清单02 函数及其图象（8个考点梳理+16大题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单02 函数及其图象（8个考点梳理+15大题型解读+提升训练） 清单01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 清单02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 清单03 一次函数的图像和性质 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 清单04 一次函数与方程，不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 清单05 一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 清单06 反比例函数的图像和性质 一．反比例的性质 在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 二．反比例函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质 清单07 反比例函数系数k的几何意义 这类问题通常是由几何图形的面积求k且常与相似三角形等考查，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 清单08 反比例函数与一次函数综合 一．反比例函数与一次函数交点 1.求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2.不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关） 二．反比例函数与一次函数图像存在问题 求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立； 三.反比例函数与一次函数综合应用 一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性质； 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】（北京市房山区2024-2025学年下学期学业水平调研（一）八年级数学试题（期中））下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键． ①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③，即当一个点不与原点重合时，对于x的每一个值，y均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义． 【详解】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·北京·期中）下列图像中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数定义判断所给出的图像是否是函数．函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图像观察就可以得出结论． 【详解】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图像． 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·北京·期中）下列能表示是的函数的是（   ） A． B．：一个正数，：这个正数的平方根 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； B．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； C．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故是的函数； D．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如图，故不是的函数； 故选C． 【考点题型二】函数解析式（） 【例2】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）将一次函数的图像向下平移2个单位后，所得图像对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一盛满30吨水的水箱，每小时流出吨水，试用流水时间（小时）表示水箱中的剩水量（吨），则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，关键是掌握常量和变量的定义．根据题意可得剩余水量原有水量流出水量可得函数关系式． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 【变式2-2】（2025·陕西商洛·二模）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设蛋白质、脂肪的含量分别为，则与的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出变量之间的关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键．先表示出碳水化合物的含量是，再根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，列关系式即可． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为 ∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍， ∴碳水化合物的含量是， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）为了进一步提升群众生活幸福感，某村委会决定将原有的长为、宽为的长方形广场进行扩建．若将该广场的宽增加，长不变，所得新广场的面积y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，掌握长方形面积的计算方法是得出答案的前提，用代数式表示变化后长方形的长是解决问题的关键．根据长方形的面积公式列函数关系式即可. 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 【考点题型三】自变量取值范围（） 【例3】（2025·云南临沧·二模）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．根据分式的分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：依题意，得 ， 解得． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 【变式3-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数自变量和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【考点题型四】平面直角坐标系（） 【例4】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的横坐标是，且点到轴的距离为，则点的坐标是(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点到坐标轴的距离，注意：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】解：点的横坐标是，点到轴的距离为，所以点的纵坐标为或， 所以点的坐标为或， 故选：A． 【变式4-1】（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意得：点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解． 【详解】解：∵点横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 【变式4-3】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查写出点的坐标，根据已知点的坐标，建立直角坐标系，进行写出点C的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图所示： 由图可知：点的坐标为． 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）若点在轴上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握轴上的点纵坐标为0是解题的关键．根据轴上的点纵坐标为0，可得，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点 在轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型五】从函数图像获取信息（） 【例5】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．从慧慧出发直至送餐结束，共需 B．慧慧比聪聪晚出发 C．聪聪的速度为 D．客人距离厨房门口 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的分析，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象结合速度、路程、时间之间的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、从慧慧出发直至送餐结束，共需，故A正确，不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B正确，不符合题意； C、聪聪的速度为，故C正确，不符合题意； D、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故D错误，不符合题意， 故选：D． 【变式5-1】（江西省抚州市2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题）乌鸦喝水是我们从小就熟知的寓言故事，下面（    ）幅图比较符合故事情节． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意可知，水瓶里原有一部分水（未满），石子投入瓶中，这时水位会上升，上升至瓶口后乌鸦喝到水，此时水位会下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】解：根据分析可得，D选项比较符合故事情节 故选：D ． 【变式5-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列2个不同的问题情境： ①小明骑车以600米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以900米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米； ②有一个容积为6升的空桶，以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒出空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升； 关于以上问题情境，下列判断正确的是（   ） A．只有①符合图中函数关系 B．只有②符合图中函数关系 C．①②均符合图中函数关系 D．①②均不符合图中函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象，正确理解函数图象所给的信息是解题的关键． 根据函数图象及题意可直接进行求解． 【详解】解：①小明骑车以600米/分的速度匀速骑了5分时，离出发地距离为（米）（千米），与图象不符． ②以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为（升），等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象． 故选：B 【变式5-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知小李家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图像反映的过程是：小李从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示小李离家的距离．根据图象解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/min 3 6 15 30 65 离家的记录/km ____ ____ ____ (2)填空： ①体育场到文具店的距离为_____． ②小李在文具店停留了______． ③小李从文具店回家的平均速度为________． ④当小李离家的距离为时，他离开家的时间为______． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②20；③；④12或 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）直接根据图象完成表格，即可； （2）①直接观察图象，即可；②直接观察图象，即可；③直接观察图象，即可；④直接观察图象，即可． 【详解】（1）解：小李从家到体育场的速度为， ∴当小李离家的时间为时，他离开家的距离为， 根据图象，完成表格，如下： 离开家的时间/min 3 6 15 30 65 离家的记录/km 1 （2）解：①根据题意得：体育场到文具店的距离为； 故答案为：1 ②根据题意得：小李在文具店停留了； 故答案为：20 ③根据题意得：小李从文具店回家的平均速度为； 故答案为： ④根据题意得：小李从家到体育场的速度为， ∴当小李离家的距离为时，他离开家的时间为； 体育场到文具店的速度为， ∴当小李离家的距离为时，他离开家的时间为； 综上所述，当小李离家的距离为时，他离开家的时间为或． 故答案为：12或 【考点题型六】一次函数的图像与性质（） 【例6】（吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期5月阶段质量检测数学试卷）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，灵活运用一次函数的性质成为解答本题的关键． 根据一次函数的性质判断函数一定经过的象限即可街道． 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，该函数图象经过第一、三、四象限， 当时，该函数图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C． 【变式6-1】（2025年湖南省长沙市雅礼教育集团一模数学试题）一次函数的图象经过（   ） A．第一、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的图象与系数的关系，是解题的关键． 根据一次函数的增减性质与k符号的关系，与y轴交点和b符号的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴函数图象与y轴负半轴相交， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：A． 【变式6-2】（2025·湖北恩施·一模）对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键．根据图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴图象过点，故A不符合题意； ∵，， ∴图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 图象可由直线向上平移2个单位长度得到，故D符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海·期中）如果一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．根据题意可知，解之即可得到答案． 【详解】解：一次函数的函数值随的值增大而增大， ， ， 故答案为：． 【考点题型七】一次函数图像上的点坐标的特征（） 【例7】（24-25八年级下·上海·期中）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．根据，以及直线中随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：对于来说， ， 随的增大而减小， 点，点都在直线上，且， ， 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）若一次函数的图象上有两点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出、，再比较大小即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象上有两点，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若点在一次函数的图象上，且，则下列的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】根据题意得， ， 在中只有， 故选：A． 【考点题型八】一次函数与方程，不等式的关系（） 【例8】（2025·黑龙江大庆·二模）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求出交点的坐标，再观察图象，写出直线图象在直线图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ， 解得：， ， 由图象可得：当函数图象在函数图象下方时，， ∴不等式的解集为． 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级下·山西大同·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式．直接利用函数图象，找出一次函数图象在的图象上方的部分即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图可得：不等式的解集为：， 故选：D． 【变式8-2】（24-25八年级下·重庆·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察两个一次函数图像的位置关系是解题的关键． 通过观察两个一次函数图像的位置关系，来确定不等式的解集．当的图像在的图像下方或重合时，满足，此时对应的x的取值范围即为所求． 【详解】解：观察图像可以看到一次函数与的图像相交于点． 要使，则一次函数的图像在的图像下方或重合，x的取值范围为． 故选B． 【变式8-3】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 【变式8-4】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）一次函数（、均为常数，且）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是通过图象能够判定出不等式的解集． 从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：根据直线图象可得当时，， ∴当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【考点题型九】一次函数的实际应用（） 【例9】（24-25八年级下·广西南宁·期中）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)120 (2) (3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、正确列出函数解析式以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）由图直接列式计算即可求得甲种绿植每平米的种植费； （2）直接运用待定系数法求解即可； （2）设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米，根据实际意义可以确定x的范围，结合种植总费用w（元）与种植面积之间的函数关系可以分类讨论，从而得到最少费用即可． 【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元． 故答案为：120． （2）解：当时，设， 根据题意得：，解得： ∴， ∴当时，与之间的函数解析式． （3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米， 由题意可得：， 解得不等式组的解集为． 设种植总费用为w元． 当时，． ∵， ∴w随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，． ∵， ∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【变式9-1】（2025·河南郑州·二模）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． (1)求，两款摆件每个的利润分别是多少？ (2)若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元 (2)商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，根据“销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元”建立一元一次方程求解； （2）设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，由“款摆件的数量不超过款摆件数量的”建立不等式求出的取值范围，再设利润为元，求出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元； （2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元，则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大为：（元）， 此时（个）， 答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元． 【变式9-2】（2025·陕西渭南·二模）中华郡是集精品住宿、特色餐饮、主题文化展示和人文体验、中华文化研究、艺术家论道基地及景观农业于一体的复合型旅游基地．王超一家决定自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 【答案】(1) (2)王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设段与之间的函数关系式为（、为常数，且）． 将和分别代入， 得：， 解得： 段与之间的函数关系式为． （2）解：当时，得， 解得：． 答：王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米． 【变式9-3】（2025·陕西咸阳·二模）新能源汽车主要使用电力、太阳能、氢气等清洁能源作为动力装置，不仅减少了对环境的污染，而且使用成本低．下表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程的关系． 汽车行驶过程 已行驶里程 0 100 200 300 … 显示电量 100 75 50 25 … (1)在如图的平面直角坐标系中描出数据对应的点并连线．观察图象，仪表盘显示电量与已行驶里程之间可能是_____________函数关系；（选填“一次”“二次或“反比例”） (2)根据以上判断，求与的关系式； (3)这辆新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶260km后，求此时汽车仪表盘显示的电量． 【答案】(1)一次，图见解析 (2) (3)此时汽车仪表盘显示的电量为 【分析】本题考查了画函数图象，一次函数的解析式，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据分别描点，再连线，结合函数图象，进行判断，即可作答． （2）先设解析式，再把将，代入，进行求解，即可作答． （3）理解题意，把将代入，进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：如图， 观察图象，仪表盘显示电量与已行驶里程之间可能是一次函数关系， 故答案为：一次 （2）解：依题意，设与的关系式为， 将，代入， 得 解得 与的关系式为； （3）解：依题意，将代入， 得， ∴此时汽车仪表盘显示的电量为 【考点题型十】反比例函数的性质（） 【例10】（2025·云南德宏·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意； B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意； C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意； D项将代入反比例函数得到，故D项符合题意； 故选D． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式10-2】（2025·云南昆明·一模）已知点在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式为，则可推出在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴，即在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为， ∴四个选项中，只有D选项中的点在该反比例函数的图象上， 故选：D． 【考点题型十一】反比例图像上点坐标的特征（） 【例11】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）若点，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例函数图象上点的坐标特征，根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，进而得到在第二象限，在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上， ∴点在第二象限，在第四象限， ∵， ∴， 故选：D． 【变式11-1】（2025·浙江金华·二模）已知点，在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象的性质及函数值的大小比较，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数图象的性质即可得出答案． 【详解】解：∵函数中系数， ∴反比例函数图象分布在第二象限和第四象限， 在第二象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 【考点题型十二】反比例函数系数k的几何意义（） 【例12】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意可得，，再由计算即可得解，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 故选：D． 【变式12-1】．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 【变式12-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：4． 【变式12-3】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点，若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数中值的几何意义，熟练掌握反比例函数中值的几何意义是解题的关键；分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： 由反比例函数的几何意义可知：， ∴； 故答案为：3． 【考点题型十三】反比例函数与一次函数交点问题（） 【例13】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，根据函数图象确定不等式的解集，利用数形结合的思想是解题的关键．函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围，借助图象即可求解． 【详解】解：由题意得，， 当函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围， ∴由图象可得：或， 故选：C． 【变式13-1】（2025·广东广州·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答本题即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B 【变式13-2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，先利用对称性求解，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B， ∴， 根据图象得：当时的变量x的取值范围为：或． 故答案为：或． 【变式13-3】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：点的坐标为， 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点， 关于的不等式 的解集为或， 故答案为：或． 【考点题型十四】反比例函数与一次函数存在问题（） 【例14】（2024·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2)，或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理和圆周角定理；掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤和数形结合思想是解题的关键． （1）先把点A代入反比例函数求得解析式，然后把点B代入反比例函数求得m的值，然后把A、B两点分别代入一次函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据圆周角定理确定点P的运动轨迹，设的中点为，当，，三点共线且，在的同侧时有最小值，由勾股定理求出和的长，由的中点Q求得，即可求出． 【详解】（1） 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上． ， ， 把，代入得 ， 解得， 一次函数解析式为； （2）由图象知，当时，，或， x的取值范围是：，或， （3） ， 点在以为直径的圆上运动，    设的中点为， 当，，三点共线且，在的同侧时有最小值， ，， ， ， 的中点为， ， ∴， ， 故的最小值为． 【变式14-1】（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定的长度， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，即可求解．， 【详解】（1）在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得： 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或； （3）设点P的坐标为， 则， ， 解得：或， 点P的坐标或 【变式14-2】（22-23八年级下·河南周口·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图像直接写出不等式时，的取值范围； (3)在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先将代入求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求解一次函数解析式； （2）将变形为，根据图形和交点坐标，找出反比例函数图形高于一次函数图象时，自变量的取值范围即可； （3）根据题意进行分类即可，①当时，②当时． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， 代入得：， 即， 将，代入中， ，解得：； ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 由图可知：当或时，； （3）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ①当时， ∵点M在y轴上， ∴，    ②当时， ∵，， ∴， ∴，    综上：，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，根据函数图象求不等式解集，等腰三角形的性质，解题的关键是刷脸掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确识别函数图象，掌握等腰三角形“三线合一”． 【变式14-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点D的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）由图像即可判断； （3）分点D在轴正半轴上时和负半轴上时两种情况，再分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． （2）解：当时，由图可知， 故答案为： （3）解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【考点题型十五】反比例函数与一次函数综合应用（） 【例15】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【变式15-1】（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 【变式15-2】（2024·广东·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 函数及其图象（8个考点梳理+15大题型解读+提升训练） 清单01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 清单02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 清单03 一次函数的图像和性质 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 清单04 一次函数与方程，不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 清单05 一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 清单06 反比例函数的图像和性质 一．反比例的性质 在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 二．反比例函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质 清单07 反比例函数系数k的几何意义 这类问题通常是由几何图形的面积求k且常与相似三角形等考查，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 清单08 反比例函数与一次函数综合 一．反比例函数与一次函数交点 1.求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2.不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关） 二．反比例函数与一次函数图像存在问题 求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立； 三.反比例函数与一次函数综合应用 一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性质； 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】（北京市房山区2024-2025学年下学期学业水平调研（一）八年级数学试题（期中））下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-2】（24-25八年级下·北京·期中）下列图像中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·北京·期中）下列能表示是的函数的是（   ） A． B．：一个正数，：这个正数的平方根 C． D． 【考点题型二】函数解析式（） 【例2】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）将一次函数的图像向下平移2个单位后，所得图像对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一盛满30吨水的水箱，每小时流出吨水，试用流水时间（小时）表示水箱中的剩水量（吨），则与的函数解析式为 ． 【变式2-2】（2025·陕西商洛·二模）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设蛋白质、脂肪的含量分别为，则与的关系可以表示为 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）为了进一步提升群众生活幸福感，某村委会决定将原有的长为、宽为的长方形广场进行扩建．若将该广场的宽增加，长不变，所得新广场的面积y与x之间的关系式为 ． 【考点题型三】自变量取值范围（） 【例3】（2025·云南临沧·二模）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【考点题型四】平面直角坐标系（） 【例4】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的横坐标是，且点到轴的距离为，则点的坐标是(    ) A．或 B．或 C． D． 【变式4-1】（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）若点在轴上，则 ． 【考点题型五】从函数图像获取信息（） 【例5】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．从慧慧出发直至送餐结束，共需 B．慧慧比聪聪晚出发 C．聪聪的速度为 D．客人距离厨房门口 【变式5-1】（江西省抚州市2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题）乌鸦喝水是我们从小就熟知的寓言故事，下面（    ）幅图比较符合故事情节． A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列2个不同的问题情境： ①小明骑车以600米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以900米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米； ②有一个容积为6升的空桶，以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒出空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升； 关于以上问题情境，下列判断正确的是（   ） A．只有①符合图中函数关系 B．只有②符合图中函数关系 C．①②均符合图中函数关系 D．①②均不符合图中函数关系 【变式5-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知小李家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图像反映的过程是：小李从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示小李离家的距离．根据图象解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/min 3 6 15 30 65 离家的记录/km ____ ____ ____ (2)填空： ①体育场到文具店的距离为_____． ②小李在文具店停留了______． ③小李从文具店回家的平均速度为________． ④当小李离家的距离为时，他离开家的时间为______． 【考点题型六】一次函数的图像与性质（） 【例6】（吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期5月阶段质量检测数学试卷）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【变式6-1】（2025年湖南省长沙市雅礼教育集团一模数学试题）一次函数的图象经过（   ） A．第一、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【变式6-2】（2025·湖北恩施·一模）对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【变式6-3】（24-25八年级下·上海·期中）如果一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【考点题型七】一次函数图像上的点坐标的特征（） 【例7】（24-25八年级下·上海·期中）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-1】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）若一次函数的图象上有两点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若点在一次函数的图象上，且，则下列的值可能为（　　） A． B． C． D． 【考点题型八】一次函数与方程，不等式的关系（） 【例8】（2025·黑龙江大庆·二模）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级下·山西大同·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级下·重庆·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【变式8-4】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）一次函数（、均为常数，且）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是 ． 【考点题型九】一次函数的实际应用（） 【例9】（24-25八年级下·广西南宁·期中）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【变式9-1】（2025·河南郑州·二模）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． (1)求，两款摆件每个的利润分别是多少？ (2)若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式9-2】（2025·陕西渭南·二模）中华郡是集精品住宿、特色餐饮、主题文化展示和人文体验、中华文化研究、艺术家论道基地及景观农业于一体的复合型旅游基地．王超一家决定自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 【变式9-3】（2025·陕西咸阳·二模）新能源汽车主要使用电力、太阳能、氢气等清洁能源作为动力装置，不仅减少了对环境的污染，而且使用成本低．下表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程的关系． 汽车行驶过程 已行驶里程 0 100 200 300 … 显示电量 100 75 50 25 … (1)在如图的平面直角坐标系中描出数据对应的点并连线．观察图象，仪表盘显示电量与已行驶里程之间可能是_____________函数关系；（选填“一次”“二次或“反比例”） (2)根据以上判断，求与的关系式； (3)这辆新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶260km后，求此时汽车仪表盘显示的电量． 【考点题型十】反比例函数的性质（） 【例10】（2025·云南德宏·一模）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【变式10-2】（2025·云南昆明·一模）已知点在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十一】反比例图像上点坐标的特征（） 【例11】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）若点，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·浙江金华·二模）已知点，在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【考点题型十二】反比例函数系数k的几何意义（） 【例12】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式12-1】．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【变式12-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ． 【变式12-3】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点，若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【考点题型十三】反比例函数与一次函数交点问题（） 【例13】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式13-1】（2025·广东广州·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式13-2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是 【变式13-3】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 【考点题型十四】反比例函数与一次函数存在问题（） 【例14】（2024·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值． 【变式14-1】（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（22-23八年级下·河南周口·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图像直接写出不等式时，的取值范围； (3)在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【变式14-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型十五】反比例函数与一次函数综合应用（） 【例15】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【变式15-1】（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【变式15-2】（2024·广东·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$