清单01 分式（考点清单，知识导图+7个考点清单&13大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单01 分式（7个考点梳理+13大题型解读+提升训练） 清单01 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 清单02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 2.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 清单03 分式运算 1.分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 2.分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 3.分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 4.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 5.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 6.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 清单04 分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2.分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 清单05 与分式方程的解有关问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 清单06 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 清单07 零指数幂与负整数指数幂 1.零指数 a0=1 (a≠0) 1.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 3.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学计数法． 【考点题型一】分式有意义的条件（） 【例1】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）要使分式有意义，则x的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据“分式的分母不能为0”即可求出答案． 【详解】解：由分式的分母不能为0得：， 解得， 故选：B． 【变式1-1】（2025·广东清远·一模）要使分式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 得． 故选C． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 * * 0 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0， 分式可能是． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川资阳·期中）若分式的值为，则的值是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分子的值等于且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， ∴， 故选：． 【变式1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）当m为 时，分式无意义． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】分式值为0的条件（） 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值是0的条件．分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式值为0的条件：当分母不为0且分子值为0时，分式值为0． 根据分式值为0的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为零，则且， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零成为解题的关键． 直接根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为 0 ， ∴，且， 即． 故答案为：． 【考点题型三】分式的求值（） 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，将代入求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了求分式的值，掌握整体代入法是解题的关键． 首先得到，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：5． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据题意得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建南平·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，由可化为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】分式的基本性质运用（） 【例4】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 【变式4-1】（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【变式4-2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】A. ，不正确； B. ，不正确； C. ，不正确； D. ，正确． 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）在下列分式中，若，的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把每个选项中的式子中的，替换为，，再约分即可得到答案． 【详解】解：A、，分式的值不变，符合题意； B、，分式的值变化，不符合题意； C、，分式的值变化，不符合题意； D、，分式的值变化，不符合题意； 故选：A． 【考点题型五】分式的乘除法运算（） 【例5】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．把分式中的分子、分母因式分解，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据分式的乘法和性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-2】（24-25八年级上·北京通州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式5-3】（2025·山西长治·模拟预测）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算．先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【考点题型六】分式的加减法运算（） 【例6】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的运算法则是解题的关键．根据法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式6-1】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法．先根据平方差公式通分，再计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】（2025·山东济南·二模）化简：结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【变式6-3】（2025·广东汕头·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据同分母分式的加减，分子相加减，分母不变，进行计算，注意结果要化成最简分式． 【详解】解：． 故答案为： ． 【考点题型七】】分式的混合运算（） 【例7】（24-25八年级下·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再进行加减计算； （2）先计算括号内异分母分式减法，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、平方差公式，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·一模）化简分式：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型八】分式化简求值（） 【例8】（2025·湖南株洲·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 【变式8-1】（2025·吉林四平·三模）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ， ， 只能取， 当时，原式． 【变式8-2】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式8-3】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 【考点题型九】解分式方程（） 【例9】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握去分母的方法是解答本题的关键． （1）方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，进行检验判断即可； （2）方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，进行检验判断即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为１，得：， 当时，， 是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 解这个整式方程得，， 当时，， 是增根，原方程无解． 【变式9-1】（2023·江苏苏州·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．根据去分母，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式9-2】（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 【考点题型十】已知分式方程的解求参数（） 【例10】（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．根据分式的求解步骤求解，再根据解的结果求值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且且，解得且， 故选：C． 2【变式10-1】（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．先根据解分式方程的一般步骤求出，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式10-3】（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根,得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得， 由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程， ， 解得， 故答案为：． 【考点题型十一】分式方程应用题（） 【例11】（2025·四川达州·一模）某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍． (1)求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？ 【答案】(1)型无人机单价是600元，型无人机的单价是468元 (2)购买型无人机21台，购买型无人机79台，能使购买无人机的总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，得到正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，根据“用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍”列出方程，解方程即可； （2）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据题意列出不等式，再求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验是原方程的解， （元）， 答：型无人机单价是468元，型无人机的单价是600元； （2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台， 根据题意可得， 解得， 为整数， 的最小值为， 当购买型无人机数量最小时，总费用最少， 故费用最少时，购买型无人机21台，购买型无人机79台． 【变式11-1】（2025·山东·一模）某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件． (1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格； (2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润． 【答案】(1)该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元 (2)两次售出这种商品的总利润为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，根据第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于总售价减去总成本，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴； 答：该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元； （2）由（1）可知，第一次购进商品件，第二次购进商品件， ∴（元）； 答：两次售出这种商品的总利润为元． 【变式11-2】（2025·河南驻马店·二模）今年A地的橘子又是大丰收，为了争取利润最大化，老张决定从A地运橘子到B地，再从B地运苹果到A地，已知甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是每箱橘子重量的两倍． (1)若该车每次运输都刚好装满12吨，每次所运的橘子比苹果多400箱，每箱橘子多少千克？ (2)老张要从A地运102吨橘子到B地，现用甲、乙两种汽车共6辆，且乙车一次可以运20吨． ①至少需要用几辆乙车？ ②若甲车每辆的运输费为3500元，乙车每辆的运输费为5000元，运这些橘子到B地至少需要多少运费？ 【答案】(1)15千克 (2)27000元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先统一单位，设每箱橘子x千克，则每箱苹果千克，由“甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是每箱橘子重量的两倍，每次所运的橘子比苹果多400箱，”建立分式方程求解； （2）①设用y辆乙车，则甲车的数量为，由题意得，解不等式即可；②根据题意得到，结合①求出的范围，再讨论求解． 【详解】（1）解：12吨=12000千克． 设每箱橘子x千克，则每箱苹果千克， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每箱橘子15千克． （2）解：①设用y辆乙车，则甲车的数量为， 由题意得， 解得，且y为整数， ∴至少需要用4辆乙车． ②∵甲、乙车都用， ∴， ∴， ∴，且y为整数， ∴y取4，5． 当用4辆乙车时，运费为：（元）． 当用5辆乙车时，运费为：（元）． ∵， ∴至少需要27000元运费． 答：运这些橘子到B地至少需要27000元运费． 【变式11-3】（24-25八年级下·重庆万州·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小文在网上开设相关周边专卖店，一次，小文发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． (1)求、两款的进货单价分别是多少元？ (2)小文决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小文打算购进、两款玩偶共75个，款的数量不小于款的一半，且款的数量不少于45个．请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小文获得的总利润最高？最高总利润为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又款的数量不小于款的一半，且款的数量不少于45个， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则购进A款数量为：（个）， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为元． 【变式11-4】24-25八年级下·四川眉山·期中）城区某学校政教处对清明节糖有作品进行颁奖，获得一等奖和二等奖的作品分别颁发笔记本和钢笔，经询价得知，每个笔记本单价比每支钢笔单价贵2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同． (1)笔记本和钢笔的单价各是多少元？ (2)若此次50名同学获奖，每名获奖同学将获得一个笔记本或一支钢笔，要使购买笔记本和钢笔的总费用不超过540元，那么最多可以购买多少个笔记本？ 【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元 (2)最多购买笔记本20本 【分析】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式是本题的解题关键． （1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为元，根据题目中的等量关系列方程并求解即可； （2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为支，根据题意列关于y的不等式，解不等式并找到最大整数解即为答案． 【详解】（1）设每支钢笔x元，则笔记本的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故笔记本的单价为：（元）， 答：笔记本每本12元，钢笔每支10元． （2）设购买y本笔记本，则购买钢笔支， 依题意得：， 解得：， 故最多购买笔记本20本． 【考点题型十二】零指数幂和负整数指数幂（） 【例12】（2025·陕西榆林·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、负整数、0指数幂和立方根，熟练掌握实数的基本知识是解题的关键； 先化简绝对值，计算负整数、0指数幂和立方根，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 【变式12-1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握负指数幂，零次幂，完全平方公式的计算是关键． （1）分别算出负指数幂，零次幂，乘方的结果，再根据实数的混合运算法则即可即可； （2）先运用完全平方公式，单项式乘以多项式的计算方法展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-2】（2025·湖北宜昌·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式12-3】（2025·江苏盐城·二模）计算 ： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂和负整数指数幂，以及进行算术平方根的计算，再进行加减计算． 【详解】解： ． 【考点题型十三】科学计数法（） 【例13】（河南省十二县一区2025年初中毕业班第二次模拟测试数学试卷）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．0.015毫米等于多少米？将结果用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，为整数即可解答． 【详解】解：由题意可得1毫米米，则毫米米米． 【变式13-1】（2025年安徽省阜阳市中考三模数学试题）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.000000014可用科学记数法表示为， 故选：B． 【变式13-2】（2025·山东日照·二模）在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【变式13-3】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）“桃之夭夭，灼灼其华”．今年汾河两岸的桃花竞相开放，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉的直径约为0.00003米，则数据0.00003用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据0.00003用科学记数法表示为， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 分式（7个考点梳理+13大题型解读+提升训练） 清单01 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 清单02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 2.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 清单03 分式运算 1.分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 2.分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 3.分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 4.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 5.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 6.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 清单04 分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2.分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 清单05 与分式方程的解有关问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 清单06 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 清单07 零指数幂与负整数指数幂 1.零指数 a0=1 (a≠0) 1.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 3.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学计数法． 【考点题型一】分式有意义的条件（） 【例1】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）要使分式有意义，则x的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·广东清远·一模）要使分式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D．且 【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 * * 0 * … A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川资阳·期中）若分式的值为，则的值是（   ） A． B． C． D．任意实数 【变式1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）当m为 时，分式无意义． 【考点题型二】分式值为0的条件（） 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）若分式的值为零，则 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）当 时，分式的值为0． 【考点题型三】分式的求值（） 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）若，则 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建南平·期末）已知，则的值为 ． 【考点题型四】分式的基本性质运用（） 【例4】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【变式4-1】（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）在下列分式中，若，的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】分式的乘除法运算（） 【例5】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）计算：． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【变式5-2】（24-25八年级上·北京通州·期中）计算： 【变式5-3】（2025·山西长治·模拟预测）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】分式的加减法运算（） 【例6】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）计算 ． 【变式6-2】（2025·山东济南·二模）化简：结果为 ． 【变式6-3】（2025·广东汕头·一模）计算： ． 【考点题型七】】分式的混合运算（） 【例7】（24-25八年级下·重庆·期中）计算： (1) (2) 【变式7-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·一模）化简分式：． 【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 【考点题型八】分式化简求值（） 【例8】（2025·湖南株洲·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式8-1】（2025·吉林四平·三模）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【变式8-2】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式8-3】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 【考点题型九】解分式方程（） 【例9】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）解方程 (1) (2) 【变式9-1】（2023·江苏苏州·一模）解方程：． 【变式9-2】（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）解分式方程：． 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1)． (2)． 【考点题型十】已知分式方程的解求参数（） 【例10】（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 【变式10-1】（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【变式10-3】（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知关于x的方程有增根，那么 ． 【考点题型十一】分式方程应用题（） 【例11】（2025·四川达州·一模）某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍． (1)求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？ 【变式11-1】（2025·山东·一模）某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件． (1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格； (2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润． 【变式11-2】（2025·河南驻马店·二模）今年A地的橘子又是大丰收，为了争取利润最大化，老张决定从A地运橘子到B地，再从B地运苹果到A地，已知甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是每箱橘子重量的两倍． (1)若该车每次运输都刚好装满12吨，每次所运的橘子比苹果多400箱，每箱橘子多少千克？ (2)老张要从A地运102吨橘子到B地，现用甲、乙两种汽车共6辆，且乙车一次可以运20吨． ①至少需要用几辆乙车？ ②若甲车每辆的运输费为3500元，乙车每辆的运输费为5000元，运这些橘子到B地至少需要多少运费？ 【变式11-3】（24-25八年级下·重庆万州·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小文在网上开设相关周边专卖店，一次，小文发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． (1)求、两款的进货单价分别是多少元？ (2)小文决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小文打算购进、两款玩偶共75个，款的数量不小于款的一半，且款的数量不少于45个．请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小文获得的总利润最高？最高总利润为多少？ 【变式11-4】24-25八年级下·四川眉山·期中）城区某学校政教处对清明节糖有作品进行颁奖，获得一等奖和二等奖的作品分别颁发笔记本和钢笔，经询价得知，每个笔记本单价比每支钢笔单价贵2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同． (1)笔记本和钢笔的单价各是多少元？ (2)若此次50名同学获奖，每名获奖同学将获得一个笔记本或一支钢笔，要使购买笔记本和钢笔的总费用不超过540元，那么最多可以购买多少个笔记本？ 【考点题型十二】零指数幂和负整数指数幂（） 【例12】（2025·陕西榆林·三模）计算：． 【变式12-1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 【变式12-2】（2025·湖北宜昌·一模）计算： 【变式12-3】（2025·江苏盐城·二模）计算 ： 【考点题型十三】科学计数法（） 【例13】（河南省十二县一区2025年初中毕业班第二次模拟测试数学试卷）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．0.015毫米等于多少米？将结果用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式13-1】（2025年安徽省阜阳市中考三模数学试题）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·山东日照·二模）在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（山西省临汾市2024-2025学年下学期八年级期中数学试题）“桃之夭夭，灼灼其华”．今年汾河两岸的桃花竞相开放，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉的直径约为0.00003米，则数据0.00003用科学记数法表示为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$