专题02 相交线与平行线（必刷50题17种题型专项训练）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材冀教版

专题02 相交线与平行线（必刷50题17种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断命题真假（高频） 题型二 举例说明假（真）命题 题型三 对顶角的定义（重点） 题型四 对顶角相等（易错） 题型五 垂线的定义理解（高频） 题型六 垂线段最短 （高频） 题型七 点到直线的距离 题型八 同位角、内错角、同旁内角（难点） 题型九 利用平行线间距离解决问题 题型十 用直尺、三角板画平行线（重点） 题型十一 平行公理的应用 题型十二 同位角相等两直线平行 （高频） 题型十三 内错角相等两直线平行 题型十四 同旁内角互补两直线平行 （难点） 题型十 五 平行公理推论的应用（重点） 题型十六 根据平行线判定与性质证明（易错） 题型十七 利用平移的性质求解（高频） 题型一 判断命题真假 1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 3．（七年级下·河北邢台·期末）把命题“两个锐角互余”改写成“如果…那么…”的形式 ，它是一个 （填“真命题”或“假命题”） 题型二 举例说明假（真）命题 4．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）可以说明“两个负数、之差是负数”的一个反例是（    ） A．、 B．， C．， D．， 5．（七年级下·河北保定·期中）举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）判断命题“若，则的真假，并证明． 题型三 对顶角的定义 7．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）写出对顶角的定义： 9．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分． (1)的对顶角为________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 题型四 对顶角相等 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，、相交于点O，，，则是（   ）度 A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，直线相交于点，已知，平分．现将射线绕点逆时针旋转角得到，当时，的度数是 ． 12．（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，直线相交于点O，若，． (1)试说明：射线平分； (2)求的度数． 题型五 垂线的定义理解 13．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，为了说明，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有乙不正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．以上都不正确 14．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知直线，垂足为O，直线c 经过点O，则与的关系一定是 ． 15．（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知直线，垂足为，直线EF经过点O，，求，，的度数． 题型六 垂线段最短 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 17．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的长度为整数，则根据图中信息，可得 ． 18．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）如图，图是体育课上跳远的场景，若某同学落地时后脚跟所在的点为，起跳线为，请在图上画出能够表示该同学跳远成绩的线段，并说明其理论依据． 题型七 点到直线的距离 19．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知点在直线外，点在直线上，若，两点的距离为6，点到直线的距离记为，则不可能等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 20．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，三角形ABC中，．    （1）点B到直线AC的距离是线段 的长度； （2）三条边AB、BC、AC，边 最长，理由是 ． 21．（七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，． (1)过点画的垂线，交于点； (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度； (3)在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 题型八 同位角、内错角、同旁内角 22．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于题目：“如图，写出与是同旁内角的所有角” 甲的答案： 乙的答案： 则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 23．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，直线所截，与是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点B，直线分别交于点． (1)写出上图中的所有内错角； (2)上图中的与是哪两条直线被哪一条直线所截形成的一组什么角？ 题型九 利用平行线间距离解决问题 25．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3，则将a平移到b的位置，平移的距离不可以是(    ) A． B． C． D． 26．（2023·河北承德·一模）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为．已知两船均于出发，两岸平行，水面宽为，求两船距离最近时的时刻． 题型十 用直尺、三角板画平行线 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 29．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 30．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线与交于点，点在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点画直线，垂足为； ②过点画直线，使； (2)线段与的大小关系是________，依据是________． 题型十一 平行公理的应用 31．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）过直线外一点作的平行线，可以作（    ）条． A． B． C． D．或以上 32．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在三角形中，已知．，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点A到直线的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与垂直；④过B点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（七年级下·全国·单元测试）若直线 ，则直线 b 与 c 的位置关系是 ． 题型十二 同位角相等两直线平行 34．（22-23七年级下·河北沧州·期末）如图，下列推理中，正确的是（    ）    A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 35．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，当 时，． 36．（七年级下·河北邯郸·期末）三角板是大家熟悉的学具，小东将一副三角板拼成如图所示的图形，并过点C作平分交于点F．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 题型十三 内错角相等两直线平行 37．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图：不能判定的一组条件是（   ） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图， 39．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：如图，，求证：． 证明：延长交 于点F， 则 ， 又∵， ∴ ， ∴（ 相等，两直线平行）．         题型十四 同旁内角互补两直线平行 40．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在下列条件中，不能判断的是（　　） A． B． C． D． 41．（22-23七年级下·河北沧州·期中）如图，已知，    （1）当 时，，理由是： ； （2）在（1）的条件下，若，则 ． 42．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇用6块相同的三角尺（注：在三角尺中，，，）拼接成一个如图所示的图形． (1)请你帮她找出图中的各组平行线． (2)选择（1）中的一组平行线，进行证明． 题型十 五 平行公理推论的应用 43．（22-23七年级下·河北唐山·期中）在同一平面内，已知直线a及直线外一点M，过点M作3条直线，则这3条直线中与a平行的直线最多有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 44．（21-22七年级下·河北沧州·阶段练习）平行公理的推论： ． 45．（23-24七年级下·河北衡水·阶段练习）完成下面的证明，括号内填根据． 如图，直线 ，， 被直线 所截，量得，， 求证：． 证明：∵，， （等式性质）， （ ）． ∵，， ， （ ）． （ ）． 题型十六 根据平行线判定与性质证明 46．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图所示，下列推理及所注理由错误的是（   ） A．（内错角相等，两直线平行） B．（两直线平行，内错角相等） C．（两直线平行，内错角相等） D．（内错角相等，两直线平行） 47．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，请写出图中另外一组相等的角 （不再添加字母）． 48．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知，．说明：．请将下面推理过程补充完整： 解：（已知）， ① （② ）， ③ （④ ）， （已知）， ⑤ （等量代换）， （⑥ ）． 题型十七 利用平移的性质求解 49．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④若，，阴影部分的面积为30，则；⑤若三角形的面积是2，点平移到的中点时，则三角形扫过的面积是6． A．1 B．2 C．3 D．4 50．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． $$专题02 相交线与平行线（必刷50题17种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断命题真假（高频） 题型二 举例说明假（真）命题 题型三 对顶角的定义（重点） 题型四 对顶角相等（易错） 题型五 垂线的定义理解（高频） 题型六 垂线段最短 （高频） 题型七 点到直线的距离 题型八 同位角、内错角、同旁内角（难点） 题型九 利用平行线间距离解决问题 题型十 用直尺、三角板画平行线（重点） 题型十一 平行公理的应用 题型十二 同位角相等两直线平行 （高频） 题型十三 内错角相等两直线平行 题型十四 同旁内角互补两直线平行 （难点） 题型十 五 平行公理推论的应用（重点） 题型十六 根据平行线判定与性质证明（易错） 题型十七 利用平移的性质求解（高频） 题型一 判断命题真假 1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查命题真假的判定，解题的关键是掌握说明一个命题是假命题的方法：满足命题条件，但不能得到命题的结论． 根据说明一个命题是假命题的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、是偶数，也是8的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； B、是偶数，也是8的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； C、是偶数，但不是8的倍数，所以能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题，故此选项符合题意； D、不是偶数，所以不满足命题“对于任意偶数，都是8的倍数”的条件，不能说明命题是假命题，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题真假、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数”是假命题， 故选：A． 3．（七年级下·河北邢台·期末）把命题“两个锐角互余”改写成“如果…那么…”的形式 ，它是一个 （填“真命题”或“假命题”） 【答案】 如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角 假命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】首先确定两个锐角互余的题设是两个锐角，结论是互余，然后在题设前加上如果，结论前加上那么即可． 【详解】解：命题“两个锐角互余”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角，它是一个假命题． 故答案为：如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角，假命题． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题有题设和结论两部分构成，难度不大． 题型二 举例说明假（真）命题 4．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）可以说明“两个负数、之差是负数”的一个反例是（    ） A．、 B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】举例说明假（真）命题、有理数的减法运算 【分析】求出的值，根据两个负数之差不是负数进行判断即可． 【详解】解：A．，而不是负数，故A不符合题意； B．当，时，，两个负数、之差是负数，故B不符合题意； C．当，时，，两个负数、之差是正数，不是负数，故C符合题意； D．，而不是负数，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了举反例说明命题的真假，解题的关键是理解题意，求出的值． 5．（七年级下·河北保定·期中）举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 【答案】，（答案不唯一） 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了命题与定理，，，则，，满足，不满足，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，，则，，满足，不满足， ∴命题“若， 则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）判断命题“若，则的真假，并证明． 【答案】假命题，见解析 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：假命题． 取，此时，但， 所以命题的结论不成立． 题型三 对顶角的定义 7．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线）是解题的关键．判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有B选项符合， 故选B． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）写出对顶角的定义： 【答案】两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题关键． 【详解】解：对顶角的定义：两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角 故答案为：两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角． 9．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分． (1)的对顶角为________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角的定义 【详解】解：（1） （2）因为OA平分，， 所以． 又因为， 所以． （3）因为，， 所以，． 由（2）可得． 题型四 对顶角相等 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，、相交于点O，，，则是（   ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂直得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，直线相交于点，已知，平分．现将射线绕点逆时针旋转角得到，当时，的度数是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解、几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，几何角度的计算，理解角平分线的定义，旋转的性质，正确理解角度的关系是关键． 根据对顶角相等，角平分线的定义得到，根据旋转的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转角得到，当时， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，直线相交于点O，若，． (1)试说明：射线平分； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角的性质、平角的意义以及角平分线的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，即可证明； （2）由对顶角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴射线平分； （2）解：∵，， ∴． 题型五 垂线的定义理解 13．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，为了说明，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有乙不正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．以上都不正确 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义，对顶角性质进行求解判断，即可解题． 【详解】解：， ， 故甲正确， ，， ， ， 故乙正确， ，， ， ， 故丙正确， 综上所述，甲、乙、丙都正确， 故选：C． 14．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知直线，垂足为O，直线c 经过点O，则与的关系一定是 ． 【答案】互余 【知识点】垂线的定义理解 【分析】此题主要考查直线间的关系．根据垂直的性质及平角的特点即可求解． 【详解】解：∵，直线c经过点O， ∴， 故 故与的关系一定是互余， 故答案为：互余． 15．（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知直线，垂足为，直线EF经过点O，，求，，的度数． 【答案】， 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由垂直的定义得，再结合，得，，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴． 题型六 垂线段最短 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短． 【详解】解：根据垂线段的性质，则表示该运动员成绩的是线段的长度， 故选B． 17．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）已知的长度为整数，则根据图中信息，可得 ． 【答案】1 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离垂线段最短，即可得，由的长度为整数即可得出结论． 【详解】解：由可知，， 又∵的长度为整数， ∴． 故答案为1． 18．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）如图，图是体育课上跳远的场景，若某同学落地时后脚跟所在的点为，起跳线为，请在图上画出能够表示该同学跳远成绩的线段，并说明其理论依据． 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，的长就是该运动员的跳远成绩， 理由：垂线段最短． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，直线，线段，射线等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型． 题型七 点到直线的距离 19．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知点在直线外，点在直线上，若，两点的距离为6，点到直线的距离记为，则不可能等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离和垂线段最短的应用，根据垂线段最短得出点到直线的距离小于或等于6，即可得出答案．熟知从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：垂线段最短， 又点在直线外，点在直线上，， 点到直线的距离小于或等于6， 点到直线的距离不可能等于7． 故选：D． 20．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，三角形ABC中，．    （1）点B到直线AC的距离是线段 的长度； （2）三条边AB、BC、AC，边 最长，理由是 ． 【答案】 垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】（1）根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解； （2）根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴点到直线的距离为线段的长； （2）由点到直线的距离，垂线段最短可知：，， ∴三条边，，中最长的边为． 故答案是：①；②；③垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键． 21．（七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，． (1)过点画的垂线，交于点； (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度； (3)在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AH (3)AB>AH 【知识点】画垂线、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可； （2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点到直线的距离是线段AH的长度； （3）根据垂线段最短，进行判定即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵， ∴点到直线的距离是线段AH的长度， 故答案为：AH； （3）AB>AH，理由如下： ∵ ∴AB>BC， ∵， ∴ ∴BC >CH， ∴AB>AH． 【点睛】本题主要考查的是垂线段的画法以及性质，直角三角形的性质，需要熟练掌握垂线的画法，准确判断点到直线的垂线段． 题型八 同位角、内错角、同旁内角 22．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于题目：“如图，写出与是同旁内角的所有角” 甲的答案： 乙的答案： 则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角”即可得到答案． 【详解】解：的同旁内角有，，， 甲、乙合在一起也不正确， 故选：D． 23．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，直线所截，与是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）． 【答案】同旁内角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角定义，根据同位角，内错角，同旁内角定义结合图形进行判断，即可解题． 【详解】解：根据与都在直线，之间，并在直线左侧， 所以与是同旁内角， 故答案为：同旁内角． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点B，直线分别交于点． (1)写出上图中的所有内错角； (2)上图中的与是哪两条直线被哪一条直线所截形成的一组什么角？ 【答案】(1)与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角； (2)与是直线和直线被直线所截形成的一组同旁内角． 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查内错角和同旁内角，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据内错角的定义进行判断即可； （2）根据同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角； （2）解：与是直线和直线被直线所截形成的一组同旁内角． 题型九 利用平行线间距离解决问题 25．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3，则将a平移到b的位置，平移的距离不可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间的距离是两平行线上两点之间连线长度的最小值即可得到答案 【详解】解：∵直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3， ∴将a平移到b的位置，平移的距离不可以小于3， 故选：A 26．（2023·河北承德·一模）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】B 【知识点】平行公理的应用、利用平行线间距离解决问题 【分析】根据平行线间的距离相等，直线上方与下方各有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线间的距离相等，分类讨论是解题的关键． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为．已知两船均于出发，两岸平行，水面宽为，求两船距离最近时的时刻． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】此题考查一元一次方程的应用，根据题意过点分别作南岸，北岸的垂线，垂足分别为，得到两船距离最近时，由此列方程解答． 【详解】解：如图，过点分别作南岸，北岸的垂线，垂足分别为． 设出发后，甲船运动到点，乙船运动到点时，两船距离最近， 即时，两船距离最近． 根据题意，得， 解得． ． 故两船距离最近时的时刻为． 题型十 用直尺、三角板画平行线 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 【答案】B 【知识点】判断是否是命题、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查命题的定义可以判断真假的陈述句叫命题，根据命题的定义：可以判断真假的陈述句，结合题中语句逐项判断即可得到答案． 【详解】解：①不是判断一件事情的语句，不是命题； ②如果一个角是钝角，那么它就大于直角，是判断一件事情的语句，是命题； ③不是判断一件事情的语句，不是命题； ④如果两个角相等且互补，那么这两个角都是直角，是判断一件事情的语句，是命题； 是命题的是②④， 故选：B． 29．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 30．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线与交于点，点在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点画直线，垂足为； ②过点画直线，使； (2)线段与的大小关系是________，依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】本题主要考查了画垂线、平行线，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）①根据题意画图即可；②根据平行线作图步骤画图即可； （2）根据垂线段最短进行判断求解，即可解题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所作： ②如图所示，即为所作： （2）解：线段与的大小关系是：；依据是：垂线段最短； 故答案为：；垂线段最短． 题型十一 平行公理的应用 31．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）过直线外一点作的平行线，可以作（    ）条． A． B． C． D．或以上 【答案】B 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理作答，牢记平行公理的内容：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键． 【详解】由平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：． 32．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在三角形中，已知．，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点A到直线的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与垂直；④过B点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、平行公理的应用、垂线的定义理解、点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离、同旁内角、平行线的性质、垂线的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识． 根据同旁内角的定义，对①进行判断；根据三角形的面积公式，对②进行判断；根据垂线的性质对③进行判断；根据平行线的性质，对④进行判断即可． 【详解】解：与是直线和被直线所截的同旁内角，故①错误； ∵，，，，， ∴三角形的面积， ∴， ∴ ∴点到直线的距离，故②正确； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴过点仅能作一条直线与垂直，故③正确 ∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，故④正确 故选：C． 33．（七年级下·全国·单元测试）若直线 ，则直线 b 与 c 的位置关系是 ． 【答案】平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴直线 b 与 c 的位置关系是平行， 故答案为：平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行是解题的关键． 题型十二 同位角相等两直线平行 34．（22-23七年级下·河北沧州·期末）如图，下列推理中，正确的是（    ）    A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】同位角相等，两直线平行，据此可得正确结论． 【详解】解：A．由，可以得到，故本选项正确； B．由，不能得到，故本选项错误； C．由，不能得到，故本选项错误； D．由，不能得到，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 35．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，当 时，． 【答案】/度 【知识点】同位角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和对顶角的性质．根据对顶角的性质得到，根据同位角相等两直线平行得到即可． 【详解】解：如图， 当时， ∵， ∴ ∴． 故答案为： 36．（七年级下·河北邯郸·期末）三角板是大家熟悉的学具，小东将一副三角板拼成如图所示的图形，并过点C作平分交于点F．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】同位角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）由题意知，，，由平分，可得，则，进而可证； （2）由题意知， ，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：与的位置关系是平行，理由如下： 由题意知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意知， ，， ∵， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 题型十三 内错角相等两直线平行 37．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图：不能判定的一组条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理分别对每个选项判断即可． 【详解】解：A、可以得到，由于同位角相等，两直线平行，故不符合题意； B、，而，则，同A可得，故不符合题意； C、不能得到，故符合题意； D、可以得到，由于内错角相等，两直线平行，故不符合题意； 故选：C． 38．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图， 【答案】 内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据“内错角相等，两直线平行”填空即可． 【详解】解：， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行． 39．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：如图，，求证：． 证明：延长交 于点F， 则 ， 又∵， ∴ ， ∴（ 相等，两直线平行）．         【答案】；；；内错角 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的判定．根据三角形的外角的性质，平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”填空即可求解． 【详解】证明：延长交于点F， 则， 又∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；内错角． 题型十四 同旁内角互补两直线平行 40．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在下列条件中，不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定一一判定即可． 【详解】解：．，则，不能判定，故该选项符合题意； ．，则，故该选项不符合题意； ．，则，故该选项不符合题意； ．，则，故该选项不符合题意； 故选：A． 41．（22-23七年级下·河北沧州·期中）如图，已知，    （1）当 时，，理由是： ； （2）在（1）的条件下，若，则 ． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1），由“同旁内角互补，两直线平行”即可求解； （2）可得，即可求解． 【详解】解：（1）因为当时，， 由“同旁内角互补，两直线平行”得： ， 故答案：，同旁内角互补，两直线平行． （2）因为， 所以， 所以， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 42．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇用6块相同的三角尺（注：在三角尺中，，，）拼接成一个如图所示的图形． (1)请你帮她找出图中的各组平行线． (2)选择（1）中的一组平行线，进行证明． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）直接写出平行线即可解题； （2）选取一组平行线根据证明同旁内角互补，两直线平行解题即可． 【详解】（1）解：平行线为，，． （2）我选择． 证明：∵， ∴点，，在同一条直线上． ∵， ∴点，，在同一条直线上． ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型十 五 平行公理推论的应用 43．（22-23七年级下·河北唐山·期中）在同一平面内，已知直线a及直线外一点M，过点M作3条直线，则这3条直线中与a平行的直线最多有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据平行线的性质可知：过直线外一点可以画一条已知直线的平行线；据此解答． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，能作一条直线与已知直线平行， 所以这3条直线中与a平行的直线最多有1条， 故答案为：一． 【点睛】此题考查了平行线的含义和性质，应注意基础知识的识记和理解． 44．（21-22七年级下·河北沧州·阶段练习）平行公理的推论： ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据平行公理的推论直接填空即可． 【详解】平行公理的推论为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【点睛】本题考查平行公理的推论．掌握平行公理的推论为如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是解题关键． 45．（23-24七年级下·河北衡水·阶段练习）完成下面的证明，括号内填根据． 如图，直线 ，， 被直线 所截，量得，， 求证：． 证明：∵，， （等式性质）， （ ）． ∵，， ， （ ）． （ ）． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行作答即可． 【详解】证明：∵，， （等式性质）， （同位角相等，两直线平行）． ∵，， ， （同旁内角互补，两直线平行）． （平行于同一条直线的两直线平行）． 题型十六 根据平行线判定与性质证明 46．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图所示，下列推理及所注理由错误的是（   ） A．（内错角相等，两直线平行） B．（两直线平行，内错角相等） C．（两直线平行，内错角相等） D．（内错角相等，两直线平行） 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A. （内错角相等，两直线平行），选项正确，不符合题意； B. （两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； C. （两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； D. （内错角相等，两直线平行），选项不正确，符合题意； 故选：D 47．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，请写出图中另外一组相等的角 （不再添加字母）． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据，得到，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴； 故答案为：． 48．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知，．说明：．请将下面推理过程补充完整： 解：（已知）， ① （② ）， ③ （④ ）， （已知）， ⑤ （等量代换）， （⑥ ）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，读懂各步推理，正确运用平行线的判定与性质是解题的关键；结合图形读懂各步推理，即可完成． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 题型十七 利用平移的性质求解 49．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④若，，阴影部分的面积为30，则；⑤若三角形的面积是2，点平移到的中点时，则三角形扫过的面积是6． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，得，，，再结合平移得，故阴影部分的面积，因为将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，故，因为三角形的面积是2，点平移到的中点，，，所以，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置， ∴，，， 故①②是符合题意，故③是不符合题意； ∵平移， ∴，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 则 ∵，， ∴ ∴， 故④是符合题意， ∵将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴ ∵三角形的面积是2，点平移到的中点， ∴，， ∴， ∴， 则． ∴三角形扫过的面积是4． 故⑤是不符合题意， 故选：C． 50．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． 【答案】(1)， (2)18 (3)6 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由平移的性质得，则，再根据角的关系进行运算，即可作答． （2）由线段的中点得，再得，结合割补法列式计算求出四边形的面积，即可作答． （3）先由平移的性质得，因为三角形的周长为，四边形的周长为12，且结合周长的公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： 三角形向右平移得到三角形， ， ， ， （2）解：为的中点， ． ， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积 四边形的面积为18． （3）解：三角形向右平移得到三角形， ． 则四边形的周长， 三角形的周长为， 四边形的周长， ． $$