清单04 三角形（考点清单，知识导图+6个考点清单&10大题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单04三角形（6个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 三角形的相关概念 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 4. 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 清单02 三角形中重要的三种线段 清单03 三角形的内角和外角 1.三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 2.三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 清单04 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 清单05 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 清单06 全等三角形的判定 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【考点题型一】三角形的三边关系（） 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A．6 B．3 C．2 D．11 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西延安·期末）在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【变式1-3】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图是一个折叠凳子及其侧面示意图，点是，的中点，且，则折叠凳子的宽可能为（   ）      A． B． C． D． 【考点题型二】三角形的稳定性的应用（） 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）三角形的稳定性广泛应用于生产生活中，但有一些物品不能利用三角形稳定性，以下物品不具备三角形稳定性的是（   ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（     ） A．两点确定一点直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明做了一个长方形框架，但发现它很容易变形．若要加固此长方形框架，则他应该选择的加固方案是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 【考点题型三】三角形的角平分线和高的有关运算（） 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数． 【变式3-2】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的角平分线．求和的度数． 【变式3-3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，求的度数． 【考点题型四】利用三角形的中线性质求面积（） 【例4】（2025·广东清远·一模）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A．1．5 B．3 C．3．5 D．6 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【变式4-2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【考点题型五】三角形的内角和有关计算（） 【例5】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知直线，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·湖南岳阳·三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 【变式5-2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【考点题型六】三角形的外角有关计算（） 【例6】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在中，，，延长至点D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】全等三角形的性质（） 【例7】（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式7-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【变式7-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（   ） A．10 B．20 C．24 D．28 【变式7-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，若，，，则长为 ． 【考点题型八】添加条件使三角形全等（） 【例8】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都一样的三角形玻璃，依据是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·山西大同·期末）某班级在“测量水池的宽度”时，设计了如下测量方案：如图，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使；接着过点作的垂线交的延长线于点．测出的长即为，间的距离．该测量方案设计的数学依据是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点题型九】全等三角形的性质与判定（） 【例9】（24-25八年级上·湖南永州·期末）陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 【变式9-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式9-2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在和中，，E是的中点，，垂足为点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式9-3】（24-25八年级下·四川广元·开学考试）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【考点题型十】全等三角形综合应用（） 【例10】（24-25八年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【变式10-1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【变式10-2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． (1)下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； (2)若，且，，，求的长． 【变式10-3】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______， (1)求证：； (2)若，，求的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04三角形（6个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 三角形的相关概念 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 4. 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 清单02 三角形中重要的三种线段 清单03 三角形的内角和外角 1.三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 2.三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 清单04 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 清单05 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 清单06 全等三角形的判定 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【考点题型一】三角形的三边关系（） 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A．6 B．3 C．2 D．11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三条边长为x，根据三角形三边关系得： ， 即， 结合各选项数值可知，第三边长可能是6， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西延安·期末）在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形的可能取值即可解答． 【详解】解：∵在中，若， ，即， ∴， ∵的长度为整数， ∴的长度可以为3、4、5， ∴的周长可能是9、10、11． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图是一个折叠凳子及其侧面示意图，点是，的中点，且，则折叠凳子的宽可能为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的含义，三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 先求解，结合，即，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点是，的中点，且， ∴， ∵， ， ∴A符合题意； 故选：A． 【考点题型二】三角形的稳定性的应用（） 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）三角形的稳定性广泛应用于生产生活中，但有一些物品不能利用三角形稳定性，以下物品不具备三角形稳定性的是（   ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：A、自行车的三角形车架具备三角形稳定性，不符合题意； B、三角形房架具备三角形稳定性，不符合题意； C、照相机的三脚架具备三角形稳定性，不符合题意； D、学校的栅栏门不具备三角形稳定性，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（     ） A．两点确定一点直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性； 故选B． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明做了一个长方形框架，但发现它很容易变形．若要加固此长方形框架，则他应该选择的加固方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟知三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比， 具有不容易扭转或变形的特点是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案． 【详解】解：∵三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比， 具有不容易扭转或变形的特点， ∴加固方案应加固成三角形的形状． 故选：B． 【变式2-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性． 故选：C． 【考点题型三】三角形的角平分线和高的有关运算（） 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义． （1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键． 【详解】解： ， 设， ，， ， 解得：， ， ，， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ， 故的度数为． 【变式3-2】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的角平分线．求和的度数． 【答案】； 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，则可求，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在直角中，， ． 【变式3-3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分的定义可得，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【考点题型四】利用三角形的中线性质求面积（） 【例4】（2025·广东清远·一模）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A．1．5 B．3 C．3．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键． 根据三角形中位线的性质可得，同理可得即可解答． 【详解】解：， ∴是的中线， ∴， 又是的中点， ． 故选D． 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【详解】解： ，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可． 【详解】如图，连接，，， 点，，分别是线段，，的中点， ，， ， 同理，，， ， 故选：C． 【变式4-3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键． 根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【考点题型五】三角形的内角和有关计算（） 【例5】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知直线，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线性质，以及平行线性质，根据角平分线性质得到，根据平行线性质得到，，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解： 平分， ， 直线， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】（2023·湖南岳阳·三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 【变式5-3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，三角形内角和定理．根据三角形高的定义得到，再利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 【考点题型六】三角形的外角有关计算（） 【例6】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在中，，，延长至点D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，计算即可． 【详解】解：根据题意，是的一个外角， ∵，， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角，利用三角形的外角求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 【变式6-2】（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∴， ∵，， ∴； 故选D． 【变式6-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型七】全等三角形的性质（） 【例7】（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（   ） A．10 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据得出，的周长问题可解． 【详解】解：， ， 的周长， 的周长， 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，若，，，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，根据全等三角形性质求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【考点题型八】添加条件使三角形全等（） 【例8】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都一样的三角形玻璃，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：，，，，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：④号玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合全等三角形判定． 故选：C． 【变式8-2】（24-25八年级上·山西大同·期末）某班级在“测量水池的宽度”时，设计了如下测量方案：如图，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使；接着过点作的垂线交的延长线于点．测出的长即为，间的距离．该测量方案设计的数学依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，，则，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长即为，间的距离， ∴该测量方案设计的数学依据是：， 故选：． 【变式8-3】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 【考点题型九】全等三角形的性质与判定（） 【例9】（24-25八年级上·湖南永州·期末）陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 在和中， （2）解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【变式9-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 【变式9-2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在和中，，E是的中点，，垂足为点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据同角的余角相等可证，根据可证，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据线段中点的定义即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， E是的中点，， ， ． 【变式9-3】（24-25八年级下·四川广元·开学考试）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十】全等三角形综合应用（） 【例10】（24-25八年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， ． 【变式10-1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】1或或12 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．与全等时，，当P在上，Q在上时，得到；当P、Q在上时，得到；当P在上，Q在上时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵于E，于F，， ∴，， ∴， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，， ∴， 解得：； 当P、Q在上时（P、Q重合）， ∵，， ∴， 解得：； 当P在上，Q在上时，即A与Q重合时， ∴． ∴t的值为1或3.5或12； 故答案为1或3.5或12． 【变式10-2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． (1)下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； (2)若，且，，，求的长． 【答案】(1)选择②或③，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质． （1）根据三角形全等的判定定理，由已知添加合适的条件，证明即可得出结论； （2）由（1）知，推出，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③， 选择②时：， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； 选择③时，， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； （2）解： ，，，， ， ，， ， 在中， ． 【变式10-3】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______， (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)16 【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明； （2）根据，可得，根据即可求解． 【详解】（1）证明：若① ∵DE，DF分别是 ​和 ​高 ∴ 在和中 ∵ ∴ 若② ∵DE，DF分别是 ​和 ​高 ∴ 在和中 ∵ ∴ 若③ ∵DE，DF分别是 ​和 ​高 ∴ 在和中 ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$