清单05 轴对称﹑平移与旋转（考点清单，知识导图+4个考点清单&12大题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材华东师大版

清单05 轴对称﹑平移与旋转 （4个考点梳理+12大题型解读+提升训练） 清单01 轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 清单02 图形的平移 移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 清单03 图形的旋转 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 清单04 中心对称 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2） 中心对称的两个图形是全等图形. 作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤： 1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点. 2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形. 找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. 【考点题型一】轴对称图形的识别（） 【例1】（2025·云南德宏·一模）2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·广东清远·二模）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在法国巴黎举行，奥运精神是一种鼓励人们不断追求自我超越、团结合作和公平竞争的精神．下列关于体育运动的图标中．属于轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为3的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴． B．线段的对称轴有两条． C．到直线的距离相等的两个点关于直线对称． D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴两侧． 【考点题型二】根据成轴对称图形的特征进行求解（） 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是 的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，与相交于点，和关于直线对称，点的对称点分别是点．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】台球桌面上的轴对称问题（） 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式3-1】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式3-2】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【考点题型四】轴对称中的光线反射问题（） 【例4】（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【考点题型五】折叠问题（） 【例5】（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点，分别在，上将沿折叠得到，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕、与飞机头的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若 ，则的度数为 ． 【考点题型六】利用平移的性质求解（） 【例6】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 【变式6-2】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知线段是由线段平移得到的，且，则三角形的周长是 ． 【考点题型七】利用平移解决实际问题（） 【例7】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长为米，宽为米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【变式7-4】（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ． 【考点题型八】找旋转中心、旋转角和旋转点（） 【例8】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式8-2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川雅安·一模）如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是 ． 【考点题型九】利用旋转的性质求解（） 【例9】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，则 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 【考点题型十】中心对成图形的识别（） 【例10】（江苏省淮安市开明中学2024-2025学年九年级下学期一模数学卷）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级下·山西临汾·期中）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 【变式10-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四个城市地铁标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·山东青岛·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】作图-平移，旋转和轴对称（） 【例11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【变式11-1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点、、的对应点分别是点、、； (2)若点与点关于点成中心对称．请写出点的坐标． 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出将向下平移三个单位得到的图形； (2)作出关于点对称的图形； (3)直线与直线的位置关系是________． 【变式11-3】（24-25九年级下·江苏南京·期中）按下列要求在平面直角坐标系中画图并解答． (1)画出关于原点对称的； (2)若平移后，点的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)将绕着某一点旋转可得到，该点的坐标为___________． 【考点题型十二】全等三角形的性质（） 【例12】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【变式12-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【变式12-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式12-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)请你猜想满足什么条件时，． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单05 轴对称﹑平移与旋转 （4个考点梳理+12大题型解读+提升训练） 清单01 轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 清单02 图形的平移 移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 清单03 图形的旋转 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 清单04 中心对称 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2） 中心对称的两个图形是全等图形. 作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤： 1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点. 2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形. 找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. 【考点题型一】轴对称图形的识别（） 【例1】（2025·云南德宏·一模）2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据定义求解即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【变式1-1】（2025·广东清远·二模）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在法国巴黎举行，奥运精神是一种鼓励人们不断追求自我超越、团结合作和公平竞争的精神．下列关于体育运动的图标中．属于轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为3的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义以及对称轴的确定方法，根据轴对称图形和对称轴的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，对称轴有2条，故此选项错误； B、是轴对称图形，对称轴有2条，故此选项错误； C、是轴对称图形，对称轴有2条，故此选项错误； D、是轴对称图形，对称轴有3条，故此选项正确； 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴． B．线段的对称轴有两条． C．到直线的距离相等的两个点关于直线对称． D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴两侧． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误，不符合题意； B、线段的对称轴有两条，故原说法正确，符合题意； C、对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线的距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误，不符合题意； D、若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴两侧，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】根据成轴对称图形的特征进行求解（） 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是 的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，与相交于点，和关于直线对称，点的对称点分别是点．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B选项，根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D，根据可判断C选项，而A选项不一定成立． 【详解】解：如图，连接， 由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴B、C、D选项正确，不符合题意， 而不一定与垂直， 故选：A． 【变式2-3】（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称图形的性质，延长至，由题意得，，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：延长至， 由题意得，，， ∴，， ∴， 即， 故选：． 【考点题型三】台球桌面上的轴对称问题（） 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式3-1】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式3-2】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【考点题型四】轴对称中的光线反射问题（） 【例4】（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由反射定理可得， ，， ， ， ， ， 即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是， 故选：D． 【变式4-1】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 【变式4-2】（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 【考点题型五】折叠问题（） 【例5】（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点，分别在，上将沿折叠得到，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质．首先根据三角形内角和定理可以求出，根据折叠的性质可得：，根据直角三角形两个锐角互余，可得：，根据折叠的性质可以求出，再利用三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， 根据折叠的性质可得：， ， ， ， 根据折叠的性质可得：， ． 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴． 故选：B 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕、与飞机头的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．根据翻折变换的性质进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：∵折纸飞机的操作过程，对折了2次， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若 ，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 【考点题型六】利用平移的性质求解（） 【例6】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，线段的和差关系等知识．首先根据平移的性质得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 故选：C． 【变式6-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，设，由题意得，根据，，可得，求解即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：设， ∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点与点的距离为． 故选：B． 【变式6-2】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知线段是由线段平移得到的，且，则三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 利用平移的性质得到，然后利用三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的， ∴， 所以，三角形的周长为：， 三角形的周长是， 故答案为：． 【考点题型七】利用平移解决实际问题（） 【例7】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长为米，宽为米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移知识，能发现种植草坪的面积等于去掉所有小路后的长方形的面积是解题的关键．根据平移的性质可得，种植草坪的面积相当于长为米，宽为米的长方形的面积． 【详解】解：种植草坪的面积()． 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，平移性质． 根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：绿化区的面积是， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 【答案】540 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由长方形的面积得，即可求解；能根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （）， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计算出地毯的面积即可解决问题． 【详解】解：由题意可得， 地毯的面积为：， 所以地毯的价钱为：（元）． 故答案为：． 【变式7-4】（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ． 【答案】98米 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：98米． 【考点题型八】找旋转中心、旋转角和旋转点（） 【例8】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 【变式8-2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 【变式8-3】（2025·四川雅安·一模）如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查图形旋转的性质，熟练掌握找寻旋转中心的方法是解题关键． 根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】解：如图， 连接，作线段的垂直平分线， 两线的交点即为旋转中心，其坐标是． 故答案为：． 【考点题型九】利用旋转的性质求解（） 【例9】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故选B． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由计算即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， 故答案为：35． 【变式9-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，再由求出即可． 【详解】解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 故答案为：2． 【考点题型十】中心对成图形的识别（） 【例10】（江苏省淮安市开明中学2024-2025学年九年级下学期一模数学卷）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义求解即可． 【详解】解：A：既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； B：不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； C：不是中心对称图形．是轴对称图形，故不符合题意； D：不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【变式10-1】（24-25九年级下·山西临汾·期中）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意； D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意； 故选：D． 【变式10-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四个城市地铁标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式10-3】（2025·山东青岛·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【考点题型十一】作图-平移，旋转和轴对称（） 【例11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接和，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图：点即为所求， 【变式11-1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点、、的对应点分别是点、、； (2)若点与点关于点成中心对称．请写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了平移作图，关于原点对称的点的特征， 对于（1），将三个顶点向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，然后依次连接可得，最后根据图形得出坐标即可； 对于（2），根据关于两个点关于原点对称的特征解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：． ∵点与点关于原点中心对称， ∴点． 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出将向下平移三个单位得到的图形； (2)作出关于点对称的图形； (3)直线与直线的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【分析】本题考查了作图：作图形的平移与关于原点的对称图形，掌握平面直角坐标系中点平移规律与关于原点对称的点的坐标关系是解题的关键． （1）分别作出三个顶点向下平移3个单位长度后的对应点，依次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，依次连接即可； （3）由（1）（2）所作图知直线与直线的位置关系． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： （3）解：由前两问作图知，直线与直线的位置关系是平行． 故答案为：平行． 【变式11-3】（24-25九年级下·江苏南京·期中）按下列要求在平面直角坐标系中画图并解答． (1)画出关于原点对称的； (2)若平移后，点的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)将绕着某一点旋转可得到，该点的坐标为___________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据中心对称轴图形的性质找到点的位置，再连接即可； （）根据平移的性质找到点的位置，再连接即可； （）：连接，与相交于点，点即为旋转中心，再根据图形写出点的坐标即可； 本题考查了作中心对称轴图形，平移作图，旋转中心，掌握中心对称轴图形和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接，与相交于点，点即为旋转中心，由图可得，点的坐标为， 故答案为：． 【考点题型十二】全等三角形的性质（） 【例12】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式12-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，由全等三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理证明，据此可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即。 （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 【变式12-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)请你猜想满足什么条件时，． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $