专题10 空间直线、平面的垂直问题4种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题10 空间直线、平面的垂直问题 4种常考压轴题归类 一、直线与平面垂直的判定定理与性质定理：　　 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 二、平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 压轴题型一：线线垂直的证明 满分技法 （1）勾股定理：若直线相交且已知长度关系可以考虑勾股定理证明两直线相交； （2）线面垂直的性质定理：两个直线是异面直线，可以考虑一条直线垂直包含另一条直线的平面，利用线面垂直的性质证明线线垂直. （3）证明异面直线所成角为直角. 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）在直三棱柱中，，点为线段的中点. (1)证明：； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 2．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 5．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 压轴题型二：线面垂直的证明 满分技法 （1）线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直； （2）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直； （3）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 解题角度：利用线面垂直的判定定理证线面垂直 利用面面垂直的性质定理证线面垂直 6．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 7．（23-24高一下·天津滨海新·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 8．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 9．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 10．（24-25高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 11．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 12．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 14．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.    (1)求证：； (2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 压轴题型三：面面垂直的证明 满分技法 （1）定义法：作出二面角的平面角，然后证明二面角是直角； （2）面面垂直的判定定理：即证明一个平面经过另一个平面的垂线． 15．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点. (1)求证：∥平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：平面平面. 16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四面体中，平面BCD，，． (1)求证：平面平面； (2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，. (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求过点A₁，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值. 18．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面平面； (2)若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 压轴题型四：垂直中的探索性问题 满分技法 1.明确垂直类型，聚焦线线、线面、面面垂直，线线垂直可通过勾股定理、等腰三角形三线合一或线面垂直性质证明；线面垂直需证直线垂直平面内两相交线（常找三角形直角、矩形邻边等）；面面垂直转化为证线面垂直。 2.逆向假设存在，设动点位置，从结论出发倒推所需垂直关系，通过几何特征（如直棱柱侧棱垂直底面、正棱锥高垂直底面）构造垂直条件，利用相似三角形、比例线段推导参数。 3.分层验证逻辑，先证线线垂直，再推线面或面面垂直，注意 “线在面内”“线面交线” 等隐含条件，避免逻辑断层，确保每步推导符合几何定理。 20．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 21．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 23．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 24．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图1，在中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面交于过的直线，求证； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由. 25．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图， 四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由. 1．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 2．（23-24高一下·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 3．（23-24高一下·广西百色·期末）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 4．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 5．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（23-24高一下·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若，证明 7．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值的最大值. 10．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点. (1)求四棱锥的体积； (2)若是的中点，求证：平面； (3)直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 13．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 14．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 15．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高一下·重庆·期中）已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间直线、平面的垂直问题 4种常考压轴题归类 一、直线与平面垂直的判定定理与性质定理：　　 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 二、平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 压轴题型一：线线垂直的证明 √满分技法 （1）勾股定理：若直线相交且已知长度关系可以考虑勾股定理证明两直线相交； （2）线面垂直的性质定理：两个直线是异面直线，可以考虑一条直线垂直包含另一条直线的平面，利用线面垂直的性质证明线线垂直. （3）证明异面直线所成角为直角. 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）在直三棱柱中，，点为线段的中点. (1)证明：； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知易证平面，进而可得平面，可得结论； （2）取中点，连接，，可得或其补角为直线与直线所成的角，据此计算即可. 【详解】（1）由直三棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以； （2）取中点，连接， 因为点为线段的中点，所以， 所以或其补角为直线与直线所成的角， 在中，可得， 在中，则， 在中，则，所以， 在中，则， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 2．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交于，连结，可得，即可证得平面； （2）通过证明，即可得平面，进而可得； （3）通过体积转化得，再求出直四棱柱底面面积，根据柱体的体积公式即可求解. 【详解】（1）如图，连结，设交于，连结， 因为底面是菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在直四棱柱中，平面， 平面，所以， 又底面是菱形，所以， 因为平面，且， 所以平面，又平面， 所以. （3）设到平面的距离为， 则， 而直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，， 所以菱形的面积为， 所以. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系，取的中点，根据等腰三角形的性质，证明平面； （2）根据线线垂直，证明平面，再根据线面垂直关系说明，再根据（1）的结果，证明线面垂直. 【详解】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）易证平面，得到，再由平面．得到，进而可求证； （2）由条件得到平面．再结合（1）得到，进而得到平面．即可求证. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 5．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥的体积公式即可； （2）作辅助线，且，得出，再利用线面平行的判定定理即可； （3）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的定义可得. 【详解】（1）因底面，则为四棱锥的高， 因，正方形的边长为， 则四棱锥的体积为； （2）连接，且，连接， 因四边形为正方形，则为线段的中点， 又为侧棱的中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； （3）因四边形为正方形，则， 又平面，平面，则， 因，平面，平面，则平面， 又平面，则. 压轴题型二：线面垂直的证明 √满分技法 （1）线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直； （2）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直； （3）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 解题角度：利用线面垂直的判定定理证线面垂直 利用面面垂直的性质定理证线面垂直 6．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知证明，由线面垂直得到，再由线面垂直的判定证明结论； （2）若是的中点，易得，异面直线与所成的角为，利用线面垂直的判定及性质证明相关线段垂直，并求出相关线段的长度，应用等体积法求点面距. 【详解】（1）由，，，，即为直角梯形， 所以，， 所以，即， 又平面，平面，则， 由平面，故平面； （2）若是的中点，则，故为平行四边形，    所以且，故异面直线与所成的角，即为， 由平面，平面，则， 又，易知，则， 所以，则， 由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 由，，则，而平面， 所以平面，平面，则， 故， 所以，而，且， 设点B到平面的距离为， 则，即，可得. 7．（23-24高一下·天津滨海新·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由正方体性质和线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）作出异面直线所成角的平面角，在中由正切函数定义即可求得结果； （3）由点到平面的距离与点到平面的距离相等，利用等体积法计算即可求得结果. 【详解】（1）由正方体性质可知平面， 而平面，所以，即 由四边形为正方形，可得； 又，平面， 所以平面； （2）易知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，易知，且， 因此， 即异面直线与所成角的正切值为； （3）易知点到平面的距离与点到平面的距离相等， 易知三棱锥中，且； 所以， 设点到平面的距离为， 由可得， 解得； 即点到平面的距离为. 8．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行. （2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直. （3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值. 【详解】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质得线线平行，即可证明线面平行； （2）利用线面垂直的性质与判定定理得，结合等腰三角形的性质即可得线面垂直； （3）利用等体积法及三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面；    （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 10．（24-25高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为Q，连接，先证出四边形是平行四边形，进而得出，再由线面垂直的性质及判定即可证明； （2）过点A作于H，得出为直线与平面所成角，求得，再得出或其补角为直线与直线所成角，连接，由余弦定理即可求解． 【详解】（1）如图： 取中点为Q，连接， 因为，，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为， 所以三点共圆，且圆心为， 所以，即， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面． （2）如图： 过点A作于H， 由（Ⅰ）知平面，又平面， 所以，又， ，平面， 所以平面， 所以为在平面内的射影，为直线与平面所成角， 设， 在直角三角形中，， 解得， 由（Ⅰ）知四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角为直线与直线所成角， 连接，， 在中，，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 11．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，结合圆柱的结构特征推理得证. （2）由线面角求出，进而求出三棱锥的体积. 【详解】（1）在圆柱中，平面，平面，则， 由点在以为直径的圆上（除外），得， 而平面，则平面，又平面， 因此，又，平面， 所以平面. （2）由平面，得是直线DE与平面所成的角，则， 在中，， 而，则， 又， 所以三棱锥的体积. 12．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，则有平面； （2）取棱的中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （3）由，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等，由平面，直线与平面所成角为，在中，求正弦值. 【详解】（1）连接，如图所示，    因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，如图所示，   为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示，    因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由等腰三角形的性质得出，再根据面面垂直的性质即可证明； （2）设点到平面的距离为，根据等体积法求得，即可用反三角函数得出直线与平面所成角． 【详解】（1）因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）同理（1）得，平面，又平面， 所以， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 在中，，所以， 则， ， 设点到平面的距离为，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角为． 14．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.    (1)求证：； (2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）①根据（1）的结合，结合线面角的定义，即可求解； ②首先利用面面平行的性质定理，构造平面，设，通过几何关系表示，即可求解线段长度的最小值. 【详解】（1）证明：作 因为平面平面PBC，平面平面平面PAC 所以平面PBC 因为平面PBC 所以 因为平面平面ABC，所以    因为平面PAC 所以平面PAC， 又平面PAC，所以 （2）①由（1）得平面PAC 所以为在平面的射影，为与平面所成角 在中，， 在直角中， 所以与平面所成角的正切值为 ②过作的垂线，垂足为，过作，交于 因为平面平面，所以 又因为平面 所以 因为平面平面PAC，所以平面PAC 同理平面 因为平面FQN，所以平面平面 因为平面，所以平面 设 所以 在直角中， 当时，    压轴题型三：面面垂直的证明 √满分技法 （1）定义法：作出二面角的平面角，然后证明二面角是直角； （2）面面垂直的判定定理：即证明一个平面经过另一个平面的垂线． 15．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点. (1)求证：∥平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）做辅助线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理运算求解； （3）根据线面垂直可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）设，连接，可知为的中点， 因为D为AB的中点，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为∥，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由题意可知：， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）因为，且D为AB的中点，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 由平面，可知平面平面. 16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四面体中，平面BCD，，． (1)求证：平面平面； (2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面推出，由勾股定理证得，利用线线垂直即可证得线面垂直，继而推得面面垂直； （2）连接CM, 由 平面推得为BM与平面ADC所的角，求出相关边长，在中，利用三角函数的定义求解即得. 【详解】（1）∵平面，平面∴， 又∵，，∴，即， 因平面，故平面 因平面ABC，故平面平面． （2） （2）由（1）知平面， 连接CM，则CM是BM在平面上的射影， ∴为BM与平面ADC所的角， ∴M为AD的中点， 则在中，因，则，， 则，从而． 即直线BM和平面ADC所成的角的余弦值为. 17．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正四棱柱中，，底面中心为O，点E在棱上，且，. (1)当时，证明：平面平面； (2)当时，求过点A₁，E，O的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，进而可证平面，再由面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）根据题意将截面做出来，易知，只需计算的最大值即可，因此需要求出相应的边长，利用面积公式求出，结合二次函数即可求最大值. 【详解】（1）由已知得点E是的中点，且平面. 由可得. 所以， 因为， 故即. 由正四棱柱可知平面， 因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）延长，交于，设过点的截面与棱的公共点为G，连. 由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形 由，得.从而， ， 设，在中由余弦定理得： 故当时，取得最小值，从而 故截面四边形的最小值为. 18．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面平面； (2)若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作于点，借助三角形全等及余弦定理、勾股定理证明直二面角即可得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离，利用余弦定理求出，再利用公式法求出线面角的正弦. 【详解】（1）过点作于点，连接，由，，为公共边， 得，则，，因此， ，是二面角的平面角， 在中，，则， 则，， 又，则，即，因此二面角的平面角为直角， 所以平面平面. （2）设点到平面的距离为，由（1）得， 平面，又，则，即， 由，得， 则， 在中，，则 而，即，， 因此，解得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【详解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 压轴题型四：垂直中的探索性问题 √满分技法 1.明确垂直类型，聚焦线线、线面、面面垂直，线线垂直可通过勾股定理、等腰三角形三线合一或线面垂直性质证明；线面垂直需证直线垂直平面内两相交线（常找三角形直角、矩形邻边等）；面面垂直转化为证线面垂直。 2.逆向假设存在，设动点位置，从结论出发倒推所需垂直关系，通过几何特征（如直棱柱侧棱垂直底面、正棱锥高垂直底面）构造垂直条件，利用相似三角形、比例线段推导参数。 3.分层验证逻辑，先证线线垂直，再推线面或面面垂直，注意 “线在面内”“线面交线” 等隐含条件，避免逻辑断层，确保每步推导符合几何定理。 20．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行； （2）利用面面垂直可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （3）当N为中点时，由中位线可得线线平行，据此可得线面垂直，即可得解. 【详解】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. （3）存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面，  所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 21．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 22．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知，结合余弦定理即可求得异面直线和的夹角的余弦值． 【详解】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 23．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可； （2）先证明面面垂直再得出线面垂直进而得出相似比计算即可. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面平面,所以； 又因为M是的中点，所以， 因为平面平面,所以平面. （2）由（1）可知平面，因为平面， 则平面平面， 在平面内过点A作交于点Q，平面平面， 因此平面，于是点Q即为所要找的点, 如图7所示，显然， 因此，即有， 于是，所以. 24．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图1，在中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面交于过的直线，求证； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. (3)在线段上存在点，即为的中点,使得平面. 【分析】（1）先证明，根据线面垂直的判断定理得平面，再由面面垂直的判断定理即可证明； （2）先证明平面，再由平面，且平面平面，根据线面平行的性质得. （3）线段上存在点，即为的中点，取中点，连接，证明平面，再由四点在同一个平面得到平面. 【详解】（1）因为在中，分别为中点， 所以， 将翻折到的位置后，即， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）因为在中，分别为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且平面平面， 所以. （3）在线段上存在点，即为的中点，使得平面. 证明如下： 取中点，连接， 由（1）可知，平面， 因为平面， 所以， 因为为中点， 所以，即为等腰三角形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，即， 所以四点在同一个平面. 所以平面.    25．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图， 四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在，证明见详解 【分析】（1）连接，由可得，，分别为和的中点，则，即可证得平面； （2）取AD中点M，连接PM，BM，则得，，则平面，进而平面平面. 【详解】（1） 连接，因为底面是菱形，为的中点， 所以在上且为的中点， 又因为是的中点，， 又平面，平面， 平面； （2）存在，证明如下： 取AD中点M，连接PM，BM， ， 又是菱形，是等边三角形， 而平面， 平面，平面， ∴平面平面. 1．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）依题意可得、，即可得到平面，从而得证； （2）设，连接，即可得到为的中点，根据线面平行的性质得到，即可得证； （3）由线面平行的判定定理得出点在靠近点的三等分点处，再证得平面，所以即为与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）底面平面， 又底面为正方形，， 而，平面，平面， 又平面平面平面； （2）设，连接，因为为正方形，所以为的中点， 又平面，平面，平面平面， 所以， 又为的中点，所以为的中点； （3）存在点在靠近点的三等分点处，即，使得平面． 在线段上取点，使，连接，，． ∵中，，即， ∴且， 在正方形中，点在靠近点的三等分点处，∴且， ∴且，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 取靠近点的三等分点为，连接． 中，点，分别为的三等分点，∴，且， ∵平面，∴平面， ∴在平面上的射影， ∴即为与底面所成角，                           在中，，若，所以，∴， 2．（23-24高一下·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接，利用三角形的中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由面面垂直的性质可证得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，则直线与平面所成角为，从而可求得答案； （3）当时，可证得平面平面，设，然后在等腰直角三角形中利用平面向量的知识计算即可. 【详解】（1）证明：设，连接， 因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面 （2）因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方形的边长为2，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在，当时，平面平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设，则，所以， 由（2）知平面， 因为平面，所以，所以， 因为， ， 所以， 所以，得，解得， 所以当时，平面平面. 3．（23-24高一下·广西百色·期末）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得. （2）由（1）的信息，确定二面角的平面角，再计算大小. （3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心， 平面，而平面，则，又 ， 平面，，于是平面，而 平面， 所以. （2）连接，由（1）知，平面，而平面，则， 于是是二面角的平面角，令正方形边长为， 则，有，又， 则，， 因此，，所以二面角的大小为. （3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN， 由平面，平面，得平面， 由是的中点，得，而平面，平面，得平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 则平面，由（2）知，，即点是中点， 于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，. 【点睛】关键点睛：本题是探求过定点的直线与已知平面平行的问题，过定点作与已知平面平行的平面是关键. 4．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE 【分析】（1）根据题意可得，，可得平面PAC，即可得面面垂直； （2）取的中点，可证平面CMN∥平面PAE，结合平行性质分析求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，则， 又因为底面ABCD为菱形，则， 且，平面PAC，可得平面PAC， 由平面，可得平面平面PAC. （2）存在，理由如下： 取的中点，连接， 则∥，则平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 因为分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 又因为，平面CMN，可得平面CMN∥平面PAE， 由题意可知：平面，， 若CF∥平面PAE，则平面CMN，可知点即为点N， 所以存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE. 5．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 6．（23-24高一下·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若，证明 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由空间中垂直关系的转化可证平面，故可证平面平面； （2）由线面平行的判断定理可证面，再由线面平行的性质定理可证. 【详解】（1）因为底面，平面，所以． 因为为正方形，所以，             又因为，平面，平面， 所以平面．                            因为平面，所以． 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为底面为正方形，所以 又∵面，面，∴面， 又因为，所以. 7．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据条件有，，利用线面垂直的判定定理，得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可求解； （2）作于，根据条件可得平面，再利用，可得点到平面的距离，由线面角的定义，即可求解； （3）利用等体积法，即可求解. 【详解】（1）∵，， 又，，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）作于，因为平面， 由（1）知平面，所以， 又，、平面， 所以平面，连结， ∵，∴点到平面的距离等于点到平面的距离， 设直线与平面所成角为， 又，， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知平面，设点到平面的距离为， 又，则，得到， 又，，， 所以. 8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，结合，可得平面； （2）由题意可得与平面所成角即为与平面所成角，过作于，连接，可得，可求得，利用等体积法可求得到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为. 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值的最大值. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）. (2)1 【分析】（1）（i）利用勾股定理求证，再利用线面垂直的判定定理求证即可； （ii）利用等体积计算三棱锥的体积即可； （2）过作于点，求证平面，再设，得出，得出，再令，化简得出，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）（i）由题意可得， 则，即， 又平面，则平面； （ii）由（i）可知，为三棱锥的高， 则. 则三棱锥的体积为. （2）取的中点为，连接，则，则， 因为的中点，所以， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面， 过作于点， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 则是直线与平面的所成角， 设，则， 若，则， 则； 若，则， 则， 则， 令，则， 则， 则 ， 因，当且仅当，即时取得等号， 则， 故直线与平面所成角的正切值的最大值为1. 10．（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，根据三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；方法二：取的中点为，连接，可证得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论； （2）由已知线面垂直可得，再结合可证得平面，则，再由等腰三角形的性质可得，则平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则. 又平面平面， 所以平面. 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点. (1)求四棱锥的体积； (2)若是的中点，求证：平面； (3)直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)垂直，证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用线面垂直的判定定理可得为四棱锥底面上的高，再根据四棱锥的体积公式求解即可； （2）连接交于，连接，利用中位线证明，结合线面平行的判定定理证明即可； （3）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四棱锥中，侧棱和底面边长都等于， 所以底面是菱形，是等腰三角形，是中点， 所以，同理可得， 因为平面，，所以平面， 所以为四棱锥底面上的高， 又因为，所以底面是正方形， 所以，， 所以四棱锥的体积为. （2）如图，连接交于，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （3）不论点在侧棱的任何位置，都有， 证明：由（1）可知，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，此时与点在侧棱的位置无关. 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）由题设先证明得，再由正三棱柱的结构有平面平面且，应用面面、线面垂直的性质得，最后由线面垂直的判定证明结论. 【详解】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点， 又分别为中点，则， 由平面，平面，则平面； （2）由分别为中点，则， 在正三棱柱中且，则， 所以，则， 由为正三角形，为中点，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面. 13．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直； （2）利用等体积法可求点到面的距离； （3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 14．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明平面，只需证明（由正方形性质可得），，要证，只需证明平面即可. （2）作，垂足为，连接，从而为直线与平面所成的角，只需解直角三角形即可. （3）作，交于，连接，可以证明，故只需解直角三角形求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； （3） 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 15．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即得. （3）由（2）求得，再在上取点，利用线面平行的判定推理得解. 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ，于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，在上取点，使， 则，，而平面平面，平面，因此平面， 所以线段上存在点N，使得平面，. 16．（24-25高一下·重庆·期中）已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）利用线面平行的判定性质证得，利用异面直线的定义求解. （3）将四棱锥补形成正四棱柱，作出直线与平面所成角，再利用几何法求线面角列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由平面，平面， 得，由正方形，得，而平面， 所以平面. （2）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面，因此， 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 因此，，则，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （3）在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形成正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接，由平面， 得，而平面，则平面， 是直线与平面所成的角，取中点，连接， 由是的中点，则，平面，而平面， 则，设则，，则， 而，由直线与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，解得或， 所以或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$