清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理+27题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材冀教版

清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理+27题型解读） 清单01 相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 清单02 对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 清单03 垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 清单04 垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 清单05 点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 清单06 同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 清单07 平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 清单08 平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 清单09 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 清单10 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 清单11 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 清单12 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 清单13 生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 清单14 平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【考点题型一】写出命题的题设与结论（） 【例1】（七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（    ） ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）命题“同位角相等”的题设是 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个负数之和仍为负数； (2)一个钝角与一个锐角的差是锐角． 【考点题型二】判断命题真假（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中的真命题是（    ） A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角 C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角 【变式2-1】（七年级下·河北保定·阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【变式2-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【考点题型三】举例说明假（真）命题（） 【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（   ） A． B． C．， D．， 【变式3-1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 （写出一个即可）． 【考点题型四】平面内两直线的位置关系（） 【例4】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（    ） A．与一定不平行 B．与一定平行 C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【考点题型五】对顶角的定义（） 【例5】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【变式5-1】（七年级下·河北唐山·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 【变式5-2】（七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．    (1)图中共有 对对顶角， 对内错角； (2)①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ (3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 【考点题型六】对顶角相等（） 【例6】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线交于点，于点，那么与的关系是（   ） A．一对对顶角 B．相等但不是对顶角 C．一对互余的角 D．一对互补的角 【变式6-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点O ，平分，，若， 则的度数为 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线，相交于点，，． (1)求的度数； (2)过点画射线，并直接写出的度数． 【考点题型七】垂线的定义理解（） 【例7】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列说法中正确的有（   ） ①相等的角是对顶角； ②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④如图，和是同旁内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线、相交于点，射线，垂足为点，若，则的度数为 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【考点题型八】画垂线（） 【例8】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，P是 的边上一点， (1)过点P画的垂线，垂足为 H； (2)过点P画的垂线，交于点 C； (3)比较与的大小，并说明理由． 【考点题型九】垂线段最短（） 【例9】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（   ） A．垂线段最短 B．垂直的定义 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式9-1】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，，垂足为点，得到的数学依据是 ． 【变式9-2】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上． (1)若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）． (2)比较与的大小，并说明理由． 【考点题型十】点到直线的距离（） 【例10】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式10-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，点C到直线的距离是线段 的长度. 【变式10-2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，． (1)点B到的距离是 ；点A到的距是 ． (2)画出表示点C到的距离的垂线段． (3) （填“＞”“＜”“＝”），理由是 ． 【考点题型十一】同位角、内错角、同旁内角（） 【例11】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，下列说法中一定正确的是（　　） A．和是同位角 B．的同旁内角只有 C． D．的同位角只有 【变式11-1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）在如图所示的各角中，与是内错角的是 ． 【变式11-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会弯曲，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)请指出的同位角与的同旁内角． (2)淇淇使用工具测得，求的度数． 【考点题型十二】利用平行线间距离解决问题（） 【例12】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（    ）    A．始终不变 B．向右移动变小 C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大 【变式12-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）如图1，体育课上测量跳远成绩的依据是 ． （2）如图2，直线，是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积 ．（填“变”或“不变”） 【考点题型十三】平行公理的应用（） 【例13】（24-25七年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 【变式13-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【考点题型十四】同位角相等两直线平行（） 【例14】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图所示，直线被直线所截，现给出下列条件： ①；②；③④；⑤． 其中能判断的条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④⑤ 【变式14-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【变式14-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，中，，，点为线段上的点（不与点A，重合），点在的延长线上，连接，，平分．    (1)求的度数； (2)说明的理由． 【考点题型十五】内错角相等两直线平行（） 【例15】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线被直线所截，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下面是验证纸条两条边线，是否平行的不同折叠方式： （1）小明：如图①，展开后测得； （2）小丽：如图②，测得； （3）小君：如图③，展开后测得； （4）小晨：如图④，展开后测得． 则其中能判定两条边线的是 ．（填序号） 【变式15-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 【考点题型十六】同旁内角互补两直线平行（） 【例16】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，给出下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【变式16-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【考点题型十七】两直线平行同位角相等（） 【例17】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图所示，直线a、b所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成锐角的度数．现有下列两种方法：①在直线b上任取一点P，过点P作直线a的平行线，量出与直线b所成锐角的度数即为；②在画板上任取一点P，过点P分别作直线a、b的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．则下列说法正确的是（   ） A．①行 B．②行 C．①和②均行 D．①和②均不行 【变式17-1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 度，才能使． 【变式17-2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，平分，平分，，求证：． 【考点题型十八】两直线平行内错角相等（） 【例18】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，则图中与（不包括）相等的角有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式18-1】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，那么 （填“>”，“<”或“=”）． 【变式18-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知,在之间任取一点E， 连接． (1)如图1， 若求度数； (2)如图2， 猜想的数量关系，并说明理由． 【考点题型十九】两直线平行同旁内角互补（） 【例19】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．邻补角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 【变式19-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，一个㝏形管道的拐角，，的度数是 ．    【变式19-2】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）填空，将本题补充完整. 如图，已知，，，将求的过程填写完整．    解：∵（已知）， ∴______，（    ） 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（    ）， ∴______（    ）， ∵（已知）， ∴______°． 【考点题型二十】平行公理推论的应用（） 【例20】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【变式20-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么 ． 【变式20-2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【考点题型二十一】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例21】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 57．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图直线在上，为上动点，过作的角平分线交与，若．    （1）时， ． （2） ，； （3）写出数量关系： ． 58．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【考点题型二十二】根据平行线的性质求角的度数（） 【例22】（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式22-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点在上），EF为后下叉．已知，则的度数为 ． 【变式22-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，已知直线，，分别与，相交，，分别平分，．若，，求的度数． 【考点题型二十三】平行线的性质在生活中的应用（） 【例23】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行， ，若 ，则 的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式23-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【考点题型二十四】根据平行线判定与性质求角度（） 【例24】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知：直线a、b被直线c所截，，则是（   ）时，． A． B． C． D． 【变式24-1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则 【变式24-2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图所示，是的平分线，与互补． (1)写出的内错角和1个同旁内角． (2)若，求和的度数． 【考点题型二十五】根据平行线判定与性质证明（） 【例25】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇将2块含角的直角三角板按照如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边与另一块的短直角边重合，与交于点，有下列结论：①；②；③平分．其中错误的有（　　）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式25-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，当 时，． 【变式25-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）课上老师给出了一道练习题“如图，已知，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．”小明迅速给出了答案：．理由如下： （已知） （______，______．） （______，______．） 又（已知） （______） （______，______．） 读你帮助小明给出推理的理由．    【考点题型二十六】利用平移的性质求解（） 【例26】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，将沿方向平移至，且，若图中阴影部分的周长为，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 【变式26-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，将三角形沿方向平移到三角形．已知，三角形的周长为9，则四边形的周长为 ． 【变式26-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【考点题型二十七】利用平移解决实际问题（） 【例27】（24-25七年级下·河北承德·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式27-1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）某养殖场计划在内部用篱笆按如图所示的方法将一块长方形空地分割成四块区域用来养殖不同的动物（所有篱笆均与相对空地外墙平行），若空地外墙的周长为60米，则需使用的篱笆长度为 米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理+27题型解读） 清单01 相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 清单02 对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 清单03 垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 清单04 垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 清单05 点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 清单06 同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 清单07 平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 清单08 平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 清单09 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 清单10 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 清单11 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 清单12 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 清单13 生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 清单14 平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【考点题型一】写出命题的题设与结论（） 【例1】（七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（    ） ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】求一个角的补角、判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误， 综上所述判断正确的为：①②，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）命题“同位角相等”的题设是 ． 【答案】两个角是同位角 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．先把命题改写成“如果…那么…”的形式，进一步即可找出命题的题设． 【详解】解：把命题改写为：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”， 所以命题的题设是：两个角是同位角． 故答案为：两个角是同位角． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个负数之和仍为负数； (2)一个钝角与一个锐角的差是锐角． 【答案】(1)题设：两个数都是负数；结论：和为负数．正确 (2)题设：两个角是一个钝角和一个锐角；结论：这两个角的差是锐角．错误；反例：和（不唯一）． 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的题设与结论， （1）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后根据有理数的加法运算法则可判断命题的真假； （2）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后利用反例可判断此命题为假命题； 解题的关键是能对命题作出准确的判断． 【详解】（1）解：题设：两个数都是负数；结论：和为负数．正确； （2）解：题设：两个角是一个钝角和一个锐角；结论：这两个角的差是锐角．错误； 反例：和（不唯一）． 【考点题型二】判断命题真假（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中的真命题是（    ） A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角 C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角 【答案】C 【知识点】判断命题真假、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查命题真假的判定，余角，补角．掌握判定假命题常用的方法举反例是解题的关键． 利用反例对A、B、D进行判断；根据补角的定义对C进行判断． 【详解】解：A、如两锐角为与，两角之和也是锐角，所以两个锐角之和为钝角为假命题，故本选项不符合题意； B、如两锐角为与，两角之和是钝角，所以两个锐角之和为锐角为假命题，故本选项不符合题意； C、钝角的补角为锐角，所以钝角大于它的补角为真命题，故本选项符合题意； D、锐角为的余角为，所以锐角小于它的余角为假命题，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（七年级下·河北保定·阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题 【知识点】写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式2-2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【答案】(1)见解析； (2)假命题． 【知识点】写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】（）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答； （）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可； 【详解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：，但，假命题． 【考点题型三】举例说明假（真）命题（） 【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了命题与定理．例举出互为补角的两个角相等的情况即可． 【详解】解：A、，和互为补角，但，与假命题结论相反，可证明原命题为假命题，故A符合题意； B、，和不互为补角，不符合原命题的条件，故B不符合题意； C、，，和互为补角，但与假命题结论相同，故C不符合题意； D、，，和不互为补角，不符合原命题的条件，故D不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】举例说明假（真）命题、举反例 【分析】本题主要考查了举反例判断命题，只需要令a的值满足，但不满足即可． 【详解】解：当时，满足，但是， ∴用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点题型四】平面内两直线的位置关系（） 【例4】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（    ） A．与一定不平行 B．与一定平行 C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据关键语句“若与不平行, 与不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行,与不平行,则与可能相交或平行， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交. 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 【考点题型五】对顶角的定义（） 【例5】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义 【分析】此题考查直线相交所形成的角，根据对顶角的定义，同位角的定义，内错角的定义，同旁内角的定义一一判断即可． 【详解】解：．和不是两条直线被第三条直接所截形成的具有特定位置关系的角，故该选项不符合题意； ．和是内错角，原说法错误，故该选项不符合题意； ．和是同位角，原说法错误，故该选项不符合题意； ．和是同位角，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（七年级下·河北唐山·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 【答案】 2 6 【知识点】对顶角的定义 【分析】由图1可得，两条直线相交于一点，形成2对对顶角；图2三条直线相交于一点，形成6对对顶角；依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】解：如图1，图中共有对对顶角； 如图2，图中共有对对顶角； 研究图1图2小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得： 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：2，6，． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律，解题的关键是掌握，即有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【变式5-2】（七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．    (1)图中共有 对对顶角， 对内错角； (2)①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ (3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 【答案】(1)4；4 (2)①，；②和是直线被直线所截形成；同位角 (3)图见解析， 【知识点】对顶角的定义、画垂线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离 【分析】（1）根据对顶角和内错角的定义进行判断即可； （2）①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可； （3）根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知：和，和，和，和是对顶角，共4对；和，和，和，和是内错角，共4对；    故答案为：4；4 （2）①由图可知：的同旁内角是，； 故答案为：，； ②和是直线被直线所截形成的同位角； （3）如图；    由图可知：线段的长即为点G到的距离． 【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【考点题型六】对顶角相等（） 【例6】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线交于点，于点，那么与的关系是（   ） A．一对对顶角 B．相等但不是对顶角 C．一对互余的角 D．一对互补的角 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，余角的定义，由对顶角性质得，由垂直的定义得，进而可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直线交于点， ∴， ∵于点， ∴， 即， ∴， ∴与的关系是一对互余的角， 故选：． 【变式6-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点O ，平分，，若， 则的度数为 ． 【答案】/25度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的关计算，由垂直的定义得出，即可得出，由对顶角相等可得出，再根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线，相交于点，，． (1)求的度数； (2)过点画射线，并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、画垂线、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查垂线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是关键． （1）根据对顶角相等得出，根据已知可得，进而根据平角的定义，即可求解； （2）分两种情况讨论，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴ （2）解：如图，当在上方时， ∵， ∴ ∵ ∴ 如图，当在的下方时， ∵， ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 【考点题型七】垂线的定义理解（） 【例7】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列说法中正确的有（   ） ①相等的角是对顶角； ②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④如图，和是同旁内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的定义、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据对顶角的定义、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：①不正确，相等的角不一定是对顶角； ②正确，同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③不正确，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； ④不正确，和不是同旁内角； 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线、相交于点，射线，垂足为点，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】此题考查垂线的性质，对顶角的性质，根据对顶角和垂线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线段最短、点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 【考点题型八】画垂线（） 【例8】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 【变式8-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，P是 的边上一点， (1)过点P画的垂线，垂足为 H； (2)过点P画的垂线，交于点 C； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】垂线段最短、画垂线 【分析】本题主要考查了画垂线，垂线段最短，熟练掌握垂线画法，垂线段最短是解题的关键． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：，理由如下： ∵垂线段最短， ∴， 在中，， ． 【考点题型九】垂线段最短（） 【例9】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（   ） A．垂线段最短 B．垂直的定义 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故选：A． 【变式9-1】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，，垂足为点，得到的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短分析，即可求解． 【详解】解：依题意，的数学依据是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 【变式9-2】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上． (1)若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）． (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)上 (2) 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】（1）由线段的长是点C到直线的距离，可得，结合，从而可得答案． （2）由垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：∵线段的长是点C到直线的距离， ∴， ∵， ∴，重合， ∴则点D在直线上． （2），理由如下： ∵， ∴与上各点的连线段中，垂线段最短． ∴． 【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，熟记点到直线的距离的含义是解本题的关键． 【考点题型十】点到直线的距离（） 【例10】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短的知识；根据题意知，点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3，即可求解． 【详解】解：由于点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3； 故选：D． 【变式10-1】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，点C到直线的距离是线段 的长度. 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】此题主要考查点到直线的距离的判断，解题的关键是熟知点到直线的距离需要作垂线段．根据点到直线的距离的定义即可求解． 【详解】∵， ∴点到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，． (1)点B到的距离是 ；点A到的距是 ． (2)画出表示点C到的距离的垂线段． (3) （填“＞”“＜”“＝”），理由是 ． 【答案】(1)4，3 (2)见解析 (3)＞，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过C点作的垂线，垂足为D； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为4；3； （2）如图，为所作； （3），理由是垂线段最短． 故答案为：＞；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【考点题型十一】同位角、内错角、同旁内角（） 【例11】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，下列说法中一定正确的是（　　） A．和是同位角 B．的同旁内角只有 C． D．的同位角只有 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念，同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角位于两直线的中间，截线的两侧；同旁内角位于两直线的中间，截线的同旁．根据同位角、内错角、同旁内角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，正确，符合题意； B、的同旁内角有，等，故原说法错误，不符合题意； C、不一定等于，故原说法错误，不符合题意； D、的同位角有，，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）在如图所示的各角中，与是内错角的是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角，熟练掌握内错角的定义是解题的关键：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义即可求解． 【详解】解：与是内错角的是， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会弯曲，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)请指出的同位角与的同旁内角． (2)淇淇使用工具测得，求的度数． 【答案】(1)的同位角：、；的同旁内角： (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了平角的定义，角的和差，同位角，同旁内角，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； 对于（1），根据同位角，同旁内角的定义解答； 对于（2），先根据平角定义求出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：的同位角；；的同旁内角：； 直线被直线所截得出的同位角为 直线被直线所截得出的同位角为 直线被直线所截得出的同位角为． 直线被直线所截得出的同旁内角为； 直线被直线所截得出的同旁内角为； （2）解：， ． ， ． 【考点题型十二】利用平行线间距离解决问题（） 【例12】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（    ）    A．始终不变 B．向右移动变小 C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大 【答案】A 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了平行线的知识；根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变． 【详解】∵直线，点P是直线上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到直线的距离不变， ∵的底不变， ∴的高不变，面积也不变， 故选：A． 【变式12-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）如图1，体育课上测量跳远成绩的依据是 ． （2）如图2，直线，是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积 ．（填“变”或“不变”） 【答案】 垂线段最短 不变 【知识点】利用平行线间距离解决问题、垂线段最短 【分析】本题考查生活中的数学原理、平行线的性质等知识，熟记点到直线的垂线段最短；平行线间的距离相等即可解决问题，熟记相关数学性质是解决问题的关键． （1）根据垂线段最短即可解答； （2）根据平行线间的距离处处相等即可得出答案． 【详解】解：（1）体育课上测量跳远成绩的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； （2）由于直线，则平行线间的距离相等，过作，如图所示： ， 当点的位置发生变化时，点到直线的距离不变，即任意与等底同高，则当点的位置发生变化时，的面积不变， 故答案为：不变． 【考点题型十三】平行公理的应用（） 【例13】（24-25七年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 【答案】D 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意； 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式13-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【考点题型十四】同位角相等两直线平行（） 【例14】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图所示，直线被直线所截，现给出下列条件： ①；②；③④；⑤． 其中能判断的条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④⑤ 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定依次判定即可． 【详解】解∶ ①∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ②∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； ③∵，不能判定； ④当，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴不能判定； ⑤不能判定； 综上分析可知：能判断的条件的序号是①②． 故选：A． 【变式14-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 【变式14-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，中，，，点为线段上的点（不与点A，重合），点在的延长线上，连接，，平分．    (1)求的度数； (2)说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义和平行直线的判定， （1）根据三角形内角和直接求解即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，从而求得，即可证得，根据同位角相等，两直线平行即可证得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ∵，， ∴； 平分， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十五】内错角相等两直线平行（） 【例15】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线被直线所截，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于熟练掌握平行线的判定定理． 根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断作答即可． 【详解】解：若，则，故A选项不符合要求； 若，则不能得到，故B选项符合要求； 若，则，故C选项不符合要求； 若，则，故D选项不符合要求； 故选：B． 【变式15-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下面是验证纸条两条边线，是否平行的不同折叠方式： （1）小明：如图①，展开后测得； （2）小丽：如图②，测得； （3）小君：如图③，展开后测得； （4）小晨：如图④，展开后测得． 则其中能判定两条边线的是 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．本题根据平行线的判定定理，进行分析即可得解． （）  ，根据内错角相等，两直线平行进行判定；（） ，根据同位角相等，两直线平行进行判定；（） ，根据同旁内角互补，两直线平行进行判定；（），根据同旁内角相等无法判定两直线平行； 【详解】解：（）因为，所以，符合题意，故（）正确； （）因为 ， 所以   ，符合题意，故（）正确； （）因为，所以，符合题意，故（）正确； （）因为与是同旁内角，所以不一定能判定两直线平行，不符合题意，故（）错误； 故答案为：（）（）（）． 【变式15-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题： （1）根据角平分线的定义以及平行线的判定方法即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，画出角平分线，三角形的内角和定理，求出的度数，利用角平分线的性质和平角的定义求出度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）画图如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十六】同旁内角互补两直线平行（） 【例16】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，给出下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理依次判断各选项即可． 【详解】A、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； B、，则（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； C、，不能证明，故符合题意； D、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 【变式16-1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 【变式16-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行） (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可． （1）根据或者即可得出答案． （2）根据即可得出答案． （3）证明，即可得出． 【详解】（1）解∶∵， ∴， 或∵， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）． （2）∵ ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． （3）理由：，， ． 又， ， ． 【考点题型十七】两直线平行同位角相等（） 【例17】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图所示，直线a、b所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成锐角的度数．现有下列两种方法：①在直线b上任取一点P，过点P作直线a的平行线，量出与直线b所成锐角的度数即为；②在画板上任取一点P，过点P分别作直线a、b的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．则下列说法正确的是（   ） A．①行 B．②行 C．①和②均行 D．①和②均不行 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确． 故选：C． 【变式17-1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 度，才能使． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查平行线．熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键． 根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：， ． ． 故答案为：． 【变式17-2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，平分，平分，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据题意，可得，，进而，根据，可得，即可求解； 【详解】∵平分，平分， ，， ， ， ， ∴． 【考点题型十八】两直线平行内错角相等（） 【例18】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，则图中与（不包括）相等的角有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 先根据“两直线平行，同位角相等”得，再根据“两直线平行，内错角相等”得，即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 所以图中与相等的角有3个． 故选：B． 【变式18-1】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，那么 （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，做出辅助线是解题的关键． 连接，，由图可知，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 由图可知，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式18-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知,在之间任取一点E， 连接． (1)如图1， 若求度数； (2)如图2， 猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)猜想∶，理由见解析 【知识点】平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补． （1）如图1，过点E作，由平行线的性质推出，得到； （2）如图2，过点E作，由平行线的性质推出，，即可得到． 【详解】（1）解：如图1，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：猜想：，理由如下： 过点E作，如图2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十九】两直线平行同旁内角互补（） 【例19】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．邻补角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等、对顶角相等、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据邻补角性质，对顶角性质，平行线的性质依次判断即可． 【详解】解：．邻补角互补，原命题为假命题，故该选项不符合题意； ．两直线平行，内错角相等，原命题为假命题，故该选项不符合题意； ．两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，故该选项不符合题意； ．对顶角相等，原命题为真命题，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式19-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，一个㝏形管道的拐角，，的度数是 ．    【答案】/60度 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式19-2】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）填空，将本题补充完整. 如图，已知，，，将求的过程填写完整．    解：∵（已知）， ∴______，（    ） 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（    ）， ∴______（    ）， ∵（已知）， ∴______°． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；． 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】先利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，然后利用平行线的判定可得，从而利用平行线的性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【考点题型二十】平行公理推论的应用（） 【例20】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式20-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么 ． 【答案】/540度 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，平行公理的推论，掌握两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 过点作，过点作，则，那么，再相加即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式20-2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，过点作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型二十一】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例21】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】首先根据，，求出，再根据平分以及平行线的性质，求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是要熟练掌握平行线的性质． 57．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图直线在上，为上动点，过作的角平分线交与，若．    （1）时， ． （2） ，； （3）写出数量关系： ． 【答案】 （变形式也正确） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）证明，，可得，结合角平分线的定义可得答案； （2）证明，，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）得：，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴， ∵过作的角平分线交与， ∴， ∴， 故答案为： （2）当时， ∴，， ∴， 故答案为： （3）由（1）可得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 58．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键． （1）①过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解； ②过点C作，则得，从而求得；再由得，进而即可得到答案； （2）过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解； 【详解】（1）解：①如图，过点C作， 则； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，过点C作， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：；理由： 如图，过点C作， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 【考点题型二十二】根据平行线的性质求角的度数（） 【例22】（24-25七年级下·河北张家口·期中）一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据同旁内角互补，两直线平行，得出，根据，得出，由，求出进而求出即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式22-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点在上），EF为后下叉．已知，则的度数为 ． 【答案】66 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：66． 【变式22-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，已知直线，，分别与，相交，，分别平分，．若，，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，过点作，则，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，分别平分，． ∴， 如图，过点作 ∴ ∴， ∴ 【考点题型二十三】平行线的性质在生活中的应用（） 【例23】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行， ，若 ，则 的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵． ∴ 故选：C． 【变式23-1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 【考点题型二十四】根据平行线判定与性质求角度（） 【例24】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知：直线a、b被直线c所截，，则是（   ）时，． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先假设，根据平行线的性质结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式24-1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则 【答案】/53度 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质． 过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的判定及性质即可求解． 【详解】解：如图，过三角板的直角顶点A作， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式24-2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图所示，是的平分线，与互补． (1)写出的内错角和1个同旁内角． (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）根据内错角和同旁内角的定义即可得出答案； （2）根据角平分线的定义得，根据平行线的判断得，再根据平行线的性质即可得出答案． 此题考查了内错角和同旁内角的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）的内错角为，同旁内角为； （2）∵是的平分线，， ∴ ∵与互补， ∴， ∴，． 【考点题型二十五】根据平行线判定与性质证明（） 【例25】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇将2块含角的直角三角板按照如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边与另一块的短直角边重合，与交于点，有下列结论：①；②；③平分．其中错误的有（　　）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行线的判定与性质即可判断①②，由三角板可知，即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴与不垂直，故②错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确，不符合题意， 则只有②错误， 故选：B． 【变式25-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，当 时，． 【答案】 1 2 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 可先假设得到，继而可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故当时，， 故答案为：1，4． 【变式25-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）课上老师给出了一道练习题“如图，已知，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．”小明迅速给出了答案：．理由如下： （已知） （______，______．） （______，______．） 又（已知） （______） （______，______．） 读你帮助小明给出推理的理由．    【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】证明：（已知） （同旁内角互补，两直线平行．） （两直线平行，同位角相等．） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行．） 【考点题型二十六】利用平移的性质求解（） 【例26】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，将沿方向平移至，且，若图中阴影部分的周长为，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，，即得，进而得，再根据阴影部分的周长为，可得，即得到，最后求出的周长即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，， ∵， ∴， ∴， 又∵阴影部分的周长为， ∴， 即， ∴， ∴的周长， 故选：． 【变式26-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，将三角形沿方向平移到三角形．已知，三角形的周长为9，则四边形的周长为 ． 【答案】15 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，根据平移的性质得出，即可求出四边形的周长 【详解】解：∵三角形沿方向平移到三角形 ∴四边形的周长 故答案为：15． 【变式26-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． （1）根据平移的性质结合平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质结合得到； （3）由平移的性质可得，四边形的周长，即可化为，即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， 又∵， ∴， ∴平移的距离为5； （3）解：由平移的性质可得， ∴四边形的周长． 【考点题型二十七】利用平移解决实际问题（） 【例27】（24-25七年级下·河北承德·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：， 绿化区的面积是， 故选：C． 【变式27-1】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）某养殖场计划在内部用篱笆按如图所示的方法将一块长方形空地分割成四块区域用来养殖不同的动物（所有篱笆均与相对空地外墙平行），若空地外墙的周长为60米，则需使用的篱笆长度为 米． 【答案】30 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质；设长和宽为，根据长方形的对边相等，可知，可知需要使用的篱笆的长度是外墙的周长的一半，即可得出答案． 【详解】解：设长和宽为，根据题意，得， 将横向的篱笆向上方平移，则和为a米，将所有纵向的篱笆向右方平移，则和为b米， 所以，需要的篱笆长度为（米）． 故答案为：30． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$