精品解析：2025年江苏省淮安市涟水县九年级数学统测中考模拟试卷

2025年中考模拟测试 数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分150分；测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题纸的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂；非选择题答案，请用0．5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题纸上．答案写在本试卷上或答题纸规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，共24分，每题只有一个正确选项，请将答案填涂在答题卡上） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，整数150000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 7. 如图，四边形 是的内接四边形，连接 ，，若，的半径为 ，则劣弧的长为（　　）    A. B. C. D. 8. 已知关于 的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共8小题，共24分，请将答案填写在答题卡上） 9. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是___________． 10. 分解因式：__________． 11. 一个十二边形的内角和是________． 12. 若关于 的方程有一个根为2，则 的值为______． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 15. 如图，在正五边形中，点F在边 上（不与端点重合），点G在边 上，，连接交于点H，则__°． 16. 如图，在中，点 是边 上一点，连接，点 为的中点，连接，若，，则的值为__________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 21. 某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图． （1）这50名学生视力的众数为______，中位数为______； （2）求这50名学生中，视力低于的人数占被抽查总人数的百分比； （3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于的人数． 22. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度 ，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 ．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度 ． 23. 如图，在中．请利用无刻度的直尺和圆规按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在 边上找一点D，使得； （2）如图2，在内部找一点D，使得． 24. 如图， 为的直径， 为延长线上一点，是的切线， 为切点，点在线段上，连接交于点 ，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 已知二次函数（ 为常数，）． （1）求证：该二次函数图像与 轴有两个公共点； （2）若、是该函数图象上的两个点，若，求 的取值范围； （3）当时， 随 的增大而增大，结合函数图象，则 的取值范围是 ． 26. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，车身 （近似看作矩形）及右侧后视镜的平面示意图，驾驶员在点处，，垂足为，， 为上的任一点，，为入射光线，为法线． 素材三 如图3，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在 上，． 素材四 如图4，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，若，则入射角 °； ②在图2中作出反射光线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 任务二 （2）①如图3，求车头盲区 的长度； ②在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务三 （3）如图4，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 27. 综合与探究 数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． 【操作探究】 （1）如图1，矩形 中，，，将矩形 绕点A逆时针旋转到矩形的位置，当经过点D时，连接，线段的长度为 ； （2）如图2，菱形 绕点A逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点E，与交于点F，延长、交于点M．判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）①如图3，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，小华猜想此时点D应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空： ②在①的条件下，若，，，则的长为 ； 【拓展提升】 （4）如图5，在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置，当点第一次落在边 上时，边与边相交于点G，则 的长为 ．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟测试 数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分150分；测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题纸的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂；非选择题答案，请用0．5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题纸上．答案写在本试卷上或答题纸规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，共24分，每题只有一个正确选项，请将答案填涂在答题卡上） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 3. 太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，整数150000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：150000000= 故选：B 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定 的值和的值是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法；解题的关键是熟练掌握合并同类项、同底数幂乘除法，从而完成求解．根据合并同类项、同底数幂乘除法，对各个选项分别计算，即可得到答案． 【详解】解：和不是同类项，不可直接相加减，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：D． 5. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 7. 如图，四边形 是的内接四边形，连接 ，，若，的半径为 ，则劣弧的长为（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 、，由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果． 【详解】解：如图，连接 、， ∵四边形 是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为 ， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键． 8. 已知关于 的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键． 由已知可得，将其代入得到，而，得到，再转化为二次函数求最值处理． 【详解】解：∵当时，该多项式的值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵，当时，， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共8小题，共24分，请将答案填写在答题卡上） 9. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 11. 一个十二边形的内角和是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是多边形内角和，根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：一个十二边形的内角和是， 故答案为：． 12. 若关于 的方程有一个根为2，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把方程的一个根代入方程中，得到关于 的一元一次方程，再求出 的值即可． 【详解】解：把 代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得， ∴， ∴当时，则； 故答案为：5． 15. 如图，在正五边形中，点F在边 上（不与端点重合），点G在边 上，，连接交于点H，则__°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 根据正多边形的性质得到，每个内角的度数为，如图所示，连接 ，由等边对等角得到，，，，，，，，再证明，，由此得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，每个内角的度数为， 如图所示，连接 ， 在中，，， ∴， ∴， 同理，在中，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在中，点 是边 上一点，连接，点 为的中点，连接，若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过 作交于，证明，，设，，则，，，，证明，得出，则，化简得，然后解方程求出，即可求解． 【详解】解：过 作交于，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，， ∵点 为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，负整数指数幂的含义，一元一次不等式组的解法； （1）先计算乘方，化简绝对值，负整数指数幂，再合并即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集是． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简得，代值得 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先化简，再求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 20. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图，从而可得甲、乙、丙三人选择一部观看的所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果， ∴甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙、丙三人选择一部观看共有8种等可能的结果，其中，甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果有2种， 则甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是， 答：甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是． 21. 某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图． （1）这50名学生视力的众数为______，中位数为______； （2）求这50名学生中，视力低于的人数占被抽查总人数的百分比； （3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于的人数． 【答案】（1） （2）视力低于的人数占被抽查总人数的 （3）估计该校九年级学生中，视力不低于的人数为人 【解析】 【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数； （2）利用频数除以总数，进行求解即可； （3）利用样本估计总量即可得解． 【小问1详解】 解：由条形图可知，视力为的学生的人数最多，故众数为； 第25个和第26个数据分别为：，故中位数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； ∴视力低于的人数占被抽查总人数的； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校九年级学生中，视力不低于的人数为人． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键． 22. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度 ，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 ．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度 ． 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含 直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． 【小问1详解】 解：过点D作， 由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； 【小问2详解】 如图， 由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度 为15米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 23. 如图，在中．请利用无刻度的直尺和圆规按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在 边上找一点D，使得； （2）如图2，在内部找一点D，使得． 【答案】（1） 如图所示，点D即为所求； （2） 如图所示，点D即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）作线段 的垂直平分线交 于D，连接，则点D和即为所求；由线段垂直平分线的性质可得，则有，再由三角形外角的性质可得； （2）作线段 的垂直平分线，再以点B为圆心，的长为半径画弧交 的垂直平分线于点D，连接，则点D和即为所求．同理可得，，由可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图， 为的直径， 为延长线上一点，是的切线， 为切点，点在线段上，连接交于点 ，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， 是的切线， 是切点， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴， ，即． （2）14 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，即，结合题意，等边对等角得到，由此即可求解； （2）根据锐角三角函数的计算，设，，则，，所以，根据垂径定理得到，，，设，则，可证，得，由此列式得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 设，，则， ， ， ， ， 是 的中点， 是的中点， ，， 设，则， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握以上知识的综合运用是关键． 25. 已知二次函数（ 为常数，）． （1）求证：该二次函数图像与 轴有两个公共点； （2）若、是该函数图象上的两个点，若，求 的取值范围； （3）当时， 随 的增大而增大，结合函数图象，则 的取值范围是 ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该二次函数图象与 轴有两个公共点； （2）且 （3） 【解析】 【分析】（ ）求出即可求证； （ ）分别求出的值，进而列出不等式解答即可求解； （ ）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，再分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数图象与 的交点问题，二次函数与不等式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，当时，， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴ 的取值范围为且； 【小问3详解】 解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵当时， 随 的增大而增大， ∴， 解得； 当时，抛物线开口向下， ∵当时， 随 的增大而增大， ∴， 解得； ∴， ∵， ∴ 的取值范围是， 故答案为：． 26. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，车身 （近似看作矩形）及右侧后视镜的平面示意图，驾驶员在点处，，垂足为，， 为上的任一点，，为入射光线，为法线． 素材三 如图3，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在 上，． 素材四 如图4，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，若，则入射角 °； ②在图2中作出反射光线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 任务二 （2）①如图3，求车头盲区 的长度； ②在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务三 （3）如图4，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【答案】（1）①50； ②如图所示， （2）①米； ②驾驶员不能观察到物体，理由： 如图所示，过点作交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴驾驶员不能观察到物体； （3）45 【解析】 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①根据四边形的内角和定理得到，根据反射的原理得到，根据角的和差计算即可求解；②；根据尺规作角等于已知角即可； （2）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解；②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解； （3）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】解：（1）①四边形 是矩形， ∴，且，， ∴， 在四边形中，， ∵为入射光线，为法线，即，则 ∴； ②以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，连接， 以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接并延长， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求反射光线； （2）①根据题意，，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， ∴， ∴； ②略 （3）摩托车的速度为， ∴摩托车在秒的反应时间里的路程为， ∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域， ∴， ∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 27. 综合与探究 数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． 【操作探究】 （1）如图1，矩形 中，，，将矩形 绕点A逆时针旋转到矩形的位置，当经过点D时，连接，线段的长度为 ； （2）如图2，菱形 绕点A逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点E，与交于点F，延长、交于点M．判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）①如图3，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，小华猜想此时点D应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空： ②在①的条件下，若，，，则的长为 ； 【拓展提升】 （4）如图5，在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置，当点第一次落在边 上时，边与边相交于点G，则 的长为 ．（用含的式子表示） 【答案】（1）； （2）四边形是菱形，理由如下： 菱形 绕点 旋转，与共线， ，，，，， 四边形是平行四边形， ，即， 在和中， ， ∴， ， 四边形是菱形； （3）①，；②； （4） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由旋转的性质得，，，， ，然后由勾股定理得，则，即可解决问题； （2）先证四边形是平行四边形，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （3）①连接，证明，可得，结合四边形是平行四边形，得，再证、 、共线，即可得出结论； ②先证明，可得，，如图，过 作，则，证明，，可得，，进一步即可解决问题． （4）如图，连接，，，，证明四边形是矩形，可得，，而 ，在 的延长线上，求解，再证明，从而可得答案. 【详解】解：（1）如图， ∵四边形 是矩形， ，，， 由旋转的性质得：，，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； （2）略 （3）①如图，连接， 由旋转的性质得：，，， 和都是等腰三角形， ，， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 四边形由四边形 旋转而成， 四边形是平行四边形， ， 又 ， 、 、共线， 图 中①为：，图 中②为：； ②由①得：， ∴， ∵，，，四边形 ，是平行四边形，结合旋转； ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过 作，则， ∴，，， 由旋转可得：，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）∵在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置， ∴，， ，， 如图，连接，，，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，而 ， ∴，在 的延长线上， ∴， ∵四边形 ，四边形都是平行四边形，结合旋转， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，锐角三角函数的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $