精品解析：四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试数学试卷

攀枝花市2025届高三第三次统一考试 数学 2025.5 本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区． 2．答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. 1 D. 3. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 10. 圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 13. 已知母线长为10的圆台的表面积为，且其上底面的半径与下底面的半径R满足，则______． 14. 函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表： 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 男性居民 400 合计 800 已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8 （1）完成列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； （3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知双曲线C：过点，且离心率为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 17. 已知数列的首项，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，求数列的最大项． 18. 如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求四面体外接球的体积； （3）求的长． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线在x轴上的截距为，求实数a的值； （2）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，当时，函数均存在两个极值点，，且满足，求； （3）当时，如果存在两个不同的正实数满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 攀枝花市2025届高三第三次统一考试 数学 2025.5 本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区． 2．答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可. 【详解】由，， 所以， 故选：B. 2. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，然后借助和幂的运算性质即可求解. 【详解】由， 故选：A. 3. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】由在上的投影向量为， 故选：B. 4. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：若，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 若，则，所以，故D正确. 故选：D 5. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再由两角和的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故选：C 6. 袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】第一次摸到的是白球，余下1白2黑的3个球， 所以第二次摸到黑球的概率为. 故选：D 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数图象与自然对数图象，通过数形结合来研究方程的解，即可得到判断. 【详解】 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，但与作比较可得： 综上可知：， 故选：A. 8. 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率. 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归分析以及回归方程的性质必过点即可判断AB，利用残差的定义和回归方程预测即可判断CD. 【详解】由表格中的数据可计算平均数：， ， 又因为成等差数列，所以，则， 根据经验回归方程为必过点， 则，解得,故B正确； 由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关， 则样本相关系数，故A错误； 当时，，所以残差为，故C正确； 当时，，所以y的预测值为，故D正确； 故选：BCD． 10. 圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q，可得，， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆； （2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点， 可得，，即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是： 以为焦点的双曲线； （3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用求导转化为，再结合是偶函数，可证明周期性，然后赋值可得，，从而可计算各选项. 【详解】由求导可得：， 因为，所以， 又因为是偶函数，所以， 由上两式可得，又可得， 又两式相减得：， 所以是一个周期为的周期函数，故C错误； 由可得， 又由可得，故A正确； 又由可得， 因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确； 由， 由，结合是一个周期为的周期函数，可得， 所以， 即，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式来求指定项系数即可. 【详解】展开式中的第二项为， 所以含的项的系数为， 故答案为： 13. 已知母线长为10的圆台的表面积为，且其上底面的半径与下底面的半径R满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的表面积公式得到方程，计算可得. 【详解】因为该圆台的表面积为，母线长，， 所以，解得（负值已舍去），则. 故答案为：． 14. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性和周期性，从而把问题转化到一个周期内研究，然后针对绝对值分段讨论去绝对值，就得到简单的正弦或余弦函数求最小值. 【详解】由于，且定义域为，所以是偶函数， 所以只需要研究部分，即 由于 ， 所以当时，是一个周期为的函数， 则只需要研究一个周期的最小值，以下分类讨论： 则当时，， 此时最小值为， 当时，， 此时最小值为， 则当时，， 此时最小值为， 当时，， 此时最小值为， 当时，， 此时最小值为， 综上最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表： 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 男性居民 400 合计 800 已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8 （1）完成列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； （3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 240 320 男性居民 80 400 480 合计 160 640 800 （2）存在性别差异 （3） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用概率计算出倾向于购买燃油车的人数，则可列出二联表； （2）利用独立性检验规则，即可作出判断； （3）利用超几何分布概率公式可得概率分布列，从而可求期望. 【小问1详解】 由从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8， 可知道倾向于购买燃油车的人数为人 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 240 320 男性居民 80 400 480 合计 160 640 800 【小问2详解】零假设：对新能源车与燃油车的购买倾向相互独立，不存在性别差异， 则 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，且该推断犯错误的概率不超过； 【小问3详解】 从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人， 则女性居民有3人，男性居民有5人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因， 用表示3人中女性居民的人数，则的可能取值有， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 16. 已知双曲线C：过点，且离心率为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可列方程组求解即可； （2）利用直线与双曲线相切，借助方程组判别式为0来找到参数相等关系，然后计算面积可求得是定值. 【小问1详解】 由题意可得，解得：， 故双曲线C的标准方程为 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，易知此时，直线， 不妨设，得； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线的方程联立，可得， 由直线与双曲线的右支相切，可得，故 设直线与轴交于，则． 又双曲线的渐近线方程为， 联立，可得，同理可得， 综上，面积为2． 17. 已知数列的首项，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，求数列的最大项． 【答案】（1） 因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 . 【小问3详解】 由（2）可得， 则， 所以当时，当时， 即， 所以数列的最大项为. 18. 如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求四面体外接球的体积； （3）求的长． 【答案】（1） 由，，，可得：， 则由勾股定理得：，又，，平面， 所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理证明一个线线垂直，再利用一个已知的垂直关系，即可证明线面垂直； (2)利用线面垂直可得线线垂直，再证明平面，从而可得直角四面体，利用补形法求外接球半径，即可求出体积； (3)利用换底面建立空间直角坐标系，把所求的线段长设为参数，结合已知数据表示各点坐标，通过法向量夹角余弦值的绝对值为，建立相等关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 则四面体满足平面，， 因此这个四面体可以放在一个长方体里， 所以外接球的直径就是该长方体的体对角线， 因为，所以外接球的半径， 即该外接球的体积， 【小问3详解】 把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 由于平面，，，, 设，则， 即， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得 故 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线在x轴上的截距为，求实数a的值； （2）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，当时，函数均存在两个极值点，，且满足，求； （3）当时，如果存在两个不同的正实数满足，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以， 由， 因为，满足，所以， 即此时在上单调递增， 根据，因为存在两个不同的正实数 所以不妨设， 则要证明，即证， 因为在上单调递增， 所以只需要证， 又因为，所以只需要证：， 即证明， 记， 则 ， 所以当时，，即在时单调递增， 即， 所以恒成立， 即得证！ 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义来求切线方程，即可得到等式求参数； （2）利用极值点就是导数值为0的两个根，借助韦达定理即可得到通项，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用函数的单调性，结合极值点偏移思想来证明即可. 【小问1详解】 求导得：，则有，而， 所以曲线在点处的切线方程为： ， 令可得：，则， 【小问2详解】 由， 因为当时，函数均存在两个极值点，， 则有有两个根，， 即， 则，因式分解得：， 当时，，此时没有两个不等实根，故舍去， 则， 所以 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用极值点就是导数的零点，再利用韦达定理即可得通项公式；利用极值点偏移即可证明双变量不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $