预习专题09 列方程(组)解应用题（2知识点+5考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题09 列方程(组)解应用题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.会分析简单的实际问题中的数量关系,会列方程(组)解决简单的实际问题 2.体会数学建模思想,逐渐培养提出问题、解决问题的能力 列方程(组)解应用题 1.列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审:分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系; (2)设:设未知数,可直接设未知数,也可间接设未知数; (3)列:根据问题中的相等关系列出方程(组); (4)解:解所列的方程(组)得到方程(组)的解; (5)验:检验求得的解是否符合方程(组)的解以及是否符合实际问题的意义; (6)答:写出答案(包括单位) 提示：在实际问题中,有时直接设出题中所求的未知数求解会比较麻烦，这时可以间接地设未知数;有时设一个未知数不容易表示清楚题中的等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数 （23-24八年级下·上海金山·阶段练习）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． (1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？ (2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 【答案】(1)5分钟 (2)， 【分析】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，解可化成一元二次方程的分式方程． （1）设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟，根据小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出与之间的函数解析式，再把代入解析式从而求出点坐标． 【详解】（1）解：设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟， 则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的根， 小明的速度为250米/分钟，小杰的速度为300米/分钟， （分钟）， 到达假山处时，小杰用了5分钟； （2）解：设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系， 当时，， 点的坐标为，与之间的函数解析式为， 故答案为：，． 点评：找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键，此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解. 列方程(组)解应用题的类型 (1)列整式方程解决实际问题 ①增长(降低)率问题 常见数量关系:两次增长后的量=原来的量x(1+增长率)2 ②几何图形问题 常见数量关系:长方体的体积=长x宽x高 正方体的体积=棱长3 (2)列分式方程解决实际问题 ①行程问题 路程路程常见数量关系:路程=速度x时间 （23-24八年级下·上海松江·期末）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 【答案】高速列车全程的运行时间为4小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：普通动车组列车的全程运行时间高速列车全程的运行时间小时，高速列车的平均速度普通动车组列车的平均速度千米；据此列方程求解即可；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设高速列车全程的运行时间为x小时，则普通动车组列车全程的运行时间为小时， 由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，符合实际意义，不符合实际意义； 答：高速列车全程的运行时间为4小时． 点评：列分式方程解决实际问题，分式方程的解既要满足所列分式方程，也要满足实际问题. ②工程问题 常见数量关系:工程量=工作效率x工作时间;合作工效=甲的工效+乙的工效 (3)列无理方程解决实际问题 增长（降低）率问题 例1 （23-24八年级下·上海奉贤·期中）某口罩厂计划在一定时间内生产240万个口罩，后因为防控需要，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多生产8万个口罩．问原计划每天生产多少万个口罩？ 审题关键：设原计划每天生产万个口罩，根据题意，列出分式方程进行求解即可，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【答案】原计划每天生产10万个口罩 【详解】解：设原计划每天生产万个口罩，则现在每天生产万个口罩，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解； 答：原计划每天生产10万个口罩． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海闵行·期中）家原计划生产1000套产品．根据发展需求，要在原计划基础上增加总量，并且比原计划提前5天完成．经预测，现在平均每天的生产量比原计划增加20套．求原计划每天生产产品多少套？ 【答案】40 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程和检验是解答本题的关键．根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产x套，则实际每天套． 根据题意，可列方程． 两边同时乘以得， 再整理，得． 解得． 经检验，．都是原方程的解，由题意得结果不能为负数， 所以取． 答：原计划每天生产40套． 行程问题 例2 （23-24八年级下·上海闵行·期中）今年“子弹头”新型高速列车投入沪杭线运行，已知上海到杭州全程约为公里，如果“子弹头”列车行驶的平均速度比原来特快列车行驶的平均速度每分钟快公里，那么它从上海到杭州比原来特快列车少用分钟，问“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要多少分钟？ 审题关键：设“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要小时，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【答案】分钟 【详解】解：设“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要小时， 由题意可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验是原方程的解， 答：“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要分钟． 【变式2-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】甲平均每小时行驶8千米，乙平均每小时行驶10千米． 【分析】设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，根据题意可得，同样10千米的距离，乙比甲多走15分钟，据此列方程求解． 【详解】设甲平均每小时行驶千米， 则， 化简为：， 解得：， 经检验不符合题意，是原方程的解， 答：甲平均每小时行驶8千米，乙平均每小时行驶10千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【变式2-2】（22-23八年级下·上海长宁·期末）小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米． 【答案】小明骑车的速度是每小时千米 【分析】设小明骑车的速度是每小时千米，则汽车的速度是千米/小时，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设小明骑车的速度是每小时千米，则汽车的速度是千米/小时，根据题意得， 解得：或（舍去） 经检验，原方程的解， 答：小明骑车的速度是每小时千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式2-3】（22-23八年级下·上海虹口·期末）已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．    (1)求货车的速度； (2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是 ；线段对应的函数解析式为 ．（不需要写出定义域） 【答案】(1)货车的速度为千米/小时 (2)， 【分析】（1）设货车每小时行驶m千米，则轿车每小时千米，根据“轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达”列方程，解方程并检验后即可得到答案； （2）设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，利用货车行驶的路程除以速度可得，由甲、乙两地相距千米得，即可得到点A的坐标，利用待定系数法求出线段对应的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设货车每小时行驶m千米，则轿车每小时千米， 则可列方程：， 解得：，， 经检验，，均为原方程的解， 但不符合题意，舍去． ∴， 答：货车的速度为60千米/小时． （2）设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，则，甲、乙两地相距千米，则， 即点A的坐标是， 设线段对应的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴线段对应的函数解析式为． 故答案为：， 【点睛】此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用等知识，读懂题意，正确列出方程和求出一次函数解析式是解题的关键． 工程问题 例3 （23-24八年级下·上海浦东新·期中）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 审题关键：本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米 (2)甲工程队所花费用较少；理由见解析 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （天）， 答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米． （2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， 乙工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， ∵， ∴两个工程队都能在天内完成， ∵， ∴甲工程队所花费用较少． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）某区百果园计划在花展期间种植郁金香60万株，在实际种植时，由于每天比原计划多种了2万株，因此提前1天完成了种植任务．问：实际种植了多少天？ 【答案】5天 【分析】设实际种植了x天，则原计划种天，根据“实际每天比原计划多种了2万株”列方程求解即可． 本题主要考查了列分式方程解应用题，找出等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】设实际种植了x天，则原计划种天，根据题意列方程，得 ， 整理得， 解得（舍去），， 经检验：是所列方程的解． 答：实际种植了5天． 【变式3-2】（23-24八年级下·上海松江·期中）甲乙两个班分别接到一项植树任务，甲班需植树100棵，乙班需植树90棵．已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，且甲班完成任务所用的天数比乙班少一天．求甲班平均每天植树多少棵？ 【答案】甲班平均每天植树20棵 【分析】此题考查了分式方程的应用，设甲班平均每天植树x棵，则乙班平均每天植树棵，根据甲班需植树100棵，乙班需植树90棵，已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，列方程求解即可． 【详解】解：设甲班平均每天植树x棵，则乙班平均每天植树棵， 根据题意得：， 解得：或(舍去)， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：甲班平均每天植树20棵． 【变式3-3】（22-23八年级下·上海闵行·期末）上海轨道交通23号线全长约28.6公里，共设22座站．该线路串联了闵行开发区、紫竹高新、吴泾、徐汇滨江等区域，途经闵行区和徐汇区两区．甲乙两个工程队修建地铁23号线．如果甲乙两队合作，48个月可以完成建设工程；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队独做，还需60个月才能完成建设工程．甲乙两队单独完成地铁23号线的修建各需要几个月？ 【答案】甲队单独做需80个月，乙队单独做需120个月 【分析】设甲队单独做需a个月，乙队单独做需b个月，根据甲工效+乙工效，甲工效乙工效进行列式求解即可． 【详解】解：设甲队单独做需a个月，乙队单独做需b个月， 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原方程组的解． 故甲队单独做需80个月，乙队单独做需120个月． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程组，再求解． 商品销售利润问题 例4（22-23八年级下·上海·期末）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 审题关键：（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求每次购买量的范围； （2）设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，可求出购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，利用配方法可得答案． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴每次购买量在大于或等于10吨，小于或等于40吨的范围内； （2）一年的总运费与总存储费用之和为 ∵， ∴，即， 即：时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 解得：时， ∴每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．最小为万元． 【点睛】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于基础题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型． 【变式4-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本， (1)求A、B两类图书每本的进价： 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解 乙：，解得，经检验是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________． (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【答案】(1)B类图书每本进价；A类图书的数量 (2)书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）根据“书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本”和“书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元”列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B类图书每本进价； 乙所列方程中的表示A类图书的数量； 故答案为：B类图书每本进价；A类图书的数量； （2）根据甲同学计算可得：A类图书每本进价元，B类图书每本进价30元， 根据题意得：， 解得：， ∴书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本， 答：书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海青浦·期中）某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用待定系数法求出 解析式是解题的关键． （1）在图像上找两点，利用待定系数法即可求解； （2）设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升，根据等量关系：甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，列出分式方程并求解即可． 【详解】（1）解：设所求函数解析式为， 由图像知，直线过两点， 把这两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但当时，，与题意不符， ∴， ∴； 答：甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升． 【变式4-3】（22-23八年级下·上海黄浦·期末）某学校图书馆两次从书店购进某种图书，每次都用元．已知第二次购进这种书每本的价格比第一次每本的价格少了元，且比第一次购进的书多了本，求第一次购书时每本的价格． 【答案】元 【分析】设第一次购书时每本的价格是元，则第二次购书时每本的价格是元，再根据第一次购进的本数与第二次购进的本数的关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一次购书时每本的价格是元，则第二次购书时每本的价格是元， 根据题意，得：， 去分母，整理，得：，解得，， 经检验，，都是原方程的根，因为购书的价格不能为负的， ∴， ∴第一次购书时每本的价格是元． 【点睛】本题主要考查分式方程的运用，理解题意中的数量关系列方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【变式4-4】（22-23八年级下·上海虹口·期末）某商店将甲、乙两种糖果混合销售，已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为18元/千克，现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入3千克甲种糖果再出售时，混合糖果的单价为19元/千克．问这箱甲种糖果有多少千克？（列方程或方程组解答） 【答案】千克 【分析】根据“混合前糖果总价=混合后糖果总价”列方程求解． 【详解】解：设这箱甲种糖果有千克，由题意可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的解， 答：这箱甲种糖果有千克． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 其他问题 例5（23-24八年级下·上海·阶段练习）学校组织为贫困地区儿童捐资助学的活动，其中甲班和乙班捐款总额分别为1000元和900元．已知甲班比乙班少5名学生，而甲班的人均捐款额比乙班的人均捐款额多5元．问甲班和乙班各有多少名学生？ 【答案】甲班有40名学生，则乙班有45名学生． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设甲班有x名学生，则乙班有名学生，根据甲班的人均捐款额比乙班的人均捐款额多5元列方程求解即可． 【详解】解：设甲班有x名学生，则乙班有名学生，由题意得 ， 解得，（舍去）． 经检验是原方程的解且符合题意， 名． 答：甲班有40名学生，则乙班有45名学生． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海长宁·期中）我国手机产业迅速发展，网络建成后，下载完一部大小的电影，使用手机比手机少花190秒．已知使用手机比手机每秒多下载，求使用手机每秒下载多少？ 【答案】使用5G手机每秒下载100MB 【分析】设使用5G手机每秒下载，则使用手机每秒下载，根据：使用手机比手机每秒多下载，即可列出关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：设使用手机每秒下载，则使用手机每秒下载，根据题意， 得：， 去分母并整理，得， 解这个方程，得， 经检验：都是所列方程的解，但不符合题意， ∴， 答：使用手机每秒下载． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题关键． 【变式5-2】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元 【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据：甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元， 根据题意可得：， 解这个方程，得， 经检验，都是原方程的根， 但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去， 万元； 答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 【例1】激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 【答案】今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【分析】设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元，利用数量＝总价÷单价，结合今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元， 依题意得： ， 整理得x2＋4000x－320000000＝0， 解得：x1＝16000，x2＝﹣20000， 经检验，x1＝16000，x2＝﹣20000均为原方程的解，x2＝﹣20000不符合题意，舍去． ∴x＝16000． 答：今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【防错警示】 列方程解决行程问题时,涉及的单位应统一,否则容易出现错误.. ．某工程队承担了修建地铁两个站点间米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了米，因而比原计划提前个月完成任务． (1)求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？ (2)如果每天的施工费用为万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按天算） 【答案】(1)300米 (2)375万元 【分析】（1）设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进()米．由题意：现在每个月比原计划多掘进了米，因而比原计划提前个月完成任务．列出分式方程，解方程即可； （2）由每天的施工费用天数，列式计算即可． 【详解】（1）设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进()米． 根据题意，得：， 整理，得：． 解得：，． 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去． 答：完成此项工程原计划每个月掘进米． （2）由题意可得(万元)． 答：该工程队现在完成此项工程共需万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【防错警示】 列方程(组)解决实际问题时一定要验根,要满足实际问题,否则容易出现错误. 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度 【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时． 【分析】设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了1小时列方程求解即可． 【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得 整理得 解得，（不合题意舍去） 经检验是原方程的根且符合题意 答：小李去书店时的速度为4千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解． 2．（22-23八年级下·上海普陀·期末）A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的速度． 【答案】汽车原计划的速度为每小时千米 【分析】设汽车原计划的速度为每小时千米，根据实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设汽车原计划的速度为每小时千米，则，实际速度为每小时千米， 由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验，，是原方程的解， ∴汽车原计划的速度为每小时千米． 【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出分式方程，是解题的关键． 3．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具． 【答案】该文具厂原来每天加工100套这样的学习用具 【分析】设该文具厂采用新技术前平均每天加工x套学习工具，根据等量关系：采用了新技术前生产1000套学生画图工具所用的时间采用了新技术后生产1500套学生画图工具所用的时间，列出方程求解即可． 【详解】解：设该文具厂采用新技术前平均每天加工x套学习工具，则采用了新技术后平均每天加工套学习工具，根据题意得： ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根． 答：该文具厂采用新技术前平均每天加工100套学习工具． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键． 4．（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 5．（22-23八年级下·上海静安·期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店各进货箱和箱 【分析】设甲店进货x箱，乙店进货箱，根据“甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元”列出方程解题即可． 【详解】解：设甲店进货x箱，乙店进货箱，列方程得： ， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解， ∴乙店进货（箱） 答：甲、乙两店各进货箱和箱． 【点睛】本题考查分式方程解应用题，注意分式方程需要验根，解题的关键是分析题意出列方程． 6．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答． 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 列方程(组)解应用题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.会分析简单的实际问题中的数量关系,会列方程(组)解决简单的实际问题 2.体会数学建模思想,逐渐培养提出问题、解决问题的能力 列方程(组)解应用题 1.列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审:分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系; (2)设:设未知数,可直接设未知数,也可间接设未知数; (3)列:根据问题中的相等关系列出方程(组); (4)解:解所列的方程(组)得到方程(组)的解; (5)验:检验求得的解是否符合方程(组)的解以及是否符合实际问题的意义; (6)答:写出答案(包括单位) 提示：在实际问题中,有时直接设出题中所求的未知数求解会比较麻烦，这时可以间接地设未知数;有时设一个未知数不容易表示清楚题中的等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数 （23-24八年级下·上海金山·阶段练习）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． (1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？ (2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 点评：找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键，此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解. 列方程(组)解应用题的类型 (1)列整式方程解决实际问题 ①增长(降低)率问题 常见数量关系:两次增长后的量=原来的量x(1+增长率)2 ②几何图形问题 常见数量关系:长方体的体积=长x宽x高 正方体的体积=棱长3 (2)列分式方程解决实际问题 ①行程问题 路程路程常见数量关系:路程=速度x时间 （23-24八年级下·上海松江·期末）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 点评：列分式方程解决实际问题，分式方程的解既要满足所列分式方程，也要满足实际问题. ②工程问题 常见数量关系:工程量=工作效率x工作时间;合作工效=甲的工效+乙的工效 (3)列无理方程解决实际问题 增长（降低）率问题 例1 （23-24八年级下·上海奉贤·期中）某口罩厂计划在一定时间内生产240万个口罩，后因为防控需要，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多生产8万个口罩．问原计划每天生产多少万个口罩？ 审题关键：设原计划每天生产万个口罩，根据题意，列出分式方程进行求解即可，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海闵行·期中）家原计划生产1000套产品．根据发展需求，要在原计划基础上增加总量，并且比原计划提前5天完成．经预测，现在平均每天的生产量比原计划增加20套．求原计划每天生产产品多少套？ 行程问题 例2 （23-24八年级下·上海闵行·期中）今年“子弹头”新型高速列车投入沪杭线运行，已知上海到杭州全程约为公里，如果“子弹头”列车行驶的平均速度比原来特快列车行驶的平均速度每分钟快公里，那么它从上海到杭州比原来特快列车少用分钟，问“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要多少分钟？ 审题关键：设“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要小时，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式2-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【变式2-2】（22-23八年级下·上海长宁·期末）小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米． 【变式2-3】（22-23八年级下·上海虹口·期末）已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．    (1)求货车的速度； (2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是 ；线段对应的函数解析式为 ．（不需要写出定义域） 工程问题 例3 （23-24八年级下·上海浦东新·期中）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 审题关键：本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）某区百果园计划在花展期间种植郁金香60万株，在实际种植时，由于每天比原计划多种了2万株，因此提前1天完成了种植任务．问：实际种植了多少天？ 【变式3-2】（23-24八年级下·上海松江·期中）甲乙两个班分别接到一项植树任务，甲班需植树100棵，乙班需植树90棵．已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，且甲班完成任务所用的天数比乙班少一天．求甲班平均每天植树多少棵？ 【变式3-3】（22-23八年级下·上海闵行·期末）上海轨道交通23号线全长约28.6公里，共设22座站．该线路串联了闵行开发区、紫竹高新、吴泾、徐汇滨江等区域，途经闵行区和徐汇区两区．甲乙两个工程队修建地铁23号线．如果甲乙两队合作，48个月可以完成建设工程；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队独做，还需60个月才能完成建设工程．甲乙两队单独完成地铁23号线的修建各需要几个月？ 商品销售利润问题 例4（22-23八年级下·上海·期末）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 审题关键：（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求每次购买量的范围； （2）设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，可求出购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，利用配方法可得答案． 【变式4-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本， (1)求A、B两类图书每本的进价： 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解 乙：，解得，经检验是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________． (2) 按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【变式4-2】（23-24八年级下·上海青浦·期中）某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 【变式4-3】（22-23八年级下·上海黄浦·期末）某学校图书馆两次从书店购进某种图书，每次都用元．已知第二次购进这种书每本的价格比第一次每本的价格少了元，且比第一次购进的书多了本，求第一次购书时每本的价格． 【变式4-4】（22-23八年级下·上海虹口·期末）某商店将甲、乙两种糖果混合销售，已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为18元/千克，现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入3千克甲种糖果再出售时，混合糖果的单价为19元/千克．问这箱甲种糖果有多少千克？（列方程或方程组解答） 其他问题 例5（23-24八年级下·上海·阶段练习）学校组织为贫困地区儿童捐资助学的活动，其中甲班和乙班捐款总额分别为1000元和900元．已知甲班比乙班少5名学生，而甲班的人均捐款额比乙班的人均捐款额多5元．问甲班和乙班各有多少名学生？ 【变式5-1】（22-23八年级下·上海长宁·期中）我国手机产业迅速发展，网络建成后，下载完一部大小的电影，使用手机比手机少花190秒．已知使用手机比手机每秒多下载，求使用手机每秒下载多少？ 【变式5-2】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 【例1】激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 【防错警示】 列方程解决行程问题时,涉及的单位应统一,否则容易出现错误.. ．某工程队承担了修建地铁两个站点间米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了米，因而比原计划提前个月完成任务． (1)求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？ (2)如果每天的施工费用为万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按天算） 【防错警示】 列方程(组)解决实际问题时一定要验根,要满足实际问题,否则容易出现错误. 1． （22-23八年级上·上海青浦·期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度 2．（22-23八年级下·上海普陀·期末）A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的速度． 3．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具． 4．（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 5．（22-23八年级下·上海静安·期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？ 6．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$