精品解析：黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期 高一学年期中考试数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答．在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只交试卷答题页． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个. A. B. C. D. 2. 在空间中，下列命题不正确的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C. 梯形可确定一个平面 D. 任意三点能确定一个平面 3. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 4. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）. A. 12 B. 12 C. 6 D. 7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ） A B. C. D. 8. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 最大值为12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个面平行，其余各面都是梯形多面体是棱台 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C. 两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 平行于同一直线的两直线平行 10. 已知满足，则（ ） A. B. 复平面内对应的点在第一象限 C. D. 的实部与虚部之积为 11. 平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（ ） A. 时，动点形成的轨迹的长为 B. 时，的取值范围是 C. 时，存在使得 D. 且最大时，在上的投影向量为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________． 13. 如图，在中，，于点，为的中点．若，则________. 14. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，. （1）求； （2）若复数满足，求. 16. 在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角值； （2）若的面积为，，求的周长． 17. 已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为． （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球体积． 18. 已知z为复数，和均为纯虚数，其中i是虚数单位． （1）求复数z的共轭复数； （2）若复数在复平面内对应点位于实轴下方，求实数m的取值范围． 19. 中，，点在边上，平分． （1）若，求； （2）若，且的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期 高一学年期中考试数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答．在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只交试卷答题页． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确； 对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误； 对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误； 对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误. 故选：A. 2. 在空间中，下列命题不正确的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且一条直线上 B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C. 梯形可确定一个平面 D. 任意三点能确定一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解. 【详解】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确； 对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确； 对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确； 对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误； 故选：D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 如果一个棱锥各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【答案】D 【解析】 【分析】由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确. 【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误； 选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误； 选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确． 故选：D 4. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 5. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】，，， 由得：，，解得：. 故选：C. 6. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）. A. 12 B. 12 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】因为，由斜二测画法可知， 则，故为等腰直角三角形，故， 故矩形的面积为， 所以原图形的面积是， 故选：D 7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积. 【详解】设，中，， 在中，， 所以，解得， 因为，所以， 所以的面积为. 故选：C 8. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 的最大值为12 【答案】D 【解析】 【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断C；由弦的最大值判断D. 【详解】如图，过作直径，依题意， 为定值，A正确； 若，则， 则， 又，则，同理可得，故，B正确； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，C正确； 因为，则有，D错误. 故选：D 【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C. 两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 平行于同一直线的两直线平行 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误； 对于B，棱锥有一个面是多变形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误； 对于C，如图所示， 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误； 对于D，由平行线的传递性可知D正确. 故选：ABC. 10. 已知满足，则（ ） A. B. 复平面内对应的点在第一象限 C. D. 的实部与虚部之积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确. 【详解】设， 则由已知得，即， 所以解得 所以，则，故A项正确，B项错误； ，的实部为，虚部为1， 所以的实部与虚部之积为，故C，D项正确. 故选：ACD 11. 平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（ ） A. 时，动点形成的轨迹的长为 B. 时，的取值范围是 C. 时，存在使得 D. 且最大时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图形特征建立平面直角坐标系，通过从而得到动点轨迹方程进而判断A；时在线段上，从而判断B；若，，则，通过解方程进而判断C；通过图形特征以及投影向量的相关概念判断D. 【详解】在平行四边形ABCD中，作，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则， 所以，则， 对于A，，则， 所以，由，得到， 所以动点P形成的轨迹的长为，故A正确； 对于B，若，则在线段上（含端点），所以的取值范围是，故B错误； 对于C，若，，则，所以， 所以令，所以符合题意，所以时，存在使得，故C正确； 对于D，过点作，若，则在上， 又因为最大，所以与重合，作， 则在上的投影向量为， 由， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题考查平面向量综合问题，该类问题常见的处理方法为： （1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解； （2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解； （3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设母线为，高为，由侧面积公式求出，即可求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的上底面半径，下底面的半径，其侧面积为，设母线为，高为， 所以，即，解得， 所以， 所以该圆台的体积. 故答案为： 13. 如图，在中，，于点，为的中点．若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形边长和角度，以为基底表示出，即可得. 【详解】在中，，∴， 又因为，可得； 可得， ∵为的中点， 所以，由， 因此. 故答案为： 14. 已知锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，利用同角三角函数平方关系得到，，由正弦定理和正弦和角公式得到，根据为锐角三角形，得到，得到，得到答案. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，所以， 又，所以，解得或， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 其中， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 所以，所以， 所以，， 故. 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，. （1）求； （2）若复数满足，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据复数的模长公式即可求解. （2）根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以或（舍去）， 故 【小问2详解】 设， 则， 所以解得或 所以或 16. 在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角； （2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长. 【小问1详解】 由，得 由正弦定理，得． ． ． 又， ． 又， ． 又， ． 【小问2详解】 由（1）知， ① 又，故， ，② 又， 由①②，得，故， ∴， 故，周长为. 17. 已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为． （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知得出，，再由三角形面积公式得出，从而得出以及圆锥的侧面积. （2）画出截面图形，先由相似三角形知识求出内切球半径，再由体积公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 令圆锥母线长、底面半径分别为l、r， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，， 又， 又因为的面积为， ∴， 又，所以， ∴侧面积为． 【小问2详解】 如图所示： 设内切球半径为，球心在上面，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高， 则有，解得， 所以圆锥的内切球体积为. 18. 已知z为复数，和均为纯虚数，其中i是虚数单位． （1）求复数z的共轭复数； （2）若复数在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，可知，根据复数的除法运算，化简根据题意，即可得出，根据共轭复数的概念，即可得出答案； （2）代入化简可得复数为，根据复数的几何意义，结合已知可得，求解即可得出答案. 【小问1详解】 设， 则. 因为为纯虚数，所以，且， 所以， 所以. 因为为纯虚数，所以，所以， 所以，，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，复数在复平面内对应的点为. 由题意可知，，解得或，且， 所以，实数m的取值范围为. 19. 中，，点边上，平分． （1）若，求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系，求出，的正余弦值，再由互补关系求出； （2）由和的面积为，分别求出和，再根据余弦定理求出的值. 【小问1详解】 由正弦定理得，AB＝2AC，C＞B， 又∵，∴， ∵， ∵AB＝2AC，∴C＞B，即大边对大角，， 又∵，∴， ∵， ∴ 或， 【小问2详解】 设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，∴AD＝AC＝t， ∵，∴， ∴， ∵为三角形的内角，，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴， 在△ABC中，运用余弦定理可得， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$