精品解析：湖北省武汉市七校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 命题教师：曹涵 审题教师：孟俊清 考试时间：2025年4月14日 下午：16：15-18：15 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 2. 现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A. 3. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可. 【详解】设切点为，由可得，则， 所以，解得，即. .故选：D. 4. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项. 【详解】， 令，所以在和上单调递增， 又当时，，. 故选：C 5. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数 若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的方法数为（ ） A. 60 B. 61 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、，由条件可知个数都为偶数，或个奇数，个偶数，或是个数都为奇数，列式即得答案. 【详解】由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、. 若选取得个数的和为偶数， ①个数都为偶数，共有种方法， ②个奇数，个偶数，共有种方法， ③个数都为奇数，共有种方法， 综上共有种方法. 故选：D 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论． 【详解】设，函数的定义域为，求导得， 当曲线在点处的切线平行于直线时，， 则，而，解得，于是， 平行于的直线与曲线相切的切点坐标为， 所以点到直线的最小距离即点到直线的距离． 故选：D 7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可 【详解】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以,即, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想 8. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，则即构造，由的单调性可知，，构造，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围. 【详解】解法一：不等式，即 ， 设，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增 故只需， 所以，即. 设，则在上单调递增，又， 所以，设，则， 所以在上单调递增，所以的值域为，即的取值范围为. 解法二：由题意将原不等式变形可得， 即，令，则有，即 因为，所以有对于任意的恒成立， 令，则 因为，且当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取极大值，也是的最大值 所以 又因为，所以 故选：C 【点睛】关键点点睛： 1、构造，原不等式恒成立转化为有成立； 2、由导数知在使得，此时保证即原不等式恒成立； 3、由上得，构造讨论单调性，求得的值域. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断. 【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，左右两边不相等，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD 10. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，故A错误； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】 先求出即得解. 【详解】由题得， 所以 所以 所以， 所以. 故答案为： 13. 若，则正整数的值为______. 【答案】5 【解析】 分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可. 【详解】由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或（舍）. 故答案为：5 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【小问1详解】 易知函数定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 16. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. （1）若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ （2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ （3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】（1）210 （2）2100 （3）259200 【解析】 【分析】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案； （2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案； （3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案． 【小问1详解】 将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为． 【小问2详解】 将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. 【小问3详解】 将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种． 17. 已知函数在处取得极值. （1）求实数，的值； （2）若方程在有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由极值点的定义列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得的单调性，然后列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故． 【小问2详解】 令，则， 则在和上单调递增，在上单调递减 因方程有三个不同的实数根， 则，得，则实数的取值范围为. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论可求函数的单调区间； （2）设切点为，求得切线方程，利用切线过原点，可得，进而可得有解，数形结合可求的取值范围． 【小问1详解】 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，或． 所以和上单调递增，在上单调递减， 当时，恒成立，所以在上单调递增． 当时，或． 所以在和上单调递增，在上单调递减 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在和上单调递增，在上单调递减 当时，在上单调递增． 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 设切点为， 则切线方程为 代入原点可得， 整理可得， 由题意可知方程有两个根，并且不是方程的根， 当时，方程化简为：， 令， 或且． 所以在和上单调递增，在和上单调递减． 由图象可知或，解得：或． 19. 已知函数，，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）证明：当时； （3）对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）令，对函数求导，再令，求导后无法判断导数的正负，再令，对其求导后可判断单调递增，从而可判断单调递增，单调递增，进而可证得结论； （3）令，求导后可判断时，在上单调递增，满足题意，当时，再分，和讨论即可. 【小问1详解】 解：时，，， 则切点为， ，， 故切线方程为； 【小问2详解】 证明：令，， 令，则， 令，恒成立， 故单调递增，，即， 所以单调递增，，即， 得单调递增，， 所以原不等式成立； 【小问3详解】 解：令， ， 求导得， 当时，，，则在上单调递增， ，满足题意， 当时，设，则， 因此函数，即在上单调递增， 而， ①当时，，在上单调递增， 于是，满足题意； ②当，即时， 对，，则在上单调递减， 此时，不合题意， ③当时，因为在上单调递增， 且， 于是，使，且当时，单调递减， 此时，不合题意， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立的问题，第（3）问解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数求出其最小值大于等于零即可，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 命题教师：曹涵 审题教师：孟俊清 考试时间：2025年4月14日 下午：16：15-18：15 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数 若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取个数之和为偶数的方法数为（ ） A. 60 B. 61 C. 5 D. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C D. 10. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 若，则正整数值为______. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 16. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. （1）若将校足球队11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ （2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ （3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 17. 已知函数在处取得极值. （1）求实数，的值； （2）若方程在有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围． 19. 已知函数，，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）证明：当时； （3）对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$