精品解析：内蒙古包头市第九十三中学（北重三中）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期高一年级期中教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册第七章7.2.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将向量垂直问题转化为数量积为0，计算即可. 【详解】由题意得，即，得． 故选:C. 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理进行边角互化即可得. 【详解】由正弦定理，得． 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. －4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】弦化切，计算即可. 【详解】由，得． 故选：B. 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题分别求出，比较大小即可. 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 5. 已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题意得，则， , 所以的坐标为． 故选:B. 6. 在中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为， 即，解得. 故选：D. 7. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 8. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的虚部为4 D. 的共轭复数为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数相等求参数，由复数的虚部、共轭复数的定义判断各项的正误. 【详解】由题意得，得，A错误，B正确． 的虚部为4，共轭复数为，C正确，D错误． 故选：BC 10. 如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若是的中点，则 C. 若是的中点，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 11. 已知关于方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. 14 D. 13 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，和二倍角公式化简函数的解析式，再根据方程根和余弦函数图像构造不等式计算即可. 【详解】由题意得 ， 得或－1，得或或． 由，得， 因为方程在，上恰有5个实数根， 所以结合余弦函数的图象得，得． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积求模即可. 【详解】． 故答案为: . 13. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小正值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平移得到，再把代入即可得到的最小正值. 【详解】由题意得． 由，得， 当时，取得最小正值，且最小正值为． 故答案为：. 14. 如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇， 由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求参数值； （2）由复数对应点所在的象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题意得，得，故. 【小问2详解】 由题设，在复平面内对应的点为， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以， 得或，则，即的取值范围为． 16. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由最小正周期求出,再由对称轴求出即可; (2)令,解不等式即可; (3) 由，得到，进而求出值域. 【小问1详解】 由题意得． 因为的图象关于直线对称，所以， 得． 又，所以．故． 【小问2详解】 由， 得， 所以的单调递减区间为． 小问3详解】 由，得， 由正弦函数的图象得， 故在上的值域为． 17. 已知． （1）求的值． （2）已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）或3 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据二倍角正切公式列式求解即可. （2）①化切为弦结合列方程组求解即可； ②利用两角差的余弦公式展开，然后利用二倍角的余弦公式和正弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 由， 得，解得或3． 【小问2详解】 ①由题意得，且． 由得 ② ． 18. 如图，已知正方形边长为2，为的中点． （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若为线段上一点，且，求； （4）若，求外接圆的半径． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，利用坐标运算求数量积； （2）利用坐标运算求向量夹角余弦值； （3）利用共线引入参数表达向量，再由向量垂直可得数量积为0，再求出参数即可； （4）利用坐标运算求向量夹角余弦值，再由正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系， 则． 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设，则，得． 因为，所以， 得（负根舍去），故． 【小问4详解】 由，得，则， 得． 设外接圆的半径为，则， 得． 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若的垂心为（在的内部），直线与交于点，且，当最大时，求． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求； （2）由(1)中的结论可求得，根据结合，运用均值不等式的结论可求面积的最大值； （3）根据为的垂心求得，利用正弦定理求得，，结合辅助角公式可求其取最大值时的值. 【小问1详解】 由正弦定理得，即． 由余弦定理得． 【小问2详解】 由，得． 由（1）可得，得， 当且仅当时，等号成立， 所以．故面积的最大值为10． 【小问3详解】 如图，设． 在中，． 在中，由， 得． 在中，， 由正弦定理得，得， 所以， 其中． 当时，取得最大值，此时， 得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期高一年级期中教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册第七章7.2.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 3 若，则（ ） A. B. C. －4 D. 4 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（ ） A. 4 B. C. D. 7. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B C. 的虚部为4 D. 的共轭复数为 10. 如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若是的中点，则 C. 若是中点，则 D. 若，则 11. 已知关于方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. 14 D. 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 13. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小正值为__________． 14. 如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称． （1）求的解析式； （2）求单调递减区间； （3）求在上的值域． 17. 已知． （1）求的值． （2）已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 18. 如图，已知正方形的边长为2，为的中点． （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若为线段上一点，且，求； （4）若，求外接圆的半径． 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若的垂心为（在的内部），直线与交于点，且，当最大时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$