期末重难点真题特训之压轴满分题型（95题16个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（95题16个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式的规律性问题 1．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）（1）探究性问题：，，，则______； （2）试用上面规律，计算． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由已知的三个等式的分母中的数字变化即可总结出一般性的规律； （2）利用总结的规律把三项化为六项后，抵消合并，然后利用分式的通分法则化简即可． 【详解】（1）， ， ， …… ∴． 故答案为： （2） = = = =． 【点睛】本题考查数字类变化规律及分式的加减法运算，从特殊的式子中找出一般性的规律，灵活运用找出的规律化简求值并熟练掌握分式加减法法则是解题关键． 2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）阅读下面解题过程： “倒数法”就是通过对数或式取倒数来解题的方法，它主要应用于分式型的问题．对于某些分式问题，用常规方法求解比较困难，如果能根据分式的结构特征和内在规律，采用取倒数的方法进行求解，往往具有简洁明快的特点，使问题迎刃而解． 例如：已知，求的值． 解：由，可得，∴，∴， ∴， ∴ 请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，即可得出答案． 【详解】解：由可得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 4．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）阅读两位同学的探究交流活动过程： a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ① b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： ② ③ ④ c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； d．小亮对第n个等式进行了证明． 解答下列问题： (1)第⑤个等式是_______； (2)第n个等式是_______； (3)请你证明第n个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据已知等式进行类比，即可得出答案； （2）根据已知等式进行总结归纳，即可得出答案； （3）将变形为，变形为，再根据分式的运算法则进行计算，即可证明． 【详解】（1）解：根据已知等式可知第⑤个等式是， 故答案为：； （2）解：对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是， 故答案为：； （3）证明： ． 所以． 即第n个等式成立． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第n个等式． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）素养·思维赋能 化归思想在分式的乘除运算中的体现 由本节典例2可知对于分子分母是多项式的分式的乘除运算，其中有一个很关键的过程是把分子分母进行因式分解，因式分解与整式的乘法运算又是方向相反的过程．请通过解决下面的问题再次体会三者之间的关系． 旧知回顾 （1）计算：__________． ___________． 归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含，的字母表示：______________；你又发现一个新的乘法公式 深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（  ） A． B． C． D． 学以致用 （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简． 【答案】（1），；（2）；（3）A；（4）． 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）由（1）总结出公式即可； （3）由新发现的公式结构逐项判断即可； （4）根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； ； 故答案为：，； （2）由（1）可总结为． 故答案为：； （3）观察各选项可知只有A．满足发现的乘法公式． 故选A； （4） ． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，分式的除法运算．理解题意，总结出新的乘法公式，并掌握各运算法则是解题关键． 压轴满分题二、分式的新定义问题 6．（23-24八年级下·山西长治·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 7．（23-24八年级下·四川内江·期中）（1）对于任意两个非零实数，定义新运算“*”如下：，例如：．若，求的值； （2）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，请你根据上述规定求出的值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查了新定义、分式的化简 、解分式方程，理解定义的新运算是解此题的关键． （1）根据新定义运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可得到答案； （2）根据题中的新定义化简得：，解分式方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ． 8．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定（其中a，b是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如：，． (1)填空：_________．（用含a，b的代数式表示） (2)若，且． ①求a，b的值； ②若，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用新运算的规定解答即可； （2）①利用新运算的规定得到关于的方程，解方程即可求得结论； ②利用新定义的规定列出关于的等式，再将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）①∵， ∴，整理，可得①， ∵， ∴， ∴②， 由①、②组成二元一次方程组， 解得； ②∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 9．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 10．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（    ）；②（    ）；③（    ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键． （1）根据“方程数对”定义分别判断即可； （2）根据“方程数对”定义计算即可； （3）根据“方程数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为， 方程无解， ∴①不是关于的分式方程的“方程数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ②是关于的分式方程的“方程数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③不是关于的分式方程的“方程数对”； 故①×；②√；③×； （2）解：数对是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得． ∵可化为 ∴， 解得：． 方程有整数解， 整数，即 又，， ．． 压轴满分题三、分式方程的实际综合应用 11．（2025·四川巴中·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 【答案】走路线1到达B地需要小时 【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设走路线1到达B地需要，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设走路线1到达B地需要，10分钟小时， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：走路线1到达B地需要小时． 12．（2025·湖南衡阳·一模）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植1亩甲作物所需学生比种植1亩乙作物所需学生多1人，且25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过44人，最多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生； (2)最多种植甲作物4亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，根据“25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等”列分式方程求解并检验即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过44人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名， 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则（名） 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生； （2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得： 解得， 答：最多种植甲作物4亩． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两个工程队分别接到千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天． 乙工程队 方案：计划千米按每天施工千米完成，剩下的千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要天； (2)乙工程队应采取方案，理由见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天列出方程求解即可． （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要天； （2）解：乙工程队应采取方案，理由如下： 根据题意得： ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取方案． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 【详解】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） （2）①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元）    选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 15．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①，；② (2) (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． （1）①用“总产量面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）解：根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）解：根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当且a为整数（）， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 压轴满分题四、一次函数与几何综合 16．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若直线与x轴交于点C，点P为直线的点，且的面积为2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，求出，设，则，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 17．（2025·四川宜宾·一模）如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． (1)请说明：入射光线必过点； (2)求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； (3)一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 【答案】(1)见解析 (2) (3)入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光，见解析，将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光 【分析】本题主要涉及一次函数的性质、直线与线段的位置关系以及光的反射原理． （1）通过对一次函数表达式的变形可证明直线过定点； （2）求出直线经过线段两个端点时k的值，从而确定k的取值范围； （3）要根据光的反射规律，找出反射光线与感光带的关系，进而求解k的取值 范围或平移距离． 【详解】（1）解：当时，； ∴入射光线必过点 （2）解：将代入得：； 将代入得：； ∴的取值范围是． （3）解：入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光． 理由：入射光线照射到镜面上点时，根据入射角和反射角的关系可知反射后的光线与轴的交点为，即，而的坐标为，所以不能使感光带发光． 将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光． 18．（24-25八年级下·四川简阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． (1)填空：________； (2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积； (3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可； （2）设，则，求出，根据四边形是平行四边形，可得出，求出x的值即可求解； （3）分类讨论，当D在y轴的左侧和右侧，根据折叠的性质、等角对等边等可得出，构建方程求解即可． 【详解】（1）解∶对于， 当时，； 当时，，解得， ∴，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：5； （2）解：如图， 设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的面积为； （3）解：当D在轴左侧时，如图， ， ∵翻折， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； ∴D的坐标为或； 当D在y轴的右侧，如图， 同理， 设，则， ∴， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上，D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 19．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，矩形的性质，坐标与图形，函数解析式的确定等，理解题意，根据题意作出相应图象求解是解题关键． （1）根据的坐标即可求得的坐标，根据函数图象可知：当时，直线经过点，将平移个单位后得到，令，即可得出的坐标，进而求得的坐标，即可求解． （2）先求得的坐标为，则，即可得出，当直线经过点时，直线交轴于点，进而求得平移后的直线的解析式为，得出点的坐标为，即可得出 （3）过点作，过点作．得直线的解析式为，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点坐标为，四边形是矩形，边在轴上， ∴，则， 由函数图象可知：当时，直线经过点， 沿轴的负方向平移个单位后与矩形相交于点， ∵沿x轴的负方向平移个单位后直线的解析式是：， ∴当时，， ∴点的坐标为． ∵， ∴； 故答案为：，． （2）解：令得：， 解得：， ∴点的坐标为． ∵点的坐标为． ∴， ∴当直线经过点时，； 如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点． ∵点的坐标为，点的坐标为． 设平移后的的解析式为， 将代入得：，解得． ∴平移后的直线的解析式为． 当时，得，解得． ∴点的坐标为． ∴； （3）∵矩形的面积； ∴当直线扫过矩形部分的面积为时，， 如图，过点作． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， ∴， ∴直线的解析式为． 将代入得：，解得， ∴点的坐标为． ∴， ∴； 即， 解得：． 20．（2025·四川简阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方， 又∵， ∴由图象可知． 故答案为：； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ，， 四边形的面积 ． 压轴满分题五、一次函数的实际综合应用 21．（2025·四川内江·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】(1) (2)70或80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）令（1）中，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，代入，， 则． 解得 ． （2）解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 22．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 【答案】(1)，；， (2)当，甲合算 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出、与x之间的关系式； （2）求出当时x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，； ，． （2）解： 当， 解得：， ∴当时，选择甲公司合算． 23．（2025·山西长治·模拟预测）如图，小区计划在1号楼、2号楼和3号楼之间安装一个饮水机，方便住户打水，三栋楼的位置如图所示，经调查，1号楼每天有20户打水，2号楼每天有50户打水，3号楼每天有a户打水，设饮水机距1号楼x米，当将饮水机建在1号楼和2号楼之间时，所有需要打水的住户到饮水机的总距离（米）与（米）之间满足的关系式为． (1)求a的值； (2)当饮水机在1号楼和3号楼之间时，若要每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小，通过计算说明饮水机所安装的位置． 【答案】(1)的值为； (2)当饮水机安装在2号楼时，每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的增减性是本题的关键． （1）分别用含有x的代数式分别将2号楼、3号楼离饮水机的距离表示出来，根据“1号楼离饮水机的距离号楼打水的户数号楼离饮水机的距离号楼打水的户数号楼离饮水机的距离号楼打水的户数”列关于a的一元一次方程并求解即可； （2）分别求出当饮水机在1号楼和2号楼之间、在2号楼和3号楼之间时y与x的关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，分别确定当x为何值时y值最小，比较两个y的最小值即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，得2号楼距离饮水机米，3号楼距离饮水机米， 则， 解得， 的值为； （2）解：当饮水机在1号楼和2号楼之间时，， ， 随x的增大而减小， ， 当时，y值最小，； 当饮水机在2号楼和3号楼之间时，， ， 随x的减小而减小， ， 当时，y值最小，， 综上，当饮水机安装在2号楼时，每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小． 24．（2025·四川简阳·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【答案】(1)42 (2)100 (3)乙车在该区间测速路段超速了 【分析】（1）由题意可得：甲车的平均速度为105千米/小时,行驶的时间为小时,据此可求出行驶的路程m； （2）先利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而可求得C点的坐标为，由（1）得，由此可得直线经过，再利用待定系数法求得直线的解析式为，由此可得； （3）由可得时，，进而可得乙车在该路段上的总用时间，再求出乙车的平均速度，然后与120作比较即可得解． 【详解】（1）解：（1）由题意可得，当时，． （2）解：设直线的解析式为：， 由题意可得，它经过点，代入可得， ∴所以直线的解析式为：， ∴点横坐标， 当时，， ∴点的坐标为． 由（1）可得，， ∴直线经过点． 设直线的解析式为：， 则解得， ∴， ∴． （3）解：当时，， 解得， ∴乙车在该路段上的总用时为（小时）， 乙车的平均速度为：， ∴乙车在该区间测速路段超速了． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 25．（2025·山西晋城·二模）项目化学习 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关问题． 【项目素材】 素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度（米）与水平距离（米）的部分数据如下： 水平距离/米 0 6 18 30 36 飞行高度米 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离（米）与飞行时间（秒）的部分数据如下： 飞行时间/秒 0 1 1.5 2 2.5 水平距离/米 0 15 22.5 30 37.5 素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，米，米．（参考数据：，，） 【解决问题】 (1)求与之间的函数关系式． (2)当球的飞行时间为秒时，求球的飞行高度． (3)若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 【答案】(1) (2)16米 (3)球不能落在点处的球筐中，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解直角三角形的应用，掌握用待定系数法函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）根据由素材三，先用待定系数法求出与的函数关系到式，然后把代入，求出x值，再把将代入与之间的函数关系式握，求出h值即可； （3）先解，求出（米）．从而求得（米）．然后由由（2）得当时，，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． 将代入，得 解得 与之间的函数关系式为． （2）解：由素材三，可得与是正比例函数关系，设． 将代入，得． ． 当时，． 将代入，得． 当球的飞行时间为秒时，球的飞行高度为16米． （3）解：球不能落在点处的球筐中． 理由：在中，（米）， （米）． （米）． 由（2）得当时，． ， 球不能落在点处的球筐中． 压轴满分题六、反比例函数动点问题 26．（2025·四川宜宾·二模）如图，已知反比例函数与一次函数分别交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是y轴上一动点，且满足，结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）由，两点在反比例函数的图象上，可得反比例函数的解析式为，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）如图，记直线：与轴的交点为，求解，可得，当时，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴． ∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：如图，记直线：与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， 解得：或， ∴当时，， ∵不重合， ∴， 综上：且. 27．（2025·河南周口·一模）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 28．（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集； (3)在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，难度适中．利用数形结合是解题的关键． （1）先将点代入，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围即可； （3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由直线的解析式可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，结合函数图象及，可知在的右边，进而求出点纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：直线过点， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：， ， 在点右边，即时，直线在双曲线上方， 所以不等式的解集是； （3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则． 直线的解析式为， 直线的解析式为． 由，解得， 点的坐标为； ，且点在点右边， 点纵坐标的取值范围是． 29．（2025·广东广州·一模）如图，中，，，其中，．    (1)直接写出线段的中点的坐标； (2)反比例函数的图象过点，与交于点，求的值； (3)点为（2）中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用数形结合思想解题． （1）先求出B的坐标，再用中点坐标公式求解即可； （2）将代入即可的解； （3）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 又， ． ， 点． 又∵线段的中点是点，， ∴； （2）解：将代入，得． （3）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 30．（2025·山东日照·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作． ① （用含m，n的代数式表示）； ②若，当与相切时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意得，由矩形的性质结合轴，求出，再求出，即可证明； （2）①由（1）得，即可求出k的值；②根据题意，设中点为，则，根据，可得当与相切时，切点为T，则，求出，求出，建立方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，且轴， ∴轴， ∵点B，D是直线上，点B，D的横坐标分别为m，n（）， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：①由（1）得， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴； ②根据题意， 设中点为，则， ∵， ∴当与相切时，切点为T，则， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数与几何的综合，一次函数，切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 压轴满分题七、反比例函数存在性问题 31．（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或或 【分析】题目主要考查反比例函数、解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出图象，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得，， ∴， ∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形， ∴设， ∴当时， ， ∴， ∴点M的坐标为或； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上可得：点M的坐标为或或或 ． 32．（2025·吉林长春·一模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，求反比例函数解析式等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）设，则根据，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． 33．（24-25八年级下·四川资阳·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图像找到一次函数的图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 反比例函数表达式为， 在中，当时，，， ∴ 把，代入，得， ， 一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图像在反比例函数图像上方， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：在中，当时，则得，， 点的坐标为， ， ， 设，则，得 ∴， ， 解得：或， 故或． 34．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，直线与双曲线式与的图像相交于两点． (1)求点B的坐标和直线解析式； (2)连接，己知点P在x轴上，且，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点C，在y轴上是否存在一点D，使的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由， 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先由点A坐标求出双曲线解析式，进而求出点B坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先求出的面积，进而得出的面积设即可求出即可得出结论 （3）作点C关于y轴的对称点，则，连接，CD，求出直线的解析式即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，，， ∴点，即， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点或； （3）解：存在， 如图，作点C关于y轴的对称点，则，连接，， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，最值的确定，利用数形结合思想解答是解题的关键． 35．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①存在，可使最小；②可使线段与的差最大． 【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，解直角三角形． （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）①首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标； ②求得直线的解析式后求得直线与x轴的交点坐标即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，，可设，， ∴，又， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即点C的坐标为； ①在x轴上存在点P，使得最小． 理由如下：由点可知它关于x轴的对称点为， 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使最小； ②在x轴上存在点Q，使得线段与的差最大．理由如下： 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使线段与的差最大． 压轴满分题八、平行四边形的动点问题 36．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，已知直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，直线与y轴交于点C，直线与直线的交点为E，且点E的横坐标为2． (1)求实数b的值和点A的坐标； (2)设点为x轴上的动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线于点M、N，若以点B、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为5或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象点的坐标特征、待定系数法、平行四边形的判定等知识．用含a的式子表示出的长是解题的关键． （1）将点E的横坐标2代入求出点E的坐标，再代入中可求出b的值，然后令解之即可得出A点坐标； （2）由题可知，，只需再求出当时的a值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E在直线上，且点E的横坐标为2， 则当时，， ∴点E的坐标为， ∵点E在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，有， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：如图所示， 当时，，， ∴， 当时，， ∴． ∵， ∴当时，以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形， 此时， 解得：或． ∴当以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，a的值为5或． 37．（23-24八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形中，，，，． (1)如图1，求长． (2)如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． (3)如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果； （2）过点D作，设，由勾股定理列出方程求解即可得出结论； （3）分为当点Q在线段上时及当点Q在线段上时两种情况进行讨论，再利用平行四边形的判定列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图2，过点D作，设， ∴， ∵的面积为9，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴ 解得：， 当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 综上所述：或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② (3)的面积不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）①先求直线表达式，根据中心对称可求Q坐标；②利用边界值计算即可，当Q在边上时求m的值，当Q在边上时求m的值，即可得出m的范围； （3）的面积是否发生变化可以看底和高是否变化，其中底是是定值，因为Q所在直线与平行，根据平行线之间是等距的，所以高是定值，所以面积不发生变化，再根据题干条件求出高即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线函数表达式为：，将D，E代入可得出： ， 解得∶ ∴直线的函数表达式为． （2）①设解析式为，将、坐标代入得 ， 解得： ∴解析式为， ∵P在线段上，P的横坐标为m， ∴， ∵B、Q关于点P中心对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ②当Q在边上时，此时，即， ∴， 当Q在边上时，此时点Q在直线上， ∴， 解得， ∵不包含边界， ∴ （3）的面积不变，的面积为6． 理由如下： ∵，， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴， ．∵， ∴点Q所在直线l的解析式为：， 设l与x轴交于点K，则， ∴， 由(2)知解析式为：， ∴， 过A作于点G，作于点H，则四边形是矩形， 由题易知，为等腰直角三角形， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、求一次函数的交点坐标、平行四边形的性质以及两点之间的距离，中心对称等等基础知识，掌握相关知识是解题的关键． 39．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点． (1)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；点的坐标为 (2) (3)，， ． 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的确定以及一次函数和平行四边形的判定的综合运用． （1）利用待定系数法求出直线的表达式． （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与x轴，y轴分别相交于点、点， ∴， 解得，， 即：直线的表达式为． 由中点坐标公式得，，即； （2）解：如图1， ∵，）， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F，设， ∴，， ∴， ∴． （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴，， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得，， ∴直线的表达式可设为为， 当时，， ∴， 设， ∴①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴ ， 故符合条件的点的坐标为， ． 40．（23-24八年级下·江西吉安·期末）在中，，，点为边上的动点（点不与点点、重合），连接，过点作交直线于点． (1)观察发现： 如图①，当点是边的中点时， ， （填“，，”），试说明理由；    (2)探究迁移： 如图②，当点是边上任意点时，此时（1）中的结论还成立吗？数学小组对此进行了讨论，发现和第（1）问方法类似，请你说明理由．    (3)拓展应用： 在点运动过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)； ； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键． （1）根据题意可得是等腰三角形，再证明即可得证结论； （2）过点作交于点，可得，再结合平行四边形的性质可得，然后得出结论即可； （3）由（2）知，，得出，再由勾股定理可得，然后得出结论即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 点为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：=，=； （2）成立，理由如下： 过点作交于点，   ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 压轴满分题九、四边形中的翻折问题 41．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，，，、分别为、边上的两点，把四边形沿翻折得到四边形，点恰好在线段上． (1)若，求的长． (2)连结，．问：当取何值时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)当 时，四边形为菱形 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据折叠的性质可得，，再根据矩形的性质可得，，，从而得到，由勾股定理可得，从而得到，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，再根据菱形的性质可设，则，，由勾股定理可得，，再由，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：，， 在矩形中，，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， 由折叠可知，， 即的长为1． （2）当时，四边形为菱形，理由如下： 如图，连接，， 根据题意得：，， 四边形为菱形， ， 设， 则，， ，， ， ， 解得：，经检验：是方程的解， 即， 当 时，四边形为菱形． 42．（2024·贵州六盘水·一模）如图，已知矩形纸片的长，宽分别是边上的点，．把矩形纸片沿着直线翻折，点的对应点分别为，直线交射线于点交于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质及矩形的性质即可得证； （2）设与交于点，连接，，根据折叠的性质及矩形的性质证明， ，利用平行线的性质即可得证； （3）分情况讨论：如图①，当点在上时，连接，，设菱形的边长为，则；如图②，当点在的延长线上时，连接，，过点作于点，利用勾股定理，正方形的性质，菱形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：由翻折的性质可得． 四边形为矩形， ， ， ， ． ， ∴ （2）证明：设与交于点，连接，，如答图①． 由翻折的性质可得， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （3）解：如答图②，当点在上时，连接．设菱形的边长为，则 ， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去）或， 此时点与点重合，点与点重合，即菱形为正方形， 如答图③，当点在的延长线上时，连接，过点作于点． 设菱形的边长为，则 ， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， ， ． 综上所述，的值为1或． 【点睛】本题考查相似形的综合应用，主要考查矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 43．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点，，为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设的面积为，点运动的时间为秒，请用含的式子表示的面积，并直接写出的取值范围； (3)在平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，函数解析式，坐标与图形，折叠问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，由翻折可得，，进而勾股定理即可求解； （2）在，设，则，勾股定理求得，当时，点在线段上，，当时，点在线段的延长线上，，根据三角形面积公式即可求解； （3）设点，根据平行四边形的性质分三种情况分析：当线段为对角线时，当线段为对角线时，当线段为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：矩形，，， ， 由翻折可得，， ∴， 点的坐标为； （2）∵， 在，， 设，则， ∴， 解得， ， 动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，点运动的时间为， ， 当时，点在线段上，， ∴， 当时，点在线段的延长线上，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ，，， 设点， 当线段为对角线时， ，， 解得：， ∴； 当线段为对角线时， ，， 解得：， ∴； 当线段为对角线时， ，， 解得：， ∴； 综上得：或或 ． 44．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． （2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边、于点、，若，，求折痕的长． （3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点、，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可证平行四边形是菱形； （2）连接，，求解，证明垂直平分，设，则，由勾股定理得：，可得，结合菱形的面积公式可得答案； （3）如图3，过点A作，交延长线于点N，证明，，求解，设，则，再利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）如图2，连接，， ∵，， ∴， ∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴垂直平分， 由（1）得：四边形是菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作，交延长线于点N， ∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 45．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）阅读下面材料． 小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点A逆时针旋转90°得到，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： (1)写出小炎的推理过程； (2)如图3，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边上，，若、都不是直角，则当与满足于__________关系时，仍有； (3)如图4，在中，，，点D、E均在边BC上，且，若，，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图所示，将绕着点A逆时针旋转90°得到，先证明三点共线，然后推出，即可利用证明，得到，由此即可证明； （2）当，结论成立，如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到，则，，先证明三点共线，再证明，即可利用证明得到，由此即可证明； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到，则，，证明，即可利用证明，得到，在中，由勾股定理得，则． 【详解】（1）解：如图所示，将绕着点A逆时针旋转90°得到， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即三点共线， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当时，仍有，理由如下： 如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴， ∵， ∴，即三点共线， ∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 压轴满分题十、四边形中的旋转问题 46．（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据旋转性质得，结合矩形性质得，再进行角的等量代换，即可作答． （2）由矩形性质得出，．结合旋转性质得，，证明，即可作答． （3）依题意，设，，，运用勾股定理得，以及，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，作于点M， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 由旋转可知，， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴H为的中点． （3）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转性质，矩形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 47．（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交、（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是． (1)继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； (2)再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在，的延长线上时，如图3连，若，求的面积． 【答案】(1)小芳结论成立，见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质得到是等边三角形，再证明即可得出结论； （2）连接，作于点M，根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：小芳结论成立：． 理由如下：连接， 四边形是菱形，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，作于点M． 四边形是菱形，， 是等边三角形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 在等边中，， ， ． 48．（23-24八年级下·四川内江·期末）在数学活动课上，李老师以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)李老师让同学们将两张完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①，试判断的形状，并说明理由； (2)李老师让同学们继续深入探究，在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C顺时针旋转一定的角度，当点D恰好落在对角线上时，与相交于点M，连接，若，，如图②，求的长． 【答案】(1)等腰直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）先根据证明，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可证明； （2）可得垂直平分，则，在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形；理由如下： 矩形和矩形是完全相同的矩形， ，，， ， ， ， ， ， 又 是等腰直角三角形． （2）解：由（1）得，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，旋转的性质，线段的垂直平分线的性质等知识点． 49．（24-25八年级下·山西长治·阶段练习）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是等边三角形．理由见解析． 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；当与垂直时，，重叠部分的面积正方形的面积；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）结论：是等边三角形．证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，连接，，由题意得、、三点共线，、、三点共线， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴此时重叠部分的面积的面积正方形的面积， 如图，当与垂直时，，连接、， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∴重叠部分的面积正方形的面积； 一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为． 理由：如图，设交于点，交于点，过点作于点，于点．则， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 同上可得， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：如图中，结论：是等边三角形．理由： 过点作，连接、， ∵是正方形的中心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 50．（2025·河南·一模）小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①，② (3)的长为或 【分析】（1）结合菱形的对角线互相平分且垂直，得，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）①结合矩形的对角线互相平分且相等，得，再根据勾股定理列式计算，即可得．②分别过点作的延长线，运用平行四边形的性质得，，再证明，得，，设，分别运用勾股定理列式，再整理得，即可作答． （3）运用勾股逆定理证明，再由（2）得，则，因为旋转，所以，因为，得，然后证明四边形是矩形，分别运用勾股定理算出两种情况的的长，即可作答． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为， ∴，， 则， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：①在矩形中，，， ∴ 则 ∴， ∵， ∴， ∴； ②分别过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别过点作的延长线， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，则， 在中，则， 在中，则， 则， （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 则（负值已舍去）， 则， ∵旋转， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∴在中，， ∴在中， ∴， 综上：当时， 的长为或． 【点睛】本题考查了旋转性质，平行线的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 压轴满分题十一、平行四边形性质和判定的应用 51．（23-24八年级下·四川乐山·期中）如图，点，，，在一条直线上，，线段与线段关于点对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图中画出点； (2)在图中画线段，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】连接交于点，点即为所求； 连接，，延长交于点，连接，交于点，连接，延长交于点，交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）如图中，点即为所求， （2）如图中，线段即为所求 【点睛】本题考查作图中的无刻度作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 52．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 【答案】(1)图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，理由见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）由为的中点，可得，再由条件可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得的面积和的面积都等于的面积为4，从而可得四边形的面积为16． 【详解】（1）解：图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵D为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积是16． 53．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标； （2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案； （3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ， 当时，，解得， ， 将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段， ； （2）解：线段平移得到线段， ，且； 四边形是平行四边形， ， 延长交轴于点，如图所示： 设， 将代入得， ， 当时，，解得， ， ， ， ； （3）解：连接相交于点，如图所示： 设， 将代入得，解得：， ， 联立，解得， 点坐标为， 将代入直线，解得． 【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 54．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）（1）如图1，在5×5的网格中，ABC的三个顶点都在格点上请在图1中画出一个以AB为边的平行四边形ABDE，顶点D，E在格点上且满足； （2）如图2，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，若CF⊥BD于点F，请用无刻度尺在图2中作出符合题意的点F；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图3，若线段由线段AB绕点O逆时针旋转得到，请用无刻度尺和圆规在图3中作出旋转中心O（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）同底等高做个平行四边形即可，如图1，把A、B点向上平移2个单位得到E、D即可； （2）根据，可做平行四边形得出平行的关系，如图2，延长AE交BC于M，连接AC交BD于O点，连接MO并延长交AD于N，然后连接CN交BD于F； （3）找到对应点并连接，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，如图3，作AA′和BB′的垂直平分线，两垂直平分线的交点为O点． 【详解】解：（1）如图1，四边形ABDE为所作； （2）如图2，点F为所作； （3）如图3，点O为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换以及平行四边形的判定与性质，正确理解题意并能将作图联系在一起是做题关键． 55．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）平行四边形，等边三角形，；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）根据证明过程即可求解； （2）①作且，连接，可得四边形是平行四边形，进而得，，， 证即可；②作，可推出；设，则；结合，可得，进一步可得，根据即可求解； （3）作且，连接，作，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形；根据可得，结合可得，即可求解 【详解】解：（1）作且，则四边形是平行四边形； ∵，， ∴是等边三角形； 由三角形三边关系可知，， 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，， ∴； 故答案为：平行四边形，等边三角形，； （2）①作且，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ②作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）作且，连接，作，如图所示： 则四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平移、平行四边形判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，根据平移作出辅助线，转移角度和线段是解题关键． 压轴满分题十二、根据矩形形的性质与判定求角度、长度、面积 56．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形． （1）连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 【详解】（1）连接，如图， ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴； （2）∵四边形为矩形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， 即线段的长为； 57．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图1，平行四边形，E、F为中点，连接，交点分别为G、H． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若时，请直接写出图中所有直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，再由E、F为中点得到，由此即可证明四边形都是平行四边形，则，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据题意可证四边形是矩形，则，即可得到都是直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F为中点， ∴， ∴， ∴四边形都是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴都是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟知两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 58．（2025·浙江绍兴·一模）已知，，为了得到矩形，甲、乙两位同学的作图方法如下． 甲：如图1，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，且点与位于的异侧，连接，，得四边形． 乙：如图2，分别以点A，为圆心，大于的相同长为半径画弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，连接，，得四边形． 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由． 【答案】甲、乙两位同学的作法都正确，理由见解析 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、矩形的判定等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据平行四边形的判定方法、矩形的判定方法判断并证明即可． 【详解】解：当甲、乙两位同学的作法都正确． 甲作法正确的理由如下： 由图1作法可知：，， 又∵点，在异侧， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形． 乙作法正确的理由如下： 由图2作法可知，点是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形． 59．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 60．（23-24八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，有如下定义：若图形在一个矩形的内部（包含边界）．当矩形有一条边平行于坐标轴且面积最小时，则称矩形是图形的“精致矩形”，如图1，矩形即是四边形的“精致矩形”． (1)如图2，已知点，，则的“精致矩形”面积为_____； (2)在（1）的条件下，直线与轴，轴分别交于，两点，在直线上存在一点，当的“精致矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，，，在旋转过程中、当为直角三角形时，求点的坐标，并直接写出的精致矩形”面积． 【答案】(1) (2) (3)，的精致矩形”面积为或，的精致矩形”面积为 【分析】（1）分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，交于点，则四边形是的“精致矩形”，进而得出，即可得出的“精致矩形”面积； （2）待定系数法求得直线的解析式为，根据新定义得出的纵坐标为，代入解析式，即可求解； （3）先得出，根据旋转的性质分,两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，交于点，则四边形是的“精致矩形” ∵，， ∴ ∴ ∴的“精致矩形”面积为， 故答案为：． （2）解：设直线的解析式为，将，，代入得， 解得： ∴ ∵ 当时，，当时， ∴，， ∵的“精致矩形”为正方形， ∴ ∴ 解得： ∴ （3）∵ 当时，，当时， ∴，， ∴ 如图所示，取的中点，连接 ∴ ∴ ∴三角形是等边三角形， ∴ 如图所示，当时，则共线， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴点在轴上， ∴ ∴， 过点作轴于点，连接 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴的精致矩形”面积为； 如图所示，当时，过点作轴于点， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的精致矩形”面积为， 综上所述， ，的精致矩形”面积为或，的精致矩形”面积为． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，一次函数交点问题，分类讨论，理解新定义，是解题的关键． 压轴满分题十三、根据菱形的性质与判定求角度、长度、面积 61．（2024·吉林长春·模拟预测）【感知】如图1，在矩形中，P是上的点，沿折叠B点的对应点是M点，延长交直线于点E．求证：． 【应用】如图2，Q是上的点，； 沿折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则的值是 ． 【拓展】如图3，Q是上的点，，，沿折叠D点的对应点是N点，若，的最小值是1，则的长是 ． ​ 【答案】【感知】见解析；【应用】；【拓展】 【分析】感知：利用矩形的性质和折叠的性质，结合等腰三角形的判定可证； 应用：设，先证得，根据全等三角形的性质得到，进而证得四边形是菱形，得到，，求得，在中，，，进而得到，可求； 拓展：分两种情况，当点M在点N的左侧时，A，M，N，C共线时，的值最小；当点M在点N的右侧时，A，M，N，C共线时，的值最小，分别求出最小值，并注意． 【详解】感知：证明：如图1中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∴， ∴； 应用：解：如图2， M、N互相重合，设， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴； 故答案为：； 拓展：解：如图3中，当点M在点N的左侧时，A，M，N，C共线时，的值最小． 此时在中，，，， ∴． 如图4中，当点M在点N的右侧时，A，M，N，C共线时，的值最小． 此时在中，，，， ∴， ∴＝7， ∵，即， ∴不符合题意， ∴不符合题意，舍去， 综上所述，满足条件的的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一道矩形与折叠问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等，灵活熟练运用已学知识，作出辅助线是解题的关键． 62．（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图，在中，，，点D为边上一点，连接，过点B作交的延长线于点E．    (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，延长到点F使，分别连接交于点G．求证：． (3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连接，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）设，则，利用三角形内角和的性质求得，再利用直角三角形的性质求得，即可求解； （2）延长到，使得，连接，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质得到，再利用三角形中位线的性质求解即可； （3）作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，得到点在过点且垂直于的直线上运动，由三角形三边关系定理得到，从而得到，，共线时，，此时最小，画出图形后通过说明四边形为菱形，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 设，则 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴，解得 ∴ ∴， ∴， （2）证明：延长到，使得，连接，如下图：    ∵， ∴ ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴； （3），理由如下： 作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，    ∵， ∴ ∴ ∵将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点在过点且垂直于的直线上运动， 由题意可得：， ∴ ∴当，，共线时，，此时最小， 如图，当，，共线时，    ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵与关于对称， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴， ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，菱形判定与性子，充分利用旋转的性质是解题的关键． 63．（2025·山东济宁·二模）【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （）如图①，折痕的端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （）点恰好落在边上． 如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（）①；②；（）补图见解析，证明见解析；（）或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 64．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在中，求作菱形，使其面积等于的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边，，，上．    小明的作法 ①如图2，连接，相交于点O． ②过点O作直线，分别交，于点F，H． ③过点O作l的垂线，分别交，于点E，G． ④连接，则四边形为所求作的菱形． (1)小明所作的四边形是菱形吗？为什么？ (2)四边形的面积等于的面积的一半吗？请说明理由． 【答案】(1)小明所作的四边形是菱形，理由见解析 (2)菱形的面积等于的面积的一半，理由见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，则，再证明得到，同理可得，于是可判断四边形是平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形； （2）先证明四边形为平行四边形得到，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式得到菱形的面积＝平行四边形的面积的一半． 【详解】（1）解：小明所作的四边形是菱形． 理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）四边形的面积等于的面积的一半． 理由如下： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵菱形的面积，的面积， ∴菱形的面积等于的面积的一半． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂图形拆解成基本图形，逐步操作． 65．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）①②；（2）①见详解②见详解（3）或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质等； （1）①由折叠的性质得，即可求解； ②连接，设，由矩形的性质结合折叠的性质，， 由勾股定理得，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线交于，交于，即可求解； ②由折叠的性质及等腰三角形的性质得，即可得证； （3）当时，设，由勾股定理得，即可求解；过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； 掌握线段垂直平分线的尺规作图作法，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能以等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关． 【详解】解：（1）①， ， 由折叠得：， 故答案为：； ②连接， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 由折叠得： ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （2） ①如图， 为所求作； ②如图，补全图如下： 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）当时， 设， 由折叠得：， ， ， ， ， 解得：； 当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ， ， 解得：， ； 综上所述：的长为或． 压轴满分题十四、根据正方形形的性质与判定求角度、长度、面积 66．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由见解析 【分析】(1)连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； (2)作正方形的对角线，即可画出． 【详解】（1）解：如图，四边形ABCD为所求； 连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； （2）解：如图，∠BAC即为所求． 理由如下： ∵四个全等的矩形被对角线分成的直角三角形全等， ∴． ∴四边形ABCD是菱形． 又∵(SAS)， ∴． ∵， ∴． ∴四边形ABCD是正方形，连接AC． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各特殊平行四边形的性质与判定是解决本题的关键． 67．（23-24八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在中，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是边上一点，另两条直角边分别交于点E、F．    (1)如图1，若，求证：四边形是矩形． (2)若点D在的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明．（尝试作辅助线） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）作于于，可证四边形AMDN是正方形，即；进而证明可得，再运用勾股定理可得，再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是矩形． （2）解：作于于，    ， 点在的角平分线上， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、直角三角形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形角平分线的性质等知识点，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 68．（23-24八年级下·广西百色·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；理由见解析 (3)45 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 69．（24-25八年级下·山西长治·阶段练习）综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）,  （2）①  ②或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明，即可得到结论； （2）①连接交于，根据勾股定理求出的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示，然后根据对称得到四边形是正方形，即可得到解题即可；②作于， 连接，表示，长，利用勾股定理求出长，然后根据求出x值即可． 【详解】（1），， ∵， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 即； （2）解：①连接交于， 则， ， ， ，且，， ， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴故答案为：； ②过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， 连接，由直角三角形性质得， ， ， ， ， 则， ， ， 解得或 或 ． 70．（2024·四川宜宾·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①，②，④，③ (2)证明见解析 (3)①2 ②结论仍成立，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明； （3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形， 设， ∴，，，， ∴， ， ∴； 故答案为：2； ②成立，证明如下： 由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， 设，， ∴，，，， ∴， ， ∴仍成立． 【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键． 压轴满分题十五、四边形其他综合问题 71．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)或或是等腰直角三角形 【分析】（1）根据垂直的定义得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，于是得到； （2）由为中点，得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形． 理由如下： 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ，为中点， ， 四边形是菱形； （3）解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形， 理由：由（2）知，四边形是菱形， ，， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 72．（23-24八年级下·吉林长春·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．    (1)写出你所学过的四边形中是勾股四边形的图形的名称_____；（在平行四边形，矩形，菱形中选择） (2)如图1，已知格点（小正方形的顶点），请你画出以上述格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；并写出M点的坐标；连接； (3)如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，，求证：，即四边形是勾股四边形． 【答案】(1)矩形； (2)图见解析，或； (3)见解析． 【分析】（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形． （2）根据点的坐标描点即可，根据勾股四边形的定义，画出点，即可得出结论． （3）旋转的性质，证明是等边三角形，进而得到为直角三角形，勾股定理进行证明即可． 【详解】（1）解：矩形．理由是矩形的对角线等于邻边的平方和． 故答案为：矩形； （2）如图所示．或；    （3）证明：连接，    ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即四边形是勾股四边形． 【点睛】本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 73．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)证明见解析，面积为 (4) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果． （4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形， 一定是垂美四边形的是菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积的面积的面积 ∴； 故答案为：； （3）证明：连接，，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形为垂美四边形； 四边形是正方形， ，， ， ， 点、、在一条直线上， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ∵， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积是． （4）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴，即：， 解得：，则 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 74．（23-24八年级下·四川眉山·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用30°直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴，即， ∴最小值为 75．（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用． 【操作发现】 对折（），使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，小明发现四边形满足：，．查阅相关资料得知，象这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【类比探究】 借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小宛同学对“筝形”的性质和判定方法进行了探究． 请根据示例图形，对比表格内容完成相关问题． 四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行 四边形    是中心对称图形 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等 对角线互相平分． 菱形      ① 两组邻边分别相等 有一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ①____________；②______________________________； （2）证明筝形有关对角线的性质． 已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O． 求证：______________________________； 证明： （3）写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）： __________________________________________________________________． 【迁移应用】 （4）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，当四边形为筝形时，直接写出的度数．      【答案】（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形；对角线互相垂直且平分 （2），且平分；证明见解析 （3）若四边形的对角线互相垂直，且其中有一条对角线被另一条对角线平分，则这个四边形是筝形 （4）或 【分析】（1）根据菱形的性质进行解答即可； （2）结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可； （3）从筝形的对角线考虑，结合筝形定义，给出一个新的筝形判定方法即可； （4）分两种情况：①当，时；②当，时；分别进行求解即可． 【详解】（1）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①处为既是轴对称图形，又是中心对称图形； 菱形的对角线互相垂直且平分，故②处填对角线互相垂直且平分； 故答案为：既是轴对称图形，又是中心对称图形；对角线互相垂直且平分； （2）求证：，且平分； 证明：在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，且平分；    （3）由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 可得出“筝形”的一个判定方法为：若四边形的对角线互相垂直，且其中有一条对角线被另一条对角线平分，则这个四边形是筝形； （4）当四边形为筝形时， 分两种情况：①当，时， 如图，连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，时， 如图，连接，    在和中， ∵， ∴， ∴。 ∴． 综上，当四边形为筝形时，的度数为或． 【点睛】本题考查了实践应用，新定义四边形问题，菱形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键． 压轴满分题十六、一次函数与反比例函数的其他综合应用 76．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若，设点D的坐标为，求线段BC的长． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）把点代入中求出得到反比例函数解析式； （2）先利用待定系数法求直线的解析式为，再表示出，，利用三角形面积公式得到，解得，则，然后计算出点坐标，从而得到的长． 【详解】（1）解：把代入得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：作，延长EA与x轴交于点F， ， 的坐标为 ，解得， ， 设直线OB的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线OB的解析式为， 当时，，解得， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式为常数，，然后把一组对应值代入求出得到反比例函数解析式． 77．（2024·广东珠海·一模）如图1．直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．图2将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E．    (1)求反比例函数表达式； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查求反比例函数，平行四边形的性质，反比例函数与一次函数的综合应用： （1）将点代入求出，再代入反比例函数求解即可得到答案； （2）求出点坐标，根据平移得到是平行四边形，得到点D的纵坐标，从而得到点C、D的坐标，代入反比例函数得到点E坐标即可得到答案； 【详解】（1）解：∵过点， ∴， ∵过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∵向右平移m个单位长度，得到对应线段， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴，， ∴， 当时， ，解得：， 即：， ∴． 78．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 【答案】(1)①5；② (2) 【分析】（1）①根据，，直线轴于点H，得出，，然后求出结果即可； ②设，则，求出，，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； （2）根据点，得出，，求出，得出，求出，得出，说明为定值，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，，直线轴于点H， ∴， ， ∴；    ②设，则， ，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点， ∴，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D， ∴把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵和变化时，的值始终不变， ∴为定值， ∴为定值， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数解析式中k的几何意义． 79．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)数的解析式为和点D的坐标为 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法等； （1）将点的坐标代入可求出，再将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解反比例函数解析式，联立两解析式，解方程组即可得答案； （2）根据图象，由上方的图象对应的函数值较大，即可求解； （3）由即可求解； （4）设，则有，求出，可得，即可求解； 熟练利用一次函数与反比例函数的交点进行求解不等式及面积是解题的关键． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的根， ， ； 故反比例函数的解析式为、点D的坐标为； （2）解：由图象得 当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，， ， ； （4）解：设， ， 轴， ， ， 解得：， ， ， ， 或， 当时， 解得：，， 经检验：，是此方程的根； 当时， 整理得：， 不存在； 当时， ； 当时， ； 的坐标为或． 80．（2024·四川成都·三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．    (1)求a的值及B的坐标； (2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答； （2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答； （3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围． 【详解】（1）解：代入，可得， 解得， ， 将代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 列方程， 解得，， 经检验，，是方程的解， 当时，， ； （2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，    当时，得，解得， 当时，得， ， ， ， 设， 故， ， ， ， 可得方程， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：列方程， 整理得， 当和，只有一个交点时，只有一个解， 此时， 即， 解得， 当时，方程为， 解得， 和的交点为， 如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，    故，，， 当时，可得，解得， ， ， ， ， ， ， ， 点M的横坐标为， 当时，可得， ， ， 将代入，可得，解得， 满足条件的k的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 找出方程中的最简公分母：，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果． 【详解】解： 根据题意，原分式方程无解， ①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，， 解得； ∴的值是1或2， 故选：D． 2．（2024·四川内江·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．    其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点作交于，交于，则为矩形，可证明，，，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长交于，与交于点，连接，，证明，，在同一直线上，过点作交与，可知，，，证明，进而可证，则为等腰直角三角形，得，可知，再利用平行线的性质结合，可得，可判断③正确；延长使得，可证，结合，可证，得，而，进而可得，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， 过点作交于，交于，则为矩形，    ∴，， 由轴对称可知，，则， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 由轴对称可知，，， 则， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 延长交于，与交于点，连接，， 由轴对称可知，，，， 又∵， ∴， ∴，，则， 又∵， ∴， ∴，，则 由轴对称可知，点与点关于对称，则，，    ∴ 又∵， ∴，即，，在同一直线上， 则， 过点作交与，可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， 由上可知，， ∴，故③正确； 延长使得，    又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 4．（2025·山西长治·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式. 根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可． 【详解】解：根据杠杆原理可得，， ， 是的反比例函数， 选项、不符合题意； ，， 选项不符合题意；选项符合题意； 故选：． 5．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意并掌握相关知识．过点作于点，根据题意可得：此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等），当为的中点时，即为所求，先求出，，进而求出，再将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点，则直线的解析式为，与反比例函数联立可得，然后利用判别式求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当的面积为定值时，相应的点有且只有个， 此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等）， 由图可知，当为的中点时，即为所求， 联立：， 解得：或， ，， 此时， 将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点， 直线的解析式为， 与反比例函数联立可得：， 整理得：， 反比例函数与直线只有一个交点， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：， ， ， 故选：B． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 【答案】1 【分析】本题综合考查不等式组的整数解问题及分式方程的解的情况，首先解不等式组，确定x的范围，找到恰好包含2个奇数解的条件，确定a的范围，解方程并确保解为非负数，同时排 除使分母为零的情况，得到a的限制条件，求两个条件的交集，得到所有满足条件的整数a，求和即可． 【详解】解：，整理得：， 则不等式组的解为， 不等式组有且只有2个奇数解， ， ， 对应的整数a有：，，0，1，2，3， ，解得：， ， ， ，即， ， 则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2， ， 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ． ①当时，随的增大而减小； ②点，在该函数图象上，若，则； ③若点在该图象上，则点必在该图象上； ④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是．    【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象上的点的特征，解题时要熟练掌握并能利用数形结合解题是关键．依据题意，根据所给函数图象，结合一次函数的图象与性质进行逐个判断即可得解． 【详解】解：由题意，根据图象可得，当时，y随x的增大而减小，故①正确． 由图象得，对称轴是直线，且图象上点离对称轴越近函数值越小． 又， ∴，即． 若时，则，此时不合题意； 若时，则， ∴． 若时，则，恒成立， 综上，，故②错误． 若点在该图象上， ∴． ∴或． 若， ∴，符合题意； 若， ∴，符合题意． ∴若点在该图象上，则点必在该图象上，故③正确． 由题意，∵，即为， ∴直线必过点． ∴方程都有解可以看作直线与函数的图象有交点． 结合图象，    ∴当时，直线与函数的图象有交点． ∴关于x的方程都有解，则b的取值范围是，故④正确． 故答案为：①③④． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等是解题关键． 根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ，即， 解得：； ②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， ， ∵四边形，，都为菱形， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 9．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．先根据角平分线的定义和平行四边形的性质推出，进而得到，再求出点运动到点的时间为，点运动到点的时间为，然后分两种情况讨论：当时，当时，根据列方程即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， 点运动到点的时间为，点运动到点的时间为， 当时，，，则，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，，，则，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，, 即， 解得：， 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或． 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·四川长治·期末）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： 3． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)． 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可解； （2）由可解； （3）将原式变形为，据此得出或，再根据分式有意义的条件，据此可得答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式， ②，不是和谐分式， ③，是和谐分式， ④，是和谐分式， 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解：原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， ∴或或1或， 又∵分式有意义时， ∴． 12．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中的值对应为点的横坐标，的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程的解和可以分别转化为点和．以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． (1)写出二元一次方程的任意一组解：________，并把它转化为点的坐标：________； (2)在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．根据此结论，在所给平面直角坐标系中分别画出二元一次方程的图象和二元一次方程的图象． (3)根据图象，得出二元一次方程的图象和二元一次方程的图象的交点坐标为________，由此可得二元一次方程组的解是________． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)见解析 (3)； 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），画一次函数图象. （1）计算出所对应的y的值即可得到方程的一组解，然后把它转化为点C的坐标； （2）利用描点法画出直线的图象和的图象即可； （3）利用画出的图象写出交点坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的函数图象的交点坐标求解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解可为，把它转化为点C的坐标为； （2）解：∵，是二元一次方程的解， ∴二元一次方程的图象经过，； ∵，是二元一次方程的解， ∴二元一次方程的图象经过，； 则直线的图象和的图象，如图所示： （3）解：根据图象，二元一次方程的图象和二元一次方程的图象的交点坐标为，由此可得二元一次方程组的解是：． 13．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）重庆市2023年体育中考将在3月底4月初进行，近日，某中学初三年级组织了一次体育中考模拟测试．现从该校初三年级男女生中各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 10名男生的成绩是：32，34，38，43，44，45，47，48，50，50 10名女生的成绩在C组中的数据是：43，44，44 男生、女生抽取学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 D组占比 男生 43.1 44.5 女生 43.1 44 (1)直接写出上表中，，的值； (2)根据以上数据，你认为该校初三年级男生还是女生的体育成绩更好？请写出一条理由． (3)若该校初三年级有男生、女生各200人参加了此次测试，估计参加此次测试成绩优秀（）的学生共有多少人? 【答案】(1)，， (2)男生的体育成绩比女生的好，理由见解析 (3)参加此次测试成绩优秀（）的学生约有180人 【分析】（1）根据女生10个这组数据中， C组的3人，求出a的值；根据男生数据中出现次数最多是50，D组人数的占比是，确定b和c的值； （2）根据男生的中位数比女生高，众数比女生高来判断； （3）取男生总人数乘男生在D组中所占的百分比与女生总人数乘女生在D组中所占的百分比的和，即可． 【详解】（1）∵在女生的10个数据中， A组人数：（人）， B组人数：（人）， C组人数：3人，占， ∴D组的人数：（人）， ∴女生10个数据从小到大排列，中位数落在C组的后两个数的平均数， 即； ∵男生的数据中出现次数最多是50， ∴它的众数为， ∵男生在D组中的人数为45，47，48，50，50共5个， ∴； （2）∵男生的中位数比女生的高，众数比女的高， ∴男生的体育成绩比女生的好； （3）∵该校初三年级有男生、女生各200人参加了此次测试， ∴参加这次测试成绩优秀（）的学生的人数为： （人）． 答：参加此次测试成绩优秀（）的学生约180人． 【点睛】本题主要考查了统计图表．熟练掌握扇形统计图和统计表中关键数据的互补性，中位数、众数的定义和确定，占比计算，根据平均数中位数众数占比作比较判断，根据样本占比估计总体数量，是解答问题的关键． 14．（24-25八年级下·四川简阳·阶段练习）探究：已知的面积为，是所在直线上的一点， (1)如图，当图1中的点与重合时，记，当图2中的点与点、点与均不重合时，记，当图3中的点在（或）的延长线上时，记，请比较和的大小______（用“”或“”连接）． (2)推广：面积为，、为两边、延长线上两点，连接、、、，求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由． (3)应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地，、分别平行于、，、交于点，其中，，，现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域，连接、、，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形区域的面积． (4)拓展：如图6，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)图4中阴影部分的面积为，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键． （1）平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h，由题， ；同理可得 （2）设平行四边形边上的高为h，边上的高为H，则，，故阴影部分的面积； （3）连接，由推广的结论得到、和，即可求解； （4）先证明四边形是平行四边形，同理可得四边形是平行四边形，根据，，设边上的高为，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：图1中,设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； 图2中,设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； 图3中,设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； ∴ 故答案为：． （2）阴影部分的面积为a，设平行四边形边上的高为h，边上的高为H， 则， ， 故阴影部分的面积； （3）连接，由推广的结论， 有，， ， ∴. （4）连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形，同理可得四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵，， 设边上的高为， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 15．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 【答案】（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7． 【分析】（1）由分析思路知，只要或，利用（或）从而可证明，进而得到结论； （2）由且得等腰三角形，得，从而判断①；延长至点M，使得，连接，先由证明，再由证明，即可判断②；由且，可得 ，从而，由此即可判断③；假设，则得，从而得，得到矛盾，从而可判断④，最后可得到结论； （3）①在上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得到与的数量关系； ②分两种情况考虑：P 在线段上；P 在线段延长线上；利用等腰三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）（或）；（或） 解：（2）①②③， ①∵，且 ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； ②如图，延长至点M，使得，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； ③∵且， ∴， 又， ∴，即③正确； 假设， 则； ∵平分，且， ∴， ∴， 则； ∵， ∴, ∴， 这与相交矛盾，故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③； 解：（3）①； 证明：在上截取，连接，如图； 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴； ②或7；理由如下： 当P 在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当 P 在延长线上时，延长使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴； 又，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，或 7． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（95题16个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式的规律性问题 1．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）（1）探究性问题：，，，则______； （2）试用上面规律，计算． 2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）阅读下面解题过程： “倒数法”就是通过对数或式取倒数来解题的方法，它主要应用于分式型的问题．对于某些分式问题，用常规方法求解比较困难，如果能根据分式的结构特征和内在规律，采用取倒数的方法进行求解，往往具有简洁明快的特点，使问题迎刃而解． 例如：已知，求的值． 解：由，可得，∴，∴， ∴， ∴ 请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 4．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）阅读两位同学的探究交流活动过程： a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ① b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： ② ③ ④ c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； d．小亮对第n个等式进行了证明． 解答下列问题： (1)第⑤个等式是_______； (2)第n个等式是_______； (3)请你证明第n个等式成立． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）素养·思维赋能 化归思想在分式的乘除运算中的体现 由本节典例2可知对于分子分母是多项式的分式的乘除运算，其中有一个很关键的过程是把分子分母进行因式分解，因式分解与整式的乘法运算又是方向相反的过程．请通过解决下面的问题再次体会三者之间的关系． 旧知回顾 （1）计算：__________． ___________． 归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含，的字母表示：______________；你又发现一个新的乘法公式 深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（  ） A． B． C． D． 学以致用 （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简． 压轴满分题二、分式的新定义问题 6．（23-24八年级下·山西长治·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 7．（23-24八年级下·四川内江·期中）（1）对于任意两个非零实数，定义新运算“*”如下：，例如：．若，求的值； （2）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，请你根据上述规定求出的值． 8．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定（其中a，b是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如：，． (1)填空：_________．（用含a，b的代数式表示） (2)若，且． ①求a，b的值； ②若，求m的值． 9．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 10．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（    ）；②（    ）；③（    ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程 有整数解，求整数的值． 压轴满分题三、分式方程的实际综合应用 11．（2025·四川巴中·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 12．（2025·湖南衡阳·一模）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植1亩甲作物所需学生比种植1亩乙作物所需学生多1人，且25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过44人，最多种植甲作物多少亩？ 13．（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两个工程队分别接到千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天． 乙工程队 方案：计划千米按每天施工千米完成，剩下的千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 15．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 压轴满分题四、一次函数与几何综合 16．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若直线与x轴交于点C，点P为直线的点，且的面积为2，求点P的坐标． 17．（2025·四川宜宾·一模）如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． (1)请说明：入射光线必过点； (2)求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； (3)一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 18．（24-25八年级下·四川简阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接． (1)填空：________； (2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积； (3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标． 19．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 20．（2025·四川简阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 压轴满分题五、一次函数的实际综合应用 21．（2025·四川内江·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 22．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 23．（2025·山西长治·模拟预测）如图，小区计划在1号楼、2号楼和3号楼之间安装一个饮水机，方便住户打水，三栋楼的位置如图所示，经调查，1号楼每天有20户打水，2号楼每天有50户打水，3号楼每天有a户打水，设饮水机距1号楼x米，当将饮水机建在1号楼和2号楼之间时，所有需要打水的住户到饮水机的总距离（米）与（米）之间满足的关系式为． (1)求a的值； (2)当饮水机在1号楼和3号楼之间时，若要每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小，通过计算说明饮水机所安装的位置． 24．（2025·四川简阳·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 25．（2025·山西晋城·二模）项目化学习 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关问题． 【项目素材】 素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度（米）与水平距离（米）的部分数据如下： 水平距离/米 0 6 18 30 36 飞行高度米 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离（米）与飞行时间（秒）的部分数据如下： 飞行时间/秒 0 1 1.5 2 2.5 水平距离/米 0 15 22.5 30 37.5 素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，米，米．（参考数据：，，） 【解决问题】 (1)求与之间的函数关系式． (2)当球的飞行时间为秒时，求球的飞行高度． (3)若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 压轴满分题六、反比例函数动点问题 26．（2025·四川宜宾·二模）如图，已知反比例函数与一次函数分别交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是y轴上一动点，且满足，结合函数图象，直接写出t的取值范围． 27．（2025·河南周口·一模）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 28．（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集； (3)在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围． 29．（2025·广东广州·一模）如图，中，，，其中，．    (1)直接写出线段的中点的坐标； (2)反比例函数的图象过点，与交于点，求的值； (3)点为（2）中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 30．（2025·山东日照·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作． ① （用含m，n的代数式表示）； ②若，当与相切时，求k的值． 压轴满分题七、反比例函数存在性问题 31．（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2025·吉林长春·一模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（24-25八年级下·四川资阳·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，直线与双曲线式与的图像相交于两点． (1)求点B的坐标和直线解析式； (2)连接，己知点P在x轴上，且，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点C，在y轴上是否存在一点D，使的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由， 35．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 压轴满分题八、平行四边形的动点问题 36．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，已知直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，直线与y轴交于点C，直线与直线的交点为E，且点E的横坐标为2． (1)求实数b的值和点A的坐标； (2)设点为x轴上的动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线于点M、N，若以点B、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求a的值． 37．（23-24八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形中，，，，． (1)如图1，求长． (2)如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． (3)如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 39．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点． (1)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 40．（23-24八年级下·江西吉安·期末）在中，，，点为边上的动点（点不与点点、重合），连接，过点作交直线于点． (1)观察发现： 如图①，当点是边的中点时， ， （填“，，”），试说明理由；    (2)探究迁移： 如图②，当点是边上任意点时，此时（1）中的结论还成立吗？数学小组对此进行了讨论，发现和第（1）问方法类似，请你说明理由．    (3)拓展应用： 在点运动过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 压轴满分题九、四边形中的翻折问题 41．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，，，、分别为、边上的两点，把四边形沿翻折得到四边形，点恰好在线段上． (1)若，求的长． (2)连结，．问：当取何值时，四边形为菱形？请说明理由． 42．（2024·贵州六盘水·一模）如图，已知矩形纸片的长，宽分别是边上的点，．把矩形纸片沿着直线翻折，点的对应点分别为，直线交射线于点交于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为菱形，求的值． 43．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点，，为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设的面积为，点运动的时间为秒，请用含的式子表示的面积，并直接写出的取值范围； (3)在平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． （2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边、于点、，若，，求折痕的长． （3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点、，若，，，求四边形的面积． 45．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）阅读下面材料． 小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点A逆时针旋转90°得到，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： (1)写出小炎的推理过程； (2)如图3，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边上，，若、都不是直角，则当与满足于__________关系时，仍有； (3)如图4，在中，，，点D、E均在边BC上，且，若，，求DE的长． 压轴满分题十、四边形中的旋转问题 46．（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 47．（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交、（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是． (1)继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； (2)再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在，的延长线上时，如图3连，若，求的面积． 48．（23-24八年级下·四川内江·期末）在数学活动课上，李老师以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)李老师让同学们将两张完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①，试判断的形状，并说明理由； (2)李老师让同学们继续深入探究，在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C顺时针旋转一定的角度，当点D恰好落在对角线上时，与相交于点M，连接，若，，如图②，求的长． 49．（24-25八年级下·山西长治·阶段练习）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 50．（2025·河南·一模）小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 压轴满分题十一、平行四边形性质和判定的应用 51．（23-24八年级下·四川乐山·期中）如图，点，，，在一条直线上，，线段与线段关于点对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图中画出点； (2)在图中画线段，使，且． 52．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 53．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 54．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）（1）如图1，在5×5的网格中，ABC的三个顶点都在格点上请在图1中画出一个以AB为边的平行四边形ABDE，顶点D，E在格点上且满足； （2）如图2，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，若CF⊥BD于点F，请用无刻度尺在图2中作出符合题意的点F；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图3，若线段由线段AB绕点O逆时针旋转得到，请用无刻度尺和圆规在图3中作出旋转中心O（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 55．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 压轴满分题十二、根据矩形形的性质与判定求角度、长度、面积 56．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 57．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图1，平行四边形，E、F为中点，连接，交点分别为G、H． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若时，请直接写出图中所有直角三角形． 58．（2025·浙江绍兴·一模）已知，，为了得到矩形，甲、乙两位同学的作图方法如下． 甲：如图1，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，且点与位于的异侧，连接，，得四边形． 乙：如图2，分别以点A，为圆心，大于的相同长为半径画弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，连接，，得四边形． 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由． 59．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    60．（23-24八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，有如下定义：若图形在一个矩形的内部（包含边界）．当矩形有一条边平行于坐标轴且面积最小时，则称矩形是图形的“精致矩形”，如图1，矩形即是四边形的“精致矩形”． (1)如图2，已知点，，则的“精致矩形”面积为_____； (2)在（1）的条件下，直线与轴，轴分别交于，两点，在直线上存在一点，当的“精致矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，，，在旋转过程中、当为直角三角形时，求点的坐标，并直接写出的精致矩形”面积． 压轴满分题十三、根据菱形的性质与判定求角度、长度、面积 61．（2024·吉林长春·模拟预测）【感知】如图1，在矩形中，P是上的点，沿折叠B点的对应点是M点，延长交直线于点E．求证：． 【应用】如图2，Q是上的点，； 沿折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则的值是 ． 【拓展】如图3，Q是上的点，，，沿折叠D点的对应点是N点，若，的最小值是1，则的长是 ． ​ 62．（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图，在中，，，点D为边上一点，连接，过点B作交的延长线于点E．    (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，延长到点F使，分别连接交于点G．求证：． (3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连接，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数． 63．（2025·山东济宁·二模）【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （）如图①，折痕的端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （）点恰好落在边上． 如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 64．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在中，求作菱形，使其面积等于的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边，，，上．    小明的作法 ①如图2，连接，相交于点O． ②过点O作直线，分别交，于点F，H． ③过点O作l的垂线，分别交，于点E，G． ④连接，则四边形为所求作的菱形． (1)小明所作的四边形是菱形吗？为什么？ (2)四边形的面积等于的面积的一半吗？请说明理由． 65．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 压轴满分题十四、根据正方形形的性质与判定求角度、长度、面积 66．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 67．（23-24八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在中，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是边上一点，另两条直角边分别交于点E、F．    (1)如图1，若，求证：四边形是矩形． (2)若点D在的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明．（尝试作辅助线） 68．（23-24八年级下·广西百色·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 69．（24-25八年级下·山西长治·阶段练习）综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 70．（2024·四川宜宾·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 压轴满分题十五、四边形其他综合问题 71．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 72．（23-24八年级下·吉林长春·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．    (1)写出你所学过的四边形中是勾股四边形的图形的名称_____；（在平行四边形，矩形，菱形中选择） (2)如图1，已知格点（小正方形的顶点），请你画出以上述格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；并写出M点的坐标；连接； (3)如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，，求证：，即四边形是勾股四边形． 73．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 74．（23-24八年级下·四川眉山·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 75．（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用． 【操作发现】 对折（），使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，小明发现四边形满足：，．查阅相关资料得知，象这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【类比探究】 借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小宛同学对“筝形”的性质和判定方法进行了探究． 请根据示例图形，对比表格内容完成相关问题． 四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线 平行 四边形    是中心对称图形 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等 对角线互相平分． 菱形      ① 两组邻边分别相等 有一组对角相等 ② （1）表格中①、②处应分别填写的内容是： ①____________；②______________________________； （2）证明筝形有关对角线的性质． 已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O． 求证：______________________________； 证明： （3）写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）： __________________________________________________________________． 【迁移应用】 （4）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，当四边形为筝形时，直接写出的度数．      压轴满分题十六、一次函数与反比例函数的其他综合应用 76．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若，设点D的坐标为，求线段BC的长． 77．（2024·广东珠海·一模）如图1．直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．图2将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E．    (1)求反比例函数表达式； (2)求的长度． 78．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 79．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 80．（2024·四川成都·三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．    (1)求a的值及B的坐标； (2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围． 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 2．（2024·四川内江·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．    其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·山西长治·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ． ①当时，随的增大而减小； ②点，在该函数图象上，若，则； ③若点在该图象上，则点必在该图象上； ④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是．    8．（2025八年级下·全国·专题练习）邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值 ． 9．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为 ． 10．（23-24八年级下·四川长治·期末）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 12．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中的值对应为点的横坐标，的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程的解和可以分别转化为点和．以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． (1)写出二元一次方程的任意一组解：________，并把它转化为点的坐标：________； (2)在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．根据此结论，在所给平面直角坐标系中分别画出二元一次方程的图象和二元一次方程的图象． (3)根据图象，得出二元一次方程的图象和二元一次方程的图象的交点坐标为________，由此可得二元一次方程组的解是________． 13．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）重庆市2023年体育中考将在3月底4月初进行，近日，某中学初三年级组织了一次体育中考模拟测试．现从该校初三年级男女生中各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 10名男生的成绩是：32，34，38，43，44，45，47，48，50，50 10名女生的成绩在C组中的数据是：43，44，44 男生、女生抽取学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 D组占比 男生 43.1 44.5 女生 43.1 44 (1)直接写出上表中，，的值； (2)根据以上数据，你认为该校初三年级男生还是女生的体育成绩更好？请写出一条理由． (3)若该校初三年级有男生、女生各200人参加了此次测试，估计参加此次测试成绩优秀（）的学生共有多少人? 14．（24-25八年级下·四川简阳·阶段练习）探究：已知的面积为，是所在直线上的一点， (1)如图，当图1中的点与重合时，记，当图2中的点与点、点与均不重合时，记，当图3中的点在（或）的延长线上时，记，请比较和的大小______（用“”或“”连接）． (2)推广：面积为，、为两边、延长线上两点，连接、、、，求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由． (3)应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地，、分别平行于、，、交于点，其中，，，现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域，连接、、，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形区域的面积． (4)拓展：如图6，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，直接写出四边形的面积． 15．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$