每件进价是A种每件进价的倍，用元购买A种的数量比用同样金额购买B种的数量多件． (1)求，两种纪念品的每件进价分别为多少元？ (2)若该商店A种商品每件售价元，B种每件售价元，该商店准备购进，两种商品共件，且这两种商品全部售出后，总获利高于元，则最多购进A种商品多少件？ 19．某商店第一次用元购进铅笔若干支，第二次又用元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后总获利不低于元，问每支铅笔售价至少是多少元？ 20．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 21.（浦东四署2024期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 题型4：列二元二次方程组的应用题 22.一个工程队挖通一段隧道要14天，如果增加4名队员，每人每天多工作1小时，那么这个工程可以在10天内完成；如果工程队再增加6名队员，每人每天再多工作1小时，那么全部工程只需7天就能完成．工程队原来有队员多少人？原来每人每天工作多少小时？ 23.长江水流速为4千米/时．长寿港在重庆港下游80千米处，如果慢船在重庆港、快船在长寿港同时出发相向而行，那么它们将在中点处相遇；如果慢船在长寿港、快船在重庆港同时出发相向而行，那么快船到长寿港的时间比慢船到重庆港的时间早2小时30分．求快船、慢船各自在静水中的速度． 24．小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为 . 25．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 （1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ （2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？ （3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 题型5：与图形有关的应用题 26．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．” (1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由． (2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？ 27.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．A B C D E 28.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标． 1．（2023下·上海·八年级专题练习）甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙两人一起加工，6天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x天．y天可列方程组为 ． 2．（2023下·上海·八年级期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为： ． 3．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的倍． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天用含的代数式表示可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过万元？ 4.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 5.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍． 6.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满? 7．（2024秋·上海·八年级校考阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰． （1）两个小组的攀登速度各是多少？ （2）如果山高为，第一组的攀登速度是第二组的倍，并比第二组早到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？ 8．（2022春·上海·八年级期末）八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？ 9．（2024春·上海松江·八年级统考期末）甲，乙两人同时从地出发，沿相同路线骑自行车前往距离地15千米的地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？ 10．（2021春·上海·八年级校考期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度． 11.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度． 12．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？ 13．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 14．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，最后，小正同学用42元买了这两种水果，且两者的千克数相同． (1)这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？ (2)小正同学最终买了多少千克的水果？ 15．春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元． (1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？ (2)在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？ 16．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 17．面对美国的芯片封锁，我国半导体芯片产业逆势上扬，自主研发，迎来空前的力度和热情，发展迅猛．我国某芯片厂在今年实现了生产线的升级，现在平均每天比原来多生产5万张芯片，并且现在生产60万张芯片所需时间与原来生产45万张芯片所需时间相同，请问现在平均每天能生产多少万张芯片？ 18．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题09 列方程组解应用题 1、 列方程（组）解应用题的关键 列方程（组）解应用题的关键是根据题意把已知量与未知量联系起来，找出等量关系． 2、 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题：理解题意，弄清楚题中的已知量、未知量以及它们之间的关系 （2）设未知数：选择适当的量来设未知数，用字母表示出来 （3）列方程：认真分析题目中的相等关系，列出方程（组） （4）解方程：准确求出未知数的值 （5）检验：要使方程有意义或满足实际情况 （6）作答：检验方程的解符合题意后，写出答案，注意单位名称 3、 方案问题 增长率问题： ； 现有产量为a，年平均增长率为x，经过n年后，年产量 现有产量为a，年平均减少率为x，经过n年后，年产量 存款问题： ；； 商品销售问题： ；； 4、 浓度问题 ；； 5、 工程问题： 6、 行程问题： 题型1：列分式方程应用题（工程类） 1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（春·上海浦东新·八年级统考期末）新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩？ 【答案】该厂原来每天加工10万个口罩． 【分析】设该厂原来每天加工万个口罩，根据工厂需加工一种口罩250万个，在加工了100万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工2.5万个，结果提前了3天完成任务，可列方程求解． 【详解】解：设原来每天加工万个口罩，采用了新技术后，每天加工（）万个口罩， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，均是原方程的解， 但不符合题意，舍去． 答：该厂原来每天加工10万个口罩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是以时间做为等量关系，根据天数=加工的个数除以每天加工的个数列方程求解即可． 3．（2022春·上海·八年级期中）为迎接线下开学，某学校决定对原有的排水系统进行改造，如果甲组先做5天后，剩下的工程由乙组单独承担，还需7.5天才能完工，为了早日完成工程，甲乙两组合作施工，6天完成了任务；甲乙两组单独完成此项工程各需要多少天？ 【答案】甲组单独完成此项工程需要10天，乙组单独完成此顶工程需要15天． 【分析】设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要天．等量关系：甲组先做5天的工作量+乙做7.5天的工作量＝1． 【详解】设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要天． 依题意得 解得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的根， 当x＝10时，＝＝15． 答：甲组单独完成此项工程需要10天，乙组单独完成此顶工程需要15天． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的公式：工作总量=工作时间×工效． 4．（春·上海金山·八年级统考阶段练习）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成； 万案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成． （l）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 【答案】（1）甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天；（2）甲队实际施工600米，乙队实际施工400米 【分析】（1）本题有两个相等关系：甲、乙两队合作施工12天完成的工作量之和=1，甲队先做10天完成的工作量+乙队单独施工15天完成的工作量=1，据此设未知数列方程组解答即可； （2）根据（1）题的结果列式计算即可． 【详解】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需y天，根据题意，得： ，解得：， 经检验：是所列方程组的解， 答：甲队单独完成此项工程需20天，乙队单独完成此项工程需30天． （2）方案一中：甲队实际施工=米，乙队实际施工=米． 答：方案一中，甲、乙两队实际各施工了600米、400米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 5. （黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 提示：本题可以设该厂实际每天生产x面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会． 【答案】108顶； 【解析】解：设该厂实际需要x天完成生产任务，由题意列方程得： -=36，解得：x1=8，x2=-6（不合题意，舍去），经检验，x=8是原方程的根，则720×（1+20%）÷8=108（顶）．答：该厂实际每天生产帐篷108顶． 题型2：列分式方程应用题（行程类） 6．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 【答案】甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米． 【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据“行驶一半的路程甲所用时间比乙所用时间多2小时”列出方程求解即可． 【详解】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴原方程的解是x＝3， 则x＋2＝5， 答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是能够表示两人所用时间，然后根据题意列方程求解． 7．（2022春·上海·八年级校考期中）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时． 【分析】设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（-x）公里/小时，根据到达B地比乙到达A地快1小时21分钟可得=，解出方程检验即可得答案． 【详解】解：设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（-x）公里/小时， 根据题意得：=， 去分母化为整式方程得：x2+31x-180=0， 解得x=5或x=-36， 经检验，x=5和x=-36都是原方程的解，但x=-36不符合题意，舍去， ∴x=5， ∴-x=9-5=4， 答：甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 8．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，求火车原来行驶的速度． 【答案】火车原来行驶的速度为40千米每小时 【分析】设货车原来的行驶速度为x千米每小时，然后根据将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，列出方程求解即可． 【详解】解：设货车原来的行驶速度为x千米每小时， 由题意得：， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴火车原来行驶的速度为40千米每小时． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 9．（2022春·上海·八年级期末）甲、乙两辆客车分别从相距400千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了250千米，如果乙车每小时比甲车多走20千米，求甲、乙两车速度． 【答案】甲车的速度是30千米/小时，乙车的速度是50千米/小时． 【分析】设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+20）千米，根据两车行驶的时间相等列方程求解即可． 【详解】解：设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+20）千米， 由题意：， 解得x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解且符合题意， x+20＝50， ∴甲车的速度是30千米/小时，乙车的速度是50千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据两车行驶的时间相等列方程求解，解分式方程不要忘记检验． 10．（2021春·上海松江·八年级校考期中）一列火车到达A站已经晚点6分钟，如果按原速度继续行驶20千米到达B站，也晚点6分钟，但如果从A站到B站将速度每小时加快10千米，那么可以在B站准点到达，求火车原来行驶的速度． 【答案】40千米/小时 【分析】根据题意列出分式方程，然后解分式方程，根据分式方程和实际意义求出方程的解即可； 【详解】设火车原来的行驶速度为x千米/小时，则提速后火车的速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝40或（舍去）， 经检验，x＝40时原分式方程的解． 答：火车原来的行驶速度为40千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找到等量关系进行列方程是解题的关键． 11．（春·八年级校考课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度． 【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时． 【分析】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时， 根据题意得 解得或， 经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际， 所以， 故船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时． 【点睛】此题主要考查列方程组解应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解． 12.（嘉定2024期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】10千米/小时，8千米/小时； 【解析】设甲平均每小时行驶x千米，则，化简为： 解得：，经.答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米. 【答案】80千米/小时； 【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时（x≥70），则小王开车去时的平均速度为（x+20）千米/小时，根据题意得：，解得：x＝80或x＝60（舍去），经检验：x＝80是原方程的解．答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时． 13．（2023春·八年级单元测试）甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】80千米/小时、60千米/小时. 【分析】设甲车、乙车的速度分别为x、y千米/小时，根据题意列方程组求解即可. 【详解】设甲车速度x千米/小时， 乙车y千米/小时，根据题意可得， ， 解得x=80千米/小时，y=60千米/小时， 答：第一次甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时. 【点睛】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出等量关系列出方程组． 14.、两地相距48，一艘轮船从地顺流航行至地，比从地逆流航行至地少用，已知水流速度为，求该轮船在静水中的航行速度是多少?若设该轮船在静水中的速度为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“比从地逆流航行至地少用”可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【解析】解：由题意可得，， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 题型3：列分式方程应用题（销售类） 15．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答． 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 16．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）某商店将甲、乙两种糖果混合销售，已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为18元/千克，现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入3千克甲种糖果再出售时，混合糖果的单价为19元/千克．问这箱甲种糖果有多少千克？（列方程或方程组解答） 【答案】千克 【分析】根据“混合前糖果总价=混合后糖果总价”列方程求解． 【详解】解：设这箱甲种糖果有千克，由题意可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的解， 答：这箱甲种糖果有千克． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 17．随着国家新冠疫情管控方式的变化，某药店用元购送了一批布洛苏缓释胶囊，上市后销售非常快，于是该药店又用元购进第二批这种药品，所购数量是第一批购进数量的倍，但每盒进价多了元． (1)该药店两批共购进这种药品多少盒？ (2)为了更好地为广大患者服务，该药店将两批药品按同一价格全部销售完毕后，获利不低于元，求每盒这种药品的售价至少是多少元？ 【答案】(1)该药店两批共购进这种药品盒； (2)每盒这种药品的售价至少是元． 【分析】（）设该药店第一批共购进这种药品盒，则第二批共购进这种药品盒，由每盒进价多了元列出方程即可； （）设每盒这种药品的售价是元，根据获利不低于元，列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设该药店第一批共购进这种药品盒，则第二批共购进这种药品盒， 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 则第二批共购进这种药品盒， （盒）， 答：该药店两批共购进这种药品盒； （2）设每盒这种药品的售价是元，由（）得第一批共购进这种药品的单价为元，第二批共购进这种药品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每盒这种药品的售价至少是元． 18．某商店欲购进，两种商品，B种每件进价是A种每件进价的倍，用元购买A种的数量比用同样金额购买B种的数量多件． (1)求，两种纪念品的每件进价分别为多少元？ (2)若该商店A种商品每件售价元，B种每件售价元，该商店准备购进，两种商品共件，且这两种商品全部售出后，总获利高于元，则最多购进A种商品多少件？ 【答案】(1)种纪念品的每件进价元，种纪念品每件进价元； (2)最多购进A种商品件； 【分析】（1）本题考查分式方程解决应用题，设种纪念品的每件进价元，则种纪念品每件进价元，根据数量关系列式求解即可得到答案； （2）本题考查一元一次不等式的应用，设购进种商品件，则购进种商品件，根据总获利高于元列不等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设种纪念品的每件进价元，则种纪念品每件进价元，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：种纪念品的每件进价元，种纪念品每件进价元； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，由题意可得， ， 解得：， ∵是整数， ∴最多购进A种商品件． 19．某商店第一次用元购进铅笔若干支，第二次又用元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后总获利不低于元，问每支铅笔售价至少是多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解题目中的数量关系，掌握分式方程，一元一次不等式的计算方法是解题的关键． （1）设第一次每支铅笔的进价是x元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）设每支铅笔售价是a元，根据数量关系列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次每支铅笔的进价是x元， ， 解得，， 检验，当时原分式方程的分母不为零， ∴是原分式方程的解， ∴第一次每支铅笔的进价是元． （2）解：第一次的进价是元，则第二次的进价为（元）， ∴两次共购买了（支）， 设每支铅笔售价是a元， ， 解得，， ∴每支铅笔售价至少是元． 20．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设实际参加游览的同学共人，则实际每人分担的车费为：元，原来每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系从而列出方程． 【解析】解：设原来参加游览的同学共人， 根据题意可得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系． 21.（浦东四署2024期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料； 【解析】解：设甲店进了x箱饮料，则乙店进了（25 - x）箱饮料． 根据题意，得． 两边同乘以x（25 - x），并整理，得，解得，经检验，是原方程的解．但当x = 250时，25 –x = -225 < 0，不合题意，所以，取x = 10． 于是，25 –x = 15． 答：甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料． 题型4：列二元二次方程组的应用题 22.一个工程队挖通一段隧道要14天，如果增加4名队员，每人每天多工作1小时，那么这个工程可以在10天内完成；如果工程队再增加6名队员，每人每天再多工作1小时，那么全部工程只需7天就能完成．工程队原来有队员多少人？原来每人每天工作多少小时？ 【答案：设工程队原来有队员x人，原来每人每天工作y小时． 根据题意，列出方程组， 原方程组可以化为， 得，，即． 将代入④，得． 答：这个工程队原来有队员20人，原来每人每天工作6小时】 23.长江水流速为4千米/时．长寿港在重庆港下游80千米处，如果慢船在重庆港、快船在长寿港同时出发相向而行，那么它们将在中点处相遇；如果慢船在长寿港、快船在重庆港同时出发相向而行，那么快船到长寿港的时间比慢船到重庆港的时间早2小时30分．求快船、慢船各自在静水中的速度． 【答案：设静水中快船速度为x千米/时，慢船速度为y千米/时． 根据题意，得， 由①，得③，代入②，得． 解这个方程，得，（不合题意，舍去）． 把代入③，得． 经检验，是原方程组的解． 答：快船、慢船在静水中的速度分别为28千米/时和20千米/时】 24．小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为 . 【答案】16 【分析】仔细观察图形，发现本题中2个等量关系为：小长方形的长小长方形的宽，（小长方形的长小长方形的宽小长方形的长小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组，即可求出小长方形的周长． 【解析】解：设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为． 由题意，得， 解得． 小长方形的周长为， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积个小长方形的面积小正方形的面积是关键． 25．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 （1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ （2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？ （3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元 【分析】（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用每辆车所需费用租用该种车的辆数，即可得出关于，的二元二次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物． （2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车， 依题意，得：， ． ，均为非负整数， 为偶数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车． （3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆， 依题意，得：， 解得：， ． 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组． 题型5：与图形有关的应用题 26．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．” (1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由． (2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？ 【答案】(1)没有超速，理由见解析 (2)33升 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题； （2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油． (1) 解：张师傅没有超速， 理由：设张师傅的速度为x千米/时， 由题意得：， 解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解， ∵100＜110， ∴张师傅没有超速； (2) 由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：44÷8＝5.5（升）， 行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：＝33（升）， 答：行驶完这段高速公路，他至少需要33升油． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质解答问题． 27.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．A B C D E 【答案】离A处处 【解析】设，则， 依题意可得，解得：， 经检验是原方程的解， 故超市应建在离A处处． 【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解． 28.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=，求点P的坐标． 【答案】，，，． 【解析】当P在轴上时，设，依题意可得， 解得：，，即得，； 当P在轴上时，设，依题意可得， 解得：，，即得，． 【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论． 1．（2023下·上海·八年级专题练习）甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙两人一起加工，6天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x天．y天可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一个等量关系；根据“如果甲乙两人一起加工，6天可加工完”得到第二个等量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意，得 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，工程问题中常用的关系式有：工作时间=工作总量÷工作效率． 2．（2023下·上海·八年级期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 3．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的倍． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天用含的代数式表示可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过万元？ 【答案】(1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天 (2) (3)甲工程队至少要单独施工天 【分析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，一元一次不等式的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解． （1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可； （3）设甲单独做了天，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天， ， 解得：， 经检验是原方程的解． ， 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天； （2）天； 故答案为：； （3）设甲单独做了天， ， 解得： 答：甲工程队至少要单独施工天． 4.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【解析】设甲原来需要天，则乙原来需要天，依题意可得：， 解得：，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式． 5.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍． 【答案】． 【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为，，， 依题意可得，， 分别整理可得，， 相加得，由此得． 【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系． 6.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满? 【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池． 【解析】设甲需要，则乙需要，依题意可得， 整理得，解得：，， 经检验均是原方程的解，但不符合题意，舍去， 故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池． 【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．． 7．（2024秋·上海·八年级校考阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰． （1）两个小组的攀登速度各是多少？ （2）如果山高为，第一组的攀登速度是第二组的倍，并比第二组早到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？ 【答案】（1）两个小组的速度分别是和；（2）两组速度分别是和 【分析】（1）设第二组速度为xm/min，则第一组速度为1.2xm/min，由题意可得关于x的分式方程，解方程即可得到问题解答； （2）设第二组速度为ym/min，则第一组速度为aym/min，由题意可得关于y的分式方程，解方程即可得到问题解答． 【详解】解：（1）设第二组速度为 第一组速度为 则 方程两边同时乘得： 检验：当时， 且x的值符合题意， ∴原分式方程的解为 ∴ 答：两个小组的速度分别是和 （2）设第二组的速度为．则第一组速度为．（，） ∴ 方程两边乘得 检验：当时 ∵ ∴且y的值符合题意， ∴原分式方程的解为 ∴ 答：两组速度分别是和． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意设定适当的未知数并列出正确的分式方程求解是解题关键． 8．（2022春·上海·八年级期末）八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？ 【答案】骑车学生每小时行15千米 【分析】先将25分钟化成小时为小时，再设骑车学生每小时走x千米，根据汽车所用的时间＝学生骑车时间﹣，列分式方程：，求出方程的解即可． 【详解】解：设骑车学生每小时走x千米， 据题意得：， 整理得：x2﹣7x﹣120＝0， 解得：x1＝15，x2＝﹣8， 经检验：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解， 因为x＝﹣8不符合题意，所以舍去， 答：骑车学生每小时行15千米． 【点睛】本题是分式方程的应用，找等量关系是本题的关键；这是一道行程问题，汽车和学生的路程、速度、时间三个量要准确把握，以走完全程的时间为依据列分式方程，注意单位要统一． 9．（春·上海松江·八年级统考期末）甲，乙两人同时从地出发，沿相同路线骑自行车前往距离地15千米的地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？ 【答案】甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km． 【分析】设乙每小时骑行xkm，则甲每小时骑行（x+1）km，根据乙所用时间﹣甲所用时间＝小时列出方程并解答． 【详解】解：设乙每小时骑行xkm，则甲每小时骑行（x+1）km， 根据题意，得﹣＝． 解得x1＝5，x2＝﹣6（舍负）． 经检验x＝5是所列方程的根． 所以x+1＝6． 答：甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10．（2021春·上海·八年级校考期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度． 【答案】75km/h 【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则 ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； ∴走路线的平均速度为：（km/h）； 【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解． 11.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度． 【答案】甲的速度为，乙的速度为． 【解析】设甲的速度为，乙的速度为． 依题意可得，解得：，经检验是原方程组的解，且符合题意， 故甲的速度为，乙的速度为． 【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验． 12．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店各进货箱和箱 【分析】设甲店进货x箱，乙店进货箱，根据“甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元”列出方程解题即可． 【详解】解：设甲店进货x箱，乙店进货箱，列方程得： ， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解， ∴乙店进货（箱） 答：甲、乙两店各进货箱和箱． 【点睛】本题考查分式方程解应用题，注意分式方程需要验根，解题的关键是分析题意出列方程． 13．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元 【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据：甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元， 根据题意可得：， 解这个方程，得， 经检验，都是原方程的根， 但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去， 万元； 答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 14．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，最后，小正同学用42元买了这两种水果，且两者的千克数相同． (1)这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？ (2)小正同学最终买了多少千克的水果？ 【答案】(1)苹果每千克的价格是6元；梨每千克的价格是4元 (2)最终购买了千克水果 【分析】（1）设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元，根据等量关系：48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，列出分式方程求解即可； （2）设梨和苹果各买了y千克，由题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元， 根据题意得：， 解方程得：，， 经检验，、都是原方程的解， 但不符合题意，故舍去， ∴（元）； 答：这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元； （2）解：设梨和苹果各买了y千克， 由题意得：， 解得：， ∴（千克）， 答：最终购买了千克水果． 【点睛】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是关键．注意分式方程要检验． 15．春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元． (1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？ (2)在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？ 【答案】(1)大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元 (2)小樱桃的售价最少应该为每千克45.5元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出分式方程及一元一次不等式． （1）设大樱桃的进价是元千克，小樱桃的进价是元千克，根据“分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）先求出购进了大樱桃和小樱桃的重量，设小樱桃的售价为元千克，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不少于6700元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）设大樱桃的进价是元千克，小樱桃的进价是元千克， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：大樱桃的进价是50元千克，小樱桃的进价是30元千克． （2）由（1）得购进了重量相同大樱桃和小樱桃。都为（千克）， 设小樱桃的售价为元千克， 依题意得：， 解得：， 的最小值为45.5． 答：小樱桃的售价最少应为45.5元千克． 16．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由见解析． 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，得  ． 解得． 经检验，是原方程的根． ． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天． （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天， 则有． 解得． 需要施工费用：（万元）． ． 工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元． 17．面对美国的芯片封锁，我国半导体芯片产业逆势上扬，自主研发，迎来空前的力度和热情，发展迅猛．我国某芯片厂在今年实现了生产线的升级，现在平均每天比原来多生产5万张芯片，并且现在生产60万张芯片所需时间与原来生产45万张芯片所需时间相同，请问现在平均每天能生产多少万张芯片？ 【答案】现在平均每天能生产20万张芯片 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设现在平均每天能生产x万张芯片，则原来平均每天能生产万张芯片，再根据工作时间工作总量工作效率列出方程求解即可． 【详解】解：设现在平均每天能生产x万张芯片，则原来平均每天能生产万张芯片， 由题意得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：现在平均每天能生产20万张芯片． 18．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键． （1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用型单价型数量型单价型数量，列出不等式组，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， 或15或16， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买14个型充电桩、11个型充电桩； 方案二：购买15个型充电桩、10个型充电桩； 方案三：购买16个型充电桩、9个型充电桩； ∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价， ∴购买A型充电桩越多总费用越低， ∴购买16个型充电桩、9个型充电桩总费用最少． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$