专题09 空间直线、平面的平行问题4种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题09 空间直线、平面的平行问题 4种常考压轴题归类 一、直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 二、直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 四、两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 压轴题型一：线线平行 满分技法 （1）如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行； （2）垂直于同一平面的两个直线平行 （3）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 （4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 解题角度：利用线面平行的性质证线线平行 利用面面平行的性质证线面平行 利用线面垂直的性质证线面平行 1．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 2．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 3．（23-24高一下·海南海口·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 5．（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 压轴题型二：线面平行 满分技法 （1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； （2）面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 解题角度：利用线面平行的判定定理证线面平行 利用面面平行的性质定理证线面平行 7．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 8．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 9．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. (1)求； (2)求证： 平面； (3)求三棱锥的体积. 10．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 11．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 12．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 13．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.    (1)证明：平面. (2)证明：直线、、交于同一点. (3)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 14．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 压轴题型三：面面平行 满分技法 （1）一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）平行于同一个平面的两个平面平行. 16．（24-25高一下·浙江·期中）已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．    (1)证明：平面平面； (2)求棱的长； (3)求几何体的表面积． 17．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 19．（24-25高一下·天津南开·期中）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值． 20．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 压轴题型四：平行中的探索性问题 满分技法 1.紧扣定理条件，探索线面平行时，聚焦 “平面外一线与平面内一线平行”，尝试构造三角形中位线、平行四边形或利用面面平行性质转移平行关系；探索面面平行则需证两组相交线分别平行。 2.逆向构造辅助线，假设结论成立，从目标平行关系出发，在几何体中找或作关键线（如过动点作已知线平行线），结合几何体结构特征（如棱柱棱平行、棱台中对应边比例）推导参数。 3.验证几何合理性，注意线面平行的 “面外” 隐含条件，避免忽略线在面内等特殊情形，确保构造的图形符合立体几何基本性质。 21．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，， ． (1)求二面角的大小； (2)求三棱锥的体积； (3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由. 24．（24-25高一下·广西贵港·期中）如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)证明：平面； (2)设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面?若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由. 3．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 6．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 7．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 8．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）如图，直四棱柱的底面为菱形，，，，M，N分别为BC，中点． (1)证明：平面； (2)平面将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为；较小的体积为，求，的值． 9．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 10．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，正四棱锥中，，，E为SC中点. (1)求证：平面BDE； (2)求该正四棱锥的外接球的表面积； (3)求三棱锥的表面积和体积. 11．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.    (1)求证：为的中点； (2)求到平面的距离. 12．（24-25高一下·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 空间直线、平面的平行问题 4种常考压轴题归类 一、直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 二、直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 四、两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 压轴题型一：线线平行 √满分技法 （1）如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行； （2）垂直于同一平面的两个直线平行 （3）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 （4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 解题角度：利用线面平行的性质证线线平行 利用面面平行的性质证线面平行 利用线面垂直的性质证线面平行 1．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 2．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 3．（23-24高一下·海南海口·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】 （1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 4．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【详解】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以； 5．（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，3 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质即可得结果； （2）根据平行关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （3）取中点，连接，，可证平面∥平面，根据面面平行的性质可得，再结合平行线的性质运算求解. 【详解】（1）因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可知∥平面， 又因为平面平面，平面， 所以. （2）取中点，连接，，    则，且， 可知，则四边形为平行四边形，可得， 且平面，平面， 所以∥平面. （3）存在，使平面，，理由如下： 取中点，连接，，    则∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，，平面， 所以平面∥平面， 平面平面，平面平面， 可得， 因为为中点，且为中点，可得， 又因为，所以. 6．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连交于，由重心可得为的中点，由已知借助三角形全等证得，再由线面垂直的判定、性质推理即得. （2）由给定条件，证得三棱锥为正四面体，进而证得平面，再用线面垂直的性质得结论. 【详解】（1）在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点， 由，，，得，则， 因此，，又平面， 于是平面，而平面，则，又， 所以. （2）由，，得为正三角形；同理也为正三角形， 则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由为的重心，得平面，菱形中，过的中点， 即直线与平面的交点为的中点，因此不在直线上，又平面， 所以. 压轴题型二：线面平行 √满分技法 （1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； （2）面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 解题角度：利用线面平行的判定定理证线面平行 利用面面平行的性质定理证线面平行 7．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)截面如图所示，. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）设为线段靠近点的三等分点，通过证明平面即可求解； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）设线段的中点，连接， 因为， 所以分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）设为线段靠近点的三等分点，连接，设，连接， 因为底面为梯形，所以，所以，即, 因为，所以， 因为又平面，平面， 所以平面， 要使平面，则与重合，故； （3）设线段的中点，连接， 因为为棱的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，如图所示， 则，，，，， 在中，， 所以，则， 所以截面周长为. 8．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用锥体、柱体体积公式，结合割补法求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）平面，由D为棱的中点，得，， 于是， 所以. 9．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. (1)求； (2)求证： 平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理即可求解； （2）连接，设，连接，利用中位线的性质可得出 ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （3）由（2）可知，则点到平面的距离等于点到平面的距离，则，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）. 所以. 又由，可得，所以. （2）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则，因为平面平面， 因此平面. （3）因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以. 在中，为的中点，， 所以. 因此. 10．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接CE，先根据平行四边形的定义及性质证明，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，利用基本事实得B，C，G，F四点共面，然后利用线面平行的性质定理得，然后利用平行四边形的性质确定点的位置. 【详解】（1）连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点.    11．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离. 【详解】（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题设， 在中，，， 得， ， ， 设点B到平面的距离为h，又， 所以，则，从而. 12．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2）∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 13．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.    (1)证明：平面. (2)证明：直线、、交于同一点. (3)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定可证得结论成立； （2）证明出与相交，设，证明出为平面、平面的公共点，结合基本事实可证得结论成立； （3）设的面积为，三棱柱的高为，计算出三棱柱的体积和三棱台的体积，即可求出的值. 【详解】（1）因为，，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知，. 因为，，所以，，则直线与相交. 设直线与的交点为， 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以点在直线上， 即直线、、交于点.    （3）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积. 因为，所以，且， 所以的面积， 则三棱台的体积， 故. 14．（24-25高一下·山东·期中）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）（i）根据线面平行的性质定理证明即可； （ii）利用面面平行的判定定理可证明平面平面，再由其性质可得结论. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行，最后由面面平行性质证明线面平行. 【详解】因为四边形是菱形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． 压轴题型三：面面平行 √满分技法 （1）一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）平行于同一个平面的两个平面平行. 16．（24-25高一下·浙江·期中）已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．    (1)证明：平面平面； (2)求棱的长； (3)求几何体的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据长方体的性质得到、，即可得证； （2）设，，，根据外接球的表面积及棱柱、棱锥的体积公式得到方程组，解得即可； （3）根据表面积公式计算可得. 【详解】（1）根据长方体的性质可知且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面； （2）设，，， 又（为长方体外接球半径）， 又外接球的表面积为，即，所以， ∴①； 又， ∴②； 由①②解得或（舍去），∴棱长为； （3）若，，，则， ，，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 所以 . 17．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)作图见解析. 【分析】（1）利用平行公理，结合正方体的结构特征证明即可. （2）利用面面平行的判定推理得证. （3）过作直线交的延长线分别于，连接相关线段即可. 【详解】（1）在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，由四边形为正方体的对角面， 得四边形是矩形，则，因此， 所以，，，四点共面. （2）连接， 由，分别是，的中点，得， 又平面，平面，则平面， 而，且，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，因此平面， 又平面，所以平面平面． （3）过作直线交的延长线分别于， 连接分别交于，连接， 由，得，直线平面平面平面 因此五边形是平面截正方体所得截面，如图， 所以是平面与正方体侧面的交线. 18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面,平面,再根据面面平行的判定定理证明即可； （2）设三棱台的高为，先计算三棱台的体积，再计算三棱锥的体积，从而得几何体的体积，最后求比值即可. 【详解】（1）由题意，,为等边三角形， 故为等边三角形，,, 在三棱台中， 故,且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 又因为,, 且, 所以相似于, 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 因为,平面,平面, 所以平面平面. （2）设三棱台的高为， 则， ， 所以， ， 所以， 所以. 19．（24-25高一下·天津南开·期中）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）由（1）得平面，再证明平面，根据面面平行的判定定理即可证明结论； （3）设三棱柱的底面积为，高为，根据几何体体积公式，求得三棱柱和三棱台的体积，作差可得另一个多面体的体积，比较大小后，作商化简即可. 【详解】（1）分别是的中点， ， 又平面，平面， 所以平面． （2）分别为中点， 故， 又，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面 又由（1）知平面，且平面，， 平面平面． （3）设三棱柱的底面积为，高为，则其体积为， 平面将三棱柱分割成三棱台和多面体两部分， 设三棱台的体积为，多面体的体积为， 因为分别为中点，所以， 则， ， 又，所以，， 故． 20．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由图形的几何关系证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）结合（1）再利用线面平行的判定定理证明平面，然后由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 压轴题型四：平行中的探索性问题 √满分技法 1.紧扣定理条件，探索线面平行时，聚焦 “平面外一线与平面内一线平行”，尝试构造三角形中位线、平行四边形或利用面面平行性质转移平行关系；探索面面平行则需证两组相交线分别平行。 2.逆向构造辅助线，假设结论成立，从目标平行关系出发，在几何体中找或作关键线（如过动点作已知线平行线），结合几何体结构特征（如棱柱棱平行、棱台中对应边比例）推导参数。 3.验证几何合理性，注意线面平行的 “面外” 隐含条件，避免忽略线在面内等特殊情形，确保构造的图形符合立体几何基本性质。 21．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的图形几何性质以及异面直线夹角的求法即可得到答案； （2）平面公理与线面平行性质定理可得为中点，从而可得结论. 【详解】（1）因为，是的中点，所以，， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，， 又因为，所以四边形为平行四边形，则， 则，则直线与所成的角的大小为. （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 综上，四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 22．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，， ． (1)求二面角的大小； (2)求三棱锥的体积； (3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点分别作，，得到为二面角的平面角，结合，即可求解； （2）过点作，证得平面，得到，进而证得平面，且，结合锥体的体积公式，即可求解； （3）当点在线段上时，由，得到，证得平面，得到，求得，即可求解. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，，所以，， 由已知得，所以． （2）过点作，垂足为， 因为，，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为，所以． （3）假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为，所以， 因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 综上，在直线上存在点，使平面，此时的值为． 23．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得∥面，在利用线面平行的性质证得∥； （3）取中点，连接，，利用面面平行的判定证明平面∥平面，再利用面面平行的性质即可证明∥平面. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ∥ 又∥ ∥ 四边形为平行四边形， ∥， 又平面，平面，∥平面； （2）在梯形中，∥， 又面，面， ∥面， 面，面面   ∥   ∥ （3）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ∥， 平面，平面， 平面， 又由（1）可得∥平面，，、平面 平面∥平面， 是上的动点，平面， ∥平面， 当为中点时，∥平面. 24．（24-25高一下·广西贵港·期中）如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，． 【分析】（1）利用中位线定理及确定平面的条件即可证明； （2）利用线面平行的判定定理即可证明； （3）根据面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】（1）证明：如图1，连接． 因为分别是线段的中点，所以． 又，所以，所以，所以四点共面． （2）证明：由（1）得． 因为平面，平面，所以平面． （3）如图2，在线段上取一点，使得， 作，交于点，连接． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 因为，，所以， 因为，所以． 故在棱上存在一点，使得平面，且． 25．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 【答案】(1)该几何体的体积为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由条件可得该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，结合圆柱体积公式求结论； （2）证明，由线面平行的判定定理可得； （3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，由此可得为的中点，再利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）因为几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， 所以该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的， 所以该几何体的体积为， （2）连接， 因为P是上的中点，则，是中点， 又Q是AC的中点，所以， 平面，平面， 所以平面； （3）连接， 因为平面平面， 设平面平面，又平面平面， 则，因为是的中点， 所以为的中点，为的中点， 因为平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又， 所以， 因为，， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)证明：平面； (2)设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面?若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平行，证明见解析 (3)存在，轨迹及证明见解析 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据线面平行证明线线平行； （3）根据线线平行证明面面平行，进而判断线面平行. 【详解】（1） 设，的中点分别为、，连接、， 易得， 又， 即，， 则，， 又点为的重心， 即， 与平行且相等， 即四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面，可得平面； （2）直线与平行. 证明如下： ，平面，平面， 平面， 又由平面，平面，平面平面， ； （3）分别取、的中点、，则当点时，有平面， 证明如下： 由、分别为、的中点得， 过点作的平行线交、于、两点， 因为，，所以，即、、、四点共面， 又因为，点为重心， 所以， 又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面， 同理平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 所以当点时，平面，满足平面. 3．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【详解】（1）连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． （2）由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． （3）存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 4．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交 (2)证明见解析 (3)存在，点为棱的中点，证明见解析 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2） 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. （3） 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取N为线段的中点，连接，根据已知可得出.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.即可根据面面平行的性质定理，得出证明； （2）根据已知可得出平面，根据（1）结合面面平行的性质定理即可得出证明. 【详解】（1）如图，取N为线段的中点，连接 因为N为线段的中点， 所以. 又， 所以，四边形为平行四边形，. 因为平面，平面， 所以有平面. 又点E为棱的中点， 所以有. 因为平面，平面， 所以有平面. 又，平面，平面， 所以平面平面. 又平面， 所以有平面. （2）平面 由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面. 因为M为上的动点，平面， 所以，平面， 所以，平面. 6．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 7．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段成比例可证明四边形为平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）先证明平面,即可利用线面平行的性质求解. 【详解】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 8．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）如图，直四棱柱的底面为菱形，，，，M，N分别为BC，中点． (1)证明：平面； (2)平面将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为；较小的体积为，求，的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和平行线的传递性，可得，且，即可证四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果； （2）延长，交于点，根据题意可知平面将该直四棱柱分成两部分中体积较小的部分为三棱台．根据三棱台的体积等于三棱锥的体积减去三棱锥的体积，可求出；再根据直棱柱体积公式即可求出的体积，进而求出， 【详解】（1）四棱柱中， 连接交于E，则E为中点， ∴，且， 又M为BC中点， ∴，且， ∴平行四边形NBME，∴ 又平面，平面， ∴平面； （2）延长，交于点， 则，分别为，的中点，，， 再连接，交于点，则为的中点，， 连接，所以平面将该直四棱柱分成两部分中体积较小的部分为三棱台． 因为三棱台的体积等于三棱锥的体积减去三棱锥的体积， 所以 ． 又因为直四棱柱的体积 ， 所以． 9．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形来证明线线平行，进而证得线面平行. （2）利用等体积法可求体积. 【详解】（1）取中点，连接，如图所示， ∵为的中点.，∴且， 又为的中点，又∵，且， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面；平面，∴平面． （2）. 10．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，正四棱锥中，，，E为SC中点. (1)求证：平面BDE； (2)求该正四棱锥的外接球的表面积； (3)求三棱锥的表面积和体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)， 【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出，即可证明平面． （2）取正方形的中心，连接，则球心在上，根据已知条件求出的长，设外接球的半径为，在根据勾股定理列方程求出，再由球的表面积公式即可计算外接球的表面积 （3）三棱锥的表面积，易证平面，所以. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 四棱锥为正四棱锥， 四边形是正方形， 是中点， 是中点， 是的中位线， ， 平面，平面， 平面． （2）因为四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且各侧棱长均为4， 取正方形的中心，连接，，则点为的中点， 因为正方形边长为2，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以球心在线段，如图， 设四棱锥外接球的半径为，则， 在中，，即，解得：， 所以该四棱锥外接球的表面积为. （3）由（1）知， ，， ，， 由四棱锥为正四棱锥得：， 为中点， ， ，即， ． 所以，，，， 所以三棱锥的表面积 . 又， 又四边形是正方形，所以， ，都在平面内， 平面， . 11．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.    (1)求证：为的中点； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由面面平行的性质定理得到，进而得到，结合是棱的中点，得到结论； （2）根据等体积法，即可求得到平面的距离. 【详解】（1）    依题意连接， 则，又平面，平面， 则平面， 因为与平面交于点， 即平面平面， 则，所以， 又为中点，可得为的中点. （2）    连接， 因为正方体的棱长为2， 在中，，则， 在中，则， 又， 在中，由余弦定理，， 则，于是， 因为，即， 所以， 即到平面的距离为. 12．（24-25高一下·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平行的传递性即可求证； （2）连，交与点，则点是的中点，可证，由直线与平面平行的判定定理证明平面； 【详解】（1）因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 （2）    连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$