专题02 勾股定理（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01 勾股定理 题型02勾股定理的逆定理 勾股定理题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为：（   ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，于点D，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．3 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列每组数据是勾股数的一项是：（   ） A．1，1， B．2，3，4 C．13，14，25 D．8，15，17 7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(   ) A． B． C． D．7 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．在中，直角边，．若将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．49 B．51 C．72 D．76 11．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）边长为1的等边三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，组成勾股数的是（   ）． A．，，1 B．，， C．8，， D．4，5，6 13．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（    ）    A．100 B．110 C．121 D．144 二、填空题 16．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 17．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则： （1）点D到的距离为 ． （2）的最小值是 ． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，D为边上的一点，且满足．若的面积为，则的长是 ． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距 海里． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．    23．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在中，．若，则的面积为 ． 24．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为 ． 三、解答题 25．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长．                          26．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 27．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢” 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 若想要风筝沿射线方向再上升12米，请问能否成功？ 28．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 29．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为米； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； 牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 31．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 32．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．每个小方格的顶点叫格点． (1)求值：① ， (2)仅用无刻度直尺，作出的中线（注意标上字母），并保留作图痕迹． 33．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)画格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），使，，； (2)的面积为______． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    35．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 36．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 37．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． (1)如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． (2)在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 38．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 40．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在四边形中，，，，，求的长． 勾股定理的逆定理题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）已知，对于以为三边长的三角形的形状，你认为以下判断中最准确的是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，，（k为正整数） D．，， 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各组数中，能作为直角三角形的边长的是（   ） A．5，12，13 B．6，7，8 C．1，1，3 D．1，2，3 4．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．3，3，5 C．4，5，6 D．5，12，13 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）下列以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（    ） A．2，4，5 B．4，8，10 C．5，12，13 D．1，2， 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级下·安徽池州·期末）以下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（    ） ①3，4，5；②2，，；③9，12，16；④0.5，1.2，1.3 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断为直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D． 二、填空题 12．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    13．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ． 三、解答题 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，判断三角形的形状，并说明理论． 16．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 17．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 18．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在网格中画出格点，三边的长分别为，，． (1)在网格中画出； (2)求边上的高______． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01 勾股定理 题型02勾股定理的逆定理 勾股定理题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12 ∴斜边长为 故选：A 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为：（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理，其中分类讨论是解本题的关键． 根据题意分4为直角三角形的直角边和斜边两种情况分别利用勾股定理求解． 【详解】当3和4为直角三角形的直角边时，第三边是； 当4是直角三角形的斜边时，第三边是． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．过点作于点，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则的最小值是的长， ∵，平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值是． 故选：B 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，于点D，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，先利用勾股定理求解，再利用三线合一可得答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选C 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列每组数据是勾股数的一项是：（   ） A．1，1， B．2，3，4 C．13，14，25 D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数满足的条件是解答的关键． 根据勾股数为正整数且满足勾股定理解答即可． 【详解】解：A、不是整数，故不是勾股数，故选项A不符合题意； B、2，3，4是整数，但，故不是勾股数，故选项C不符合题意； C、13，14，25是整数，但，故不是勾股数，故选项C不符合题意； D、8，15，17是整数，且，故是勾股数，故选项D符合题意， 故选：D． 7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(   ) A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理；和为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可利用勾股定理得出的值． 【详解】解：，，即和为两条直角边长时， 小正方形的边长， 故选：A． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：m，m， ∴m， ∵m，m， ∴m， ∴梯子底端B向左移动了： 故选：D 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 10．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．在中，直角边，．若将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．49 B．51 C．72 D．76 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长度，然后利用外围周长即可求解． 本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 由题意可知， ∵ ，， ∴ ， ∴风车的外围周长． 故选：D． 11．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）边长为1的等边三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理，先根据等边三角形的性质得出，运用勾股定理列式计算，结合面积公式即可作答． 【详解】解：如图：过点A作 ∵是等边三角形， ∴ ∴在中， ∴等边三角形的面积是 故选：D 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，组成勾股数的是（   ）． A．，，1 B．，， C．8，， D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B中不是正整数，不能组成勾股数，故不符合要求； C中，能组成勾股数，故符合要求； D中，不能组成勾股数，故不符合要求； 故选：C． 13．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：B． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查勾股数定义，能构成直角三角形三条边（最大的数的平方等于较小的两个数的平方和）的三个正整数叫勾股数，由勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（    ）    A．100 B．110 C．121 D．144 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，延长交于点O，延长交于点P，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点O，延长交于点P，    所以，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 因此，矩形的面积为， 故选：B． 二、填空题 16．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况当为斜边时，利用勾股定理求出，即可求出直角三角形的面积，当当为斜边时，可以直接求出直角三角形的面积． 【详解】解：当为斜边时， 则， ∴直角三角形的面积为， 当为斜边时， 则直角三角形的面积为， 故答案为： 或． 17．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则： （1）点D到的距离为 ． （2）的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）先根据轴对称的性质确定最小值，再根据勾股定理求解． 【详解】解：（1）设D到的距离为h， ∵， 解得：， 故答案为：； （2）延长到M，使得，延长到F，使得，过M作，作B关于的对称点E，连接交于点D，连接， 则，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，D为边上的一点，且满足．若的面积为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意知，，即，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， 解得， 由勾股定理得，， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距 海里． 【答案】75 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， （海里）． 答：两船半小时后相距75海里， 故答案为：75． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 【答案】或或2或6 【分析】由题意知，，则，由勾股定理得，，，由折叠的性质可知，，，由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当，在左侧时，，如图1，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得， ，进而可求；当，在右侧时，，如图2， 则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当，在左侧，如图3，连接，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，可求，设，则，，由勾股定理得，，即，可求，进而可得的值；当，在右侧，重合，如图4，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是14， ∴， ∴， ∵小正方形的面积是2， ∴直角三角形的面积为， 又∵直角三角形的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在中，．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，先由勾股定理得到，结合，可得，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键． 根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， 解得、， 故较长的直角边为3， 故答案为3． 三、解答题 25．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 【答案】尺 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：设尺， 根据题意知，尺， 尺. 尺， 尺，      ， ，即           解得尺.            答：绳索长为尺． 26．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米． 27．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢” 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 若想要风筝沿射线方向再上升12米，请问能否成功？ 【答案】任务一：米；任务二：不能成功 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 任务一：过作交于，由勾股定理得求出即可求解； 任务二：设沿方向向前走了米，风筝沿射线方向再上升12米，由勾股定理得 ，可得判断此方程是否有实根即可求解； 能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：任务一： 如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故风筝离地面的垂直高度为米； 任务二： 不能成功，理由如下： 如图，设沿方向向前走了米，风筝沿射线方向再上升12米， ， ， ， ， ， ， 此方程无实根， 故风筝沿射线方向再上升12米，不能成功． 28．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 29．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 【答案】（1）①2；②，理由见解析 （2） 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出要使最小，即最小，即时，最小．再由等腰直角三角形的性质求解即可； ②先证明，得到，，即可得出，再由勾股定理求解即可． （2）延长到点，使．先证明，得到，，从而得出，即可证得是等边三角形，得到．当时，最短，然后由等边三角形的性质与勾股定理求解． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ，． 要使最小，则最小，当时，最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时， ∴． ②． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ． （2）如图，延长到点，使． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当时，最短， 由等边三角的性质可知，． 由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质．此题是三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键． 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为米； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； 牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可； （）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果； 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知：米，，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图， ∴此时的（米）， 即此时在中，米，有（米）， 相比下降之前，缩短长度为（米）， 答：他应该往回收线米． 31．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键． （1）根据题意可得出，，再令求解即可； （2）由（1）可得出，再结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； （2）解：由（1）可知 ． 32．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．每个小方格的顶点叫格点． (1)求值：① ， (2)仅用无刻度直尺，作出的中线（注意标上字母），并保留作图痕迹． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，网格中求三角形面积，中线作图等． （1）根据题意利用勾股定理即可求出的长，根据网格求边长，利用三角形面积公式即可求出的面积； （2）取线段和线段交点即为中心，利用矩形对角线平分性质即可找到中点，连接即可． 【详解】（1）解：∵边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：如图，取格点为，连接，即和交点即为边中点，连接，即为的中线， ． 33．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)画格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），使，，； (2)的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，解题的关键是： （1）根据各边长度结合勾股定理画出图形即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 35．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 【答案】的长为或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为锐角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴； ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 36．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 37．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． (1)如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． (2)在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3或4 【分析】本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明； （2）①当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；②当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点 ， 是边上的中线， 由勾股定理得： 是“梦想三角形” （2）解：如图，若是“梦想三角形”，有两种情况： ①当边上的中线时，, 此时， ②当边上的中线时，， 此时，，即， 解得：， 综上所述，或4． 38．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【答案】(1) (2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 40．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意连接，在和中分别应用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴为等腰角三角形，设， ∴， ∴． 勾股定理的逆定理题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）已知，对于以为三边长的三角形的形状，你认为以下判断中最准确的是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，由绝对值的非负性质，二次根式的性质，平方的非负性质可分别得到a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴对于以为三边长的三角形为等腰直角三角形． 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，，（k为正整数） D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给选项依次计算判断即可得；掌握勾股定理，三角形内角和是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形； ∵， ∴， ∴为直角三角形； ∵，，（k为正整数）； ∴， ∴为直角三角形； ∵，， ∴ ∴为直角三角形； 综上，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各组数中，能作为直角三角形的边长的是（   ） A．5，12，13 B．6，7，8 C．1，1，3 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．3，3，5 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 6．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）下列以线段，，为三边组成的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．据此即可求解即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意； C．∵，，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意； D．∵，，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（    ） A．2，4，5 B．4，8，10 C．5，12，13 D．1，2， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， ， 不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、，， ， 不能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、，， ， 能构成直角三角形， 故C符合题意； D、，， ， 不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ∵， 设， ∵， ∴是直角三角形；故②正确； ∵，， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ∵， ∴， ∴是直角三角形；故④正确； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形；故⑤正确； 故选D． 9．（23-24八年级下·安徽池州·期末）以下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（    ） ①3，4，5；②2，，；③9，12，16；④0.5，1.2，1.3 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形是解题的关键． 满足较小两边的平方和等于第三边的平方即可，即，可以构成直角三角形．据此判断即可． 【详解】解：① ，故符合题意， ②，故不符合题意， ③ ，故不符合题意， ④，故符合题意， 综上可知，能构成直角三角形的有①④， 故选：B 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】A、 ， 不能构成直角三角形，故本选项错误； B、， 不能构成直角三角形，故本选项错误； C、， 不能构成直角三角形，故本选项错误； D、， 能构成直角三角形，故本选项正确； 故选：D 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断为直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为度进行判定即可． 【详解】解：A、，所以设，，，而，故不是直角三角形；故该选项不正确，不符合题意； B、，，， 符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形；故该选项正确，符合题意； C、因为，则，不能判断是直角三角形； D、因为，所以设，则，，故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B 二、填空题 12．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理找出是解题的关键．依照题意画出图形，根据路程速度时间可求出、，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出的度数，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． ，，， ， ， 为直角三角形，且， ， 乙客轮的航行方向为南偏东； 故答案为：南偏东． 三、解答题 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解，构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：如图，取格点，连接， 由网格得： ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，判断三角形的形状，并说明理论． 【答案】等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理及逆定理．根据图中网格，先用勾股定理求出三角形三边的长，再根据三边的长度及勾股定理逆定理即可作出判断． 【详解】解：等腰直角三角形，理由如下： 由图网格及勾股定理得 ，， ， 是等腰直角三角形． 16．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)点A到边的距离为2 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 17．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理以及利用网格求三角形面积等知识． （1）利用网格与勾股定理求出，，，再根据勾股定理逆定理证明：是直角三角形即可． （2）根据，利用网格求三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，，． ， ， 即是直角三角形． （2）． 18．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由由含30度的直角三角形的性质可求出答案； （2），连接，求出，，再证明，即可由求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ． （2）解：连接，如图， ，为的中点， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)边上的高为2 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在网格中画出格点，三边的长分别为，，． (1)在网格中画出； (2)求边上的高______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理； （1）根据网格的特点以及勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）∵ ∴ ∴是直角三角形， ∵， ∴ 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$