精品解析：2025年广东省阳江市阳春市一模数学试题

2025年中考数学科模拟训练题 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的根式，π，以及像即可求解． 【详解】解：和均是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 故选：C． 2. 下列多边形中，内角和等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据n边形内角和公式分别求解后，即可得到答案 【详解】解：A．三角形内角和是，故选项不符合题意； B．四边形内角和为，故选项符合题意； C．五边形内角和为，故选项不符合题意； D．六边形内角和为，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式是解题的关键． 3. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据218000000用科学记数法表示为； 故选B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴点一定在第四象限． 故选：D． 5. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种， ∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 6. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线， ， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， ， 故选：D． 【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键． 8. 如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵与边相切于点， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 9. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 10. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可． 【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据题意得： ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件． 根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 与的公因式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答． 【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 13. 若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：连接OA、OB． ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO， ∴， ∴∠AOB＝×360°＝90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16， 解得：AO＝2， ∴的长＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍）， 则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：32． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：； 【答案】1 【解析】 【分析】利用乘方的意义、绝对值的意义、负整数指数幂，有理数乘法法则，计算即可． 本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，是边的中点． （1）用尺规作图法作线段的中点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接，若的面积为12，求的面积． 【答案】（1） 点E即为所求； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； （2）由三角形中位线定理可得，则可证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到的面积与的面积关系，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； 【小问2详解】 解：D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3． 18. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： （1）___________，___________； （2）若，求x的值． 【答案】（1）1；2； （2）， 【解析】 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【小问1详解】 ， ， ； 故答案为：1；2； 【小问2详解】 若时，即时，则 ， 解得：， 若时，即时，则 ， 解得：，不合题意，舍去， ， 【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图如下图； 信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是，，； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表； 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 中位数 根据以上信息，回答下列问题： （1）收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于_____调查（填“全面”或“抽样”）； （2）写出表中，的值：_____，_____； （3）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_____发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）； （4）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】（1）全面 （2）， （3）甲 （4）甲， 理由：甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大应该推荐甲选手． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，折线统计图以及调查的分类，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平均数与中位数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；（3）从平均成绩，中位数等角度出发进行描述即可． 【小问1详解】 解：收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于全面调查， 故答案为：全面； 【小问2详解】 甲的成绩的平均数， 由折线图可知，丙的成绩从小到大排列为：，，，， ， 丙的成绩的中位数， 故答案为：，； 【小问3详解】 从甲、丙两位选手得分的折线图中可知，选手甲发挥的稳定性更好， 故答案为：甲； 【小问4详解】 略 20. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为． （1）求两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）小型汽车从点行驶到点没有超速． 【解析】 【分析】（1）证明四边形为矩形，可得，结合，，，可得，，再利用线段的和差关系可得答案； （2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点、点到的距离分别为， ∴，，而， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，，， ∴，， ∴ 【小问2详解】 ∵小型汽车从点行驶到点所用时间为． ∴汽车速度为， ∵该隧道限速80千米/小时， ∴， ∵， ∴小型汽车从点行驶到点没有超速． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键． 21. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）． ②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______． 【答案】（1）、两种电动车的单价分别为元、元 （2）当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 （3）① ②或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种电动车的单价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，根据题意得出的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解； （3）①根据函数图象，即可求解； ②分别求得的函数解析式，根据，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种电动车的单价分别为元、元 由题意得， 解得 答：、两种电动车的单价分别为元、元 【小问2详解】 设购买种电动车辆，则购买种电动车辆， 由题意得 解得： 设所需购买总费用为元，则 ，随着 的增大而减小， 取正整数 时，最少 元 答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 【小问3详解】 解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3，小刘家到公司的距离为， ∴所用时间为分钟， 根据函数图象可得当时，更省钱， ∴小刘选择种电动车更省钱， 故答案为：． ②设，将代入得， 解得： ∴； 当时，， 当时，设，将，代入得， 解得： ∴ 依题意，当时， 即 解得： 当时， 即 解得：（舍去）或 故答案为：或． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足．下面是创新小组的探究过程． 【操作发现】 （1）如图，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，求证：． 【实践探索】 （2）如图，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请求出这个定值，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请求出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）． 【答案】 （1）证明：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）的周长是定值，且为2，理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵O为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴过作交于点，作交于点，作交于点． ∴． 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． ∵的周长． 又∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， 点是的中点，同理点是的中点． ∴， ∴的周长． （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，再由三角形内角和定理导角证明，据此可证明； （2）证明，，过作交于点，作交于点，作交于点．证明，，得出，得出，进而根据三角形的周长公式可得的周长． （3）分两种情况讨论，于的夹角；①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，由勾股定理得，，进而根据正确的定义，即可求解；②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，同①即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）①解：∵，， ∴， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，设， ∴，由勾股定理得， ， ∴， ∴在中，． ②解：∵，， ∴， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接． ∵， ∴， ∴， 在中，设， ∴，由勾股定理得，， ∴， ∴在中，． 综上所述，纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值为或。 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定，解直角三角形是解题的关键． 23. 【问题背景】 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线l由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，． 【初步感知】 （1）填空：_____，_____； 【拓展探索】 （2）若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值； 【深入再探】 （3）当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．当时，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）最大值为2；（3）的取值范围为：或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与反比例函数、一次函数的综合题，属中考压轴题，难度大，根据题中条件正确分类是解题关键． （1）将点，代入函数解析式得，解之即可； （2）设直线的解析式为，将点和代入得，求出直线的解析式；再求出直线的解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，再由直线与双曲线有公共点，由直线与双曲线有且只有一个交点得，进而可求得； （3）当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式，得，可求得；当时，直线与抛物线有且只有一个交点；①当时，四边形的顶点分别为，，，．第一种情况：如图2，时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．第二种情况：当直线经过点时，如图3所示，，解得，，当直线经过点时，如图4所示得，，最终可得的取值范围为：或． 【详解】解：（1）将点，代入函数解析式得 解得 故答案为：，； （2）对于，当， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过和， ∴，解得， ∴直线：． ∵直线平移得到直线，且直线与轴交于点， ∴直线：， ∵双曲线经过点， ∴， ∴． ∵直线与双曲线有公共点， 联立解析式得：， ∴， 整理得：， ∵直线与双曲线有且只有一个交点， ∴， 即， 整理得：， 化简得：， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 解得，． ∵， ∴当时，可以取得最大值，最大值为2． （3）解：如图1，当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式. 得：， 得：， 整理得：， ∴， 即， ∴， 当时，直线：与抛物线有且只有一个交点． ①当时，四边形的顶点分别为，，，． 第一种情况：如图2，当直线经过时，此时与重合. ∴时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标． 第二种情况：当直线经过点时，如图3所示. ，解得，， 当直线经过点时，如图4所示 ，解得，， ∴， 综上所述，的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考数学科模拟训练题 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多边形中，内角和等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足_____． 12. 与的公因式为________． 13. 若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________． 14. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是________（结果保留） 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：； 17. 如图，在中，是边的中点． （1）用尺规作图法作线段的中点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接，若的面积为12，求的面积． 18. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： （1）___________，___________； （2）若，求x的值． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图如下图； 信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是，，； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表； 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 中位数 根据以上信息，回答下列问题： （1）收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于_____调查（填“全面”或“抽样”）； （2）写出表中，的值：_____，_____； （3）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_____发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）； （4）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 20. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为． （1）求两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：） 21. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）． ②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足．下面是创新小组的探究过程． 【操作发现】 （1）如图，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，求证：． 【实践探索】 （2）如图，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请求出这个定值，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请求出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）． 23. 【问题背景】 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线l由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，． 【初步感知】 （1）填空：_____，_____； 【拓展探索】 （2）若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值； 【深入再探】 （3）当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $