清单04 三角形（考点清单，知识导图+4个考点清单&10大题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单04 三角形（4个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 三角形的相关概念 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 4. 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 清单02 三角形中重要的三种线段 清单03 三角形的内角和外角 1.三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 2.三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 清单04 全等三角形 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和： 360° （4）正多边形每个外角的度数： 【考点题型一】三角形的三边关系（） 【例1】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）用长度分别为4、m、7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（   ） A．12 B．11 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由题意可知，，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，即， m的值可能是4， 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，理解三角形三边关系是解题关键． 根据 “三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”，据此可得第三边的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：设三角形框架的第三边长为x， 根据题意，可得 ，即， 故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【考点题型二】利用三角形的中线性质求面积（） 【例2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．3 C．4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．根据等底同高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可求解． 【详解】解：∵的面积为，是的中线 ∴， 同理可得：， 故选：B． 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是16，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 由题意，可知：，均为的中线， ， 则， 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，．若的面积为10，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了中线与三角形的面积，根据在中，点是边的中点，得，再结合，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3 【考点题型三】三角形中角平分线、高的综合运算（） 【例3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图在中，，，平分，于点E，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 又∵平分， ∴． ∴， 又∵ ∴· ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，若是边上的高，的角平分线交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理．根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：A、∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴， 即， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【变式3-3】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在中，于是的平分线，，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知高，角平分线，内角和是解题关键．由，利用内角和定理先求，利用角平分线求，利用直角三角形两锐角互余求，再利用角的差求得答案． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点题型四】三角形角内外角平分线的综合（） 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ． 故选C． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【考点题型五】多边形的对角线（） 【例5】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线）．解题的关键：边形从一个顶点出发可引出条对角线，其内角和为．据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵从这个多边形的一个顶点出发最多可以画4条对角线， ∴， 解得：， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）过某个多边形一个顶点有5条对角线，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出n即可； 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形为八边形， 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 【变式5-3】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可． 【详解】解：设多边形有条边，由题意，得：， ∴； 故选：B． 【考点题型六】截角问题（） 【例6】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【变式6-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和；先求出截去一个角后得到的是11边形，再根据不同的裁切方式求出原来多边形的边数即可． 【详解】解：设截去一个角后的多边形边数为n， 则有：， 解得：， 如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10； 如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11； 如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12； 综上，原来多边形的边数可能是10或11或12； 故选：D． 【变式6-2】（22-23七年级下·山东聊城·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和定理可求出截取一个角后的多边形的边数，再分类讨论不同的截取方法所得的多边形是否满足题意，即可求解． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为， ∴设截取一个角后的多边形的边数为， ∴，解得，，即一个多边形截去一个角后得到六边形， 截取一个角的方法如下， 、如图所示，五边形被直线截取，得到六边形，    ∴五边形符合题意，即选项正确； 、如图所示，六边形被直线截取，得到六边形，    ∴六边形符合题意，即选项正确； 、如图所示，七边形被直线截取，得到六边形，    ∴七边形符合题意，即选项正确； 、八边形截取，不满足条件，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形的性质，掌握多边形的内角和的计算方法，多边形截取一个角的方法等知识是解题的关键． 【考点题型七】(正)多边形内角运算（） 【例7】（河南省洛阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷　）如图，，，是正n边形的三条边，在该正n边形下方以为一边作正六边形．已知，则n的值为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的内角和，先求解正六边形的1个内角度数，再根据正n边形的一个内角加上正六边形的1个内角度数以及为360度求解即可． 【详解】解：正六边形的内角为， 则， 解得． 则n的值为18， 故选：B 【变式7-1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据多边形的外角和定理求出，得到这个边形的内角和是，即可得到答案． 【详解】解：， ， 这个边形的内角和是， 故选：D． 【变式7-2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，多边形的内角与外角，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由外角性质可得，由四边形的内角和定理可得，则，又，从而求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式7-3】（2025九年级下·四川巴中·学业考试）正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键；因此此题可根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：， 故选C． 【变式7-4】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中剪去得到四边形，且，纸片中的度数为 ． 【答案】 【分析】根据四边形内角和定理求出，则由三角形内角和定理可得．本题主要考查了多边形内角和定理，熟知四边形内角和为360度，三角形内角和为180度是解题的关键． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ， ， 故答案为：． 【考点题型八】多边形的外角（） 【例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是六边形的四个外角，延长交于点H．若，则的大小为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“多边形的外角和是”等知识点是解题的关键． 先利用多边形的外角和求出的度数，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：多边形的外角和恒为， 即， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级下·福建泉州·期中）若一个正多边形的一个外角为45°，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为是解答本题的关键．根据正多边形每个外角都相等且外角和为列式解答即可． 【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为， ∴正多边形的边数是， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）将正方形与正五边形按如图所示的方式摆放，它们的顶点重合，且正方形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形的外角问题，三角形的内角和定理，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可，熟练掌握多边形的外角和为360度，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的定义和性质，正多边形的内角和定理，正多边形的外角和定理，正确理解正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的每个外角都相等求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解： 是正六边形的外角， 是正五边形的外角， ， ， 故答案为：． 【考点题型九】多边形内角和外角综合运算（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的外角和的应用； （1）直接利用多边形的内角和定理求解即可； （2）设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，可得，求解，再结合外角和可得答案． 【详解】（1）解：当时， 多边形的内角和； （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得， ． 【变式9-1】（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 【变式9-2】（24-25八年级上·河南周口·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求出它是几边形； (2)写出它有几条对角线． 【答案】(1) (2)条 【分析】本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和是解题的关键． （1）设这个多边形有条边．可得，进一步计算即可求解； （2）根据对角线的计算公式计算即可． 【详解】（1）设这个多边形有条边，可得， 解得：， ∴它是八边形； （2）∵， ∴它有条对角线． 【考点题型十】 多边形内角和和外角和综合实际应用（） 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设边数为，根据题意， ， 则． 故选：C． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 【变式10-2】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式10-3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 三角形（4个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 三角形的相关概念 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 4. 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 清单02 三角形中重要的三种线段 清单03 三角形的内角和外角 1.三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 2.三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 清单04 全等三角形 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和： 360° （4）正多边形每个外角的度数： 【考点题型一】三角形的三边关系（） 【例1】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【变式1-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）用长度分别为4、m、7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（   ） A．12 B．11 C．4 D．3 【变式1-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【考点题型二】利用三角形的中线性质求面积（） 【例2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．3 C．4 D．1.5 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是16，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，．若的面积为10，则的面积为 ． 【考点题型三】三角形中角平分线、高的综合运算（） 【例3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图在中，，，平分，于点E，求的度数． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，若是边上的高，的角平分线交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在中，于是的平分线，，，则的度数 ． 【考点题型四】三角形角内外角平分线的综合（） 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【考点题型五】多边形的对角线（） 【例5】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）过某个多边形一个顶点有5条对角线，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点题型六】截角问题（） 【例6】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式6-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 【变式6-2】（22-23七年级下·山东聊城·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数不可能为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】(正)多边形内角运算（） 【例7】（河南省洛阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷　）如图，，，是正n边形的三条边，在该正n边形下方以为一边作正六边形．已知，则n的值为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式7-1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025九年级下·四川巴中·学业考试）正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式7-4】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中剪去得到四边形，且，纸片中的度数为 ． 【考点题型八】多边形的外角（） 【例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是六边形的四个外角，延长交于点H．若，则的大小为 ． 【变式8-1】（24-25九年级下·福建泉州·期中）若一个正多边形的一个外角为45°，则这个多边形的边数为 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）将正方形与正五边形按如图所示的方式摆放，它们的顶点重合，且正方形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【变式8-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 【考点题型九】多边形内角和外角综合运算（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【变式9-1】（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【变式9-2】（24-25八年级上·河南周口·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求出它是几边形； (2)写出它有几条对角线． 【考点题型十】 多边形内角和和外角和综合实际应用（） 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$