【江苏名师】上京集训2025高考全国一卷数学考前押题解析（讲义）

上京集训 高考押题 1 高考上京押题第一部分 一、函数部分 1、已知 xϵR , ex+sinx≥a 恒成立,则实数 a 的范围为 2.已知n个大于2的实数x1,x2, ⋅⋅⋅ ,xn，对任意xi(i = 1,2, ⋅⋅⋅ ,n)，存在yi ≥ 2满足yi < xi，且xyii = y xi i ，则使得𝑥1 + 𝑥2 + ⋅⋅⋅ + 𝑥𝑛−1 ≤ 15𝑥𝑛成立的最大正整数n为( ) A. 14 B. 16 C. 21 D. 23 3.若对任意x ∈ (0, + ∞)，不等式2e2x−alna−alnx ≥ 0恒成立，则实数a的最大值为( ) A. e B. e C. 2e D. e2 4.设函数f(x) = lnx + ax(a > 0)，若方程f(f(x)) = x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围为 ． 5.已知函数f(x) = ax + elnx与g(x) = 𝑥2 𝑥−𝑒𝑙𝑛𝑥的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范 围为( ) A. a < −e B. a > 1 C. a > e D. a < −3或a > 1 6.函数f(x) = 2sinπx− 3x−x2所有零点的和等于( ) A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 7.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x) = f′(x).若f(2x + 1)，g(x + 2)均为奇函数，且f(2) = 4，则 ∑2025 k = 0f(k) = ( ) A. 2025 B. 0 C. −4 D. 4 上京集训 高考押题 2 8.已知 f(x)是定义域为R的单调递减函数，且存在函数g(x)使得 f(g(x)) = x.若x1，x2分别是方程 f(x)−x = 3和 g(x)−x = −3的根，则x2−x1 = ( ) A. 3 B. −3 C. 6 D. −6 9. 已知函数 在 处取得极值. （1）求 的单调区间； （2）设 ，求证：曲线 存在两条斜率为 且不重合 切线. 本题跳出常规的考法、第 2 小问设问极具新意：切点在哪里？我们该怎么找？要引起重视； 同时注意：这类试题没有无缘无故的前问，即前问的结论必会为后问使用，同时借助前问的函数变化特征，也会为 后问找到突破口！ 同是构造函数，要弄清是什么和怎么办！ 二、数列 阐述等差等比的常见结论，会整体处理等差等比的综合问题（适当举例） 1.记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a5,a6 ∈ N ∗ ，若T10 = 65，则a5 + a6的可能取值为( ) A. −7 B. 5 C. 6 D. 7 2.数列{an}满足a1 = 1，且a2n−3anan−1 +2a2n−1 = 0(n ≥ 2,n ∈ N ∗ )，则该数列前5项和可能是( ) A. 5 B. 10 C. 29 D. 31 的     1ln 2f x x a x x a      0x   f x     2lng x x x a x x     y g x 2 上京集训 高考押题 3 3. 在等差数列{an}中，前 m 项(m为奇数)和为 70，其中偶数项之和为 30，且a1−am = 12，则{an}的通项公式为an = __________. 4、（15 分）设数列 的前 项和为 ， (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ； (3)设 ，求证： 三、立几与空间向量 1.在 △ ABC中，AB = 2 13，BC = 2 5，AC = 2 10，将 △ ABC各边中点连线并折成四面体，则该四面体外接球直 径为 ;该四面体的体积为 ．  na n nS 22 5 .nS n n   na 2nnb n  4n n n S a b       n nT 1 2n n c a   1 2 3 32 . 2n c c c c n     上京集训 高考押题 4 2. 在正三棱锥P−ABC中，PA = PB = PC = 3 2，AB = 6，点D在 △ ABC内部运动(包括边界)，点D到棱PA，PB，PC 的距离分别记为d1，d2，d3，且d21 + d22 + d23 = 20，则点D运动路径的长度为 ． 3.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AA1，A1D1，B1C1，CC1的中点，点M满足HM = λHG其中λ ∈ [0,1]，则下列结论正确的是( ) A. 过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形 B. 三棱锥A1−MEF的体积为定值 C. 当λ = 1 2时，AC//平面MEF D. 当𝜆 = 1时，三棱锥A1−MEF外接球的表面积为6π 4.(本小题15分) 如图，已知菱形ABCD和菱形ADEF的边长均为2，∠FAD = ∠BAD = 60 ∘ ，BF = 3，M、N分别为AE、BD上的动点， 且 𝐴𝑀 𝐴𝐸 = 𝐵𝑁 𝐵𝐷． (1)证明：MN//平面EDC； (2)当MN的 长最小时，求平面MNA与平面MND的夹角余弦值． 上京集训 高考押题 5 四、概率与统计 1、（二项式定理） 已知(1 + 𝑥)5 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯ + 𝑎5𝑥5，则𝑎5 +2𝑎4 +4𝑎3 +8𝑎2 +16𝑎1 +32𝑎0 = ． 2.已知随机变量𝑋 ∼ 𝑁(1,𝜎2)，且P(X⩽0) = P(X⩾a)，则(1 + 𝑎𝑥)3·(𝑥2 + 2𝑥) 5 的展开式中x4的系数为( ) A. 680 B. 640 C. 180 D. 40 3. 甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数(可以不选)，分别构成集合A，B，C，记A ∩ B ∩ C中元 素的个数为m，则m ≥ 1的概率为 ． 5.下列命题正确的是( ) A. x1，x2，x3，⋯，x12是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且P(A) > 0，P(B) > 0，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量 X~N(0,22),Y~N(0,32),则 P(|X| ≤ 2)=P(|Y| ≤ 3) D. 若随机变量 X 的方差 D(X)=10,期望 E(X)=4,则随机变量 Y=X2的期望 E(Y)=26 6.(本小题15分) 2024年7月13日，国际汽车博览会在长春举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布 如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到米色内饰的模型， 求P(B)和P(B|A)，并判断事件A和事件B是否独立; (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1:拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色; 假设2:按结果的可能性大小，概率越小奖项越高; 上京集训 高考押题 6 假设3:该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元． 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望． 高考上京押题数学第二部分 上京集训 高考押题 7 一、不等式问题 1. 已知关于 的方程 在区间 上有解，则 则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 2.已知 ，若 在 上恒成立，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、平面向量问题 1. 基底类与共线类 ( 原创）四边形 ABCD 中， ， 的平分线与 交于点 ，若 ，则 . 2. （坐标类）. 已知 → a， → b， → e是平面向量， → e是单位向量．若非零向量 → a与 → e的夹角为 𝜋 3，向量 → b满足 → b 2 −4 → e ⋅ → b +3 = 0，则|→a −→b |的最 小值是( ) A. 3−1 B. 3 +1 C. 2 D. 2− 3 三、三角函数问题 1.（图像类）设函数f(x) = 2sin(ωx + φ)(ω ∈ N ∗ ,|φ| < 𝜋 2)的周期为T，将f(x)的图象向左平移 𝑇 8个单位后关于原点对称， x 01)1ln(2)1( 22  xbxxa ]1,0[ e 22 ba  1 3 e 1 2 e 2 9 e 2 4 e )1,0( e a  0))(ln(  c x bxa x x ),0( x 2b ac e e2 1 2 1 e e 1,2,4//  DCADABDCAB ， BAD BC T ),( RADABAT    22  上京集训 高考押题 8 且f(x)在区间(0, 𝜋 2)内的零点与极值点恰好共有4个，则ω = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.（恒等变形类）已知α为锐角，cos α = 3 5，则tan ( 𝜋 4− 𝛼 2) = ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D. 3 3.（面积比捎带给个结论）已知O为正 △ ABC内的一点，且满足OA +λOB +(1 + λ)OC = 0，若 △ OAB的面积与 △ OBC 的面积的比值为3，则λ的值为( ) A. 1 2 B. 5 2 C. 2 D. 3 4.（综合类恒等变形类）.已知f(θ) = cos4θ + cos3θ，且θ1，θ2，θ3是f(θ)在(0,π)内的三个不同零点，则( ) A. π 7 ∈ {θ1,θ2,θ3} B. θ1 + θ2 + θ3 = π C. cosθ1cosθ2cosθ3 = − 1 8 D. cosθ1 + cosθ2 + cosθ3 = 1 2 四、解析几何 1.（圆与圆的位置关系：圆要抓心，从圆心出发就是最优解）已知点P(−m,0)，Q(m,0)，若圆(x−5)2 +(y−12)2 = 4 上存在点R，使得∠PRQ = 90 ∘ ，则正数m的取值范围是( ) A. [11,15] B. [11,17] C. [9,15] D. [9,17] 2.（椭圆内接三角形与角有关的定值问题、有较好的综合性）.已知P为椭圆C： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(a > b > 0)上一点(非顶点)， A，B为椭圆的左，右顶点，令∠PAB = α，∠PBA = β，∠APB = γ(其中α，β，γ均不为 𝜋 2). △ PAB的面积为S，则下列 上京集训 高考押题 9 表达式不可能为定值的是( ) A. tanαtan β B. S·tan γ C. cos𝛾 cos(2𝛽 + 𝛾) D. sin 2α·sin 2β 3.（曲线中线段的位置关系、比例关系、曲线的基本几何性质的小型综合）.已知双曲线C:x2− 𝑦2 24 = 1的左、右焦点分 别为F1，F2，P为双曲线C第一象限上一点，∠F1PF2的角平分线为l，过点O作PF2的平行线，分别与PF1，l交于M，N 两点，若|MN| = 2 3|PF2|，则 △ PF1F2的面积为( ) A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 4.（焦点三角形内心的横坐标是定值的运用）.设点F1，F2分别是双曲线C:x2− 𝑦2 3 = 1的左、右焦点，过点F2的直线l与 双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，设 △ AF1F2与 △ BF1F2的内切圆半径分别为r1、r2，则 𝑟1 𝑟2 的值为 ． 5. （坐标范围问题是考查热点）双曲线E: 𝑥2 𝑎2− 𝑦2 𝑏2 = 1(a > 0,b > 0)的一个顶点在直线l:y = x + 1上， 且其离心率为 5． 上京集训 高考押题 10 (1)求双曲线E的标准方程; (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义 该公共点为切线的切点.已知点T在直线l上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和 M． (ⅰ)设点T的横坐标为t，求t的取值范围; (ⅱ)设直线TP和直线TM分别与直线x = −1交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ的交点在定直线上． (附：双曲线 x2 a2 − y2 b2 = 1以点(m,n)为切点的切线方程为 m a2 x− n b2 y = 1) 6.（坐标关系与面积关系是重点）已知直线l与抛物线C1:y2 = 2x交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，与抛物线C2:y2 = 4x交 于两点C(x3,y3)，D(x4,y4)，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限． (1)若直线l过点M(1,0)，且 1 |𝐵𝑀|− 1 |𝐴𝑀| = 2 2 ，求直线l的方程; (2)(i)证明： 1 𝑦1 + 1 𝑦2 = 1 𝑦3 + 1 𝑦4; (ii)设 △ AOB， △ COD的面积分别为S1，S2(O为坐标原点)， 若|AC| = 2|BD|，求 𝑆1 𝑆2 ．