黑龙江省大庆实验中学2025届高三下学期实验二部得分训练（五）数学试题

大庆实验中学 试卷第 1页，共 3页 大庆实验中学实验二部 2022 级高三得分训练（五） 数学试题 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个 符合题目要求的. 1. 下列每组集合是相等集合的是（ ） A．  N 2A x x   ，  Z | 2B x x   B．   , |A x y y x  ，  |B x y x  C．  |A x y x  ， 2xB x y x         D．  | 0A x x  ，  | 0B y y  2. 已知命题 : 0P x  ， 3 2xx   ，则 P 是（ ） A． 0x  ， 3 2xx   B． 0x  ， 3 2xx   C． 0x  ， 3 2xx   D． 0x  ， 3 2xx   3. 数列{ }na 为等比数列，则下列结论中不．正确的是（ ） A． 2{ }na 是等比数列 B． n n+1{ }a a 是等比数列 C． 1{ } na 是等比数列 D．{lg }na 是等差数列 4.已知 A，B分别是 x， y轴正半轴上的两个动点，且 2AB  ，如图，以 AB为边构造正方 形 ABCD，分别过点C，D向 x轴做垂线，垂足依次为 E， F ，当点 A由 ( 2,0) 向左运动 到原点的过程中，四边形CEFD面积的变化趋势可能为（ ） 5. 如图，已知圆锥顶点为 P，底面直径为 π, 4, 6 AB AB APB  ，以 AB为直径的球O与圆锥 相交的曲线记为Ω （异于圆锥的底面），则曲线Ω 的长为（ ） A． 2 3π B．3π C．2π D． 7 π 3 6. 人工智能领域让贝叶斯公式：        P B A P A P A B P B  站在了世界中心位置，AI换脸是一项 深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI ”视频，“AI ”视频占有率为0.001．某团 队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98， 即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI ”；它的误报率是0.04 ，即在该视频 是真实的情况下，它有 4% 的可能鉴定为“AI ”．已知某个视频被鉴定为“AI ”，则该视频是“AI ” 合成的可能性约为（ ） A．0.1% B．0.4% C． 2.4% D． 4% 7. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     经过点 (8,3 3)P ， 1 2F PF 的角平分线与 x轴交于 (2,0)A ，则双曲的离心率 e （ ） A． 5 4 B． 2 C． 3 2 D．2 8. 如图，已知函数 2 52 sin( )(- ) 3 3 2 2 y x x      的图像与 x轴 交于点 A，与 y轴交于点 B .过点 A的直线 l与函数图像相交于另两点 A C B D (第 5 题) 大庆实验中学 试卷第 2页，共 3页 C和D，则 AB DC   的最大值为（ ） A． 23 B． 25 3 2   C． 2 22 3 2   D． 22 3  二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知直线 1 : ( 1) 5 0l ax a y    ，直线 2 : 3 4 5 0l x y   ，圆 2 2: ( 3) ( 4) 9C x y    ， 则下列选项正确的是（ ） A．若 1 2//l l ，则 3 7  a B．若 1 2l l ，则 4 a C．若 1l 与圆C相交于A ， B两点，则 min | | 2AB D．过 2l 上一点 P向圆C作切线，切点为Q，则 min | | 7PQ 10. 若函数 ( )f x 在定义域D 内的某个区间 I 上是单调增函数，且 ( )( )  f xF x x 在区间 I 上也是 单调增函数，则称 ( )y f x 是 I 上的“一致递增函数”.已知 e( )   x f x x x ，若函数 ( )f x 是 区间 I 上的“一致递增函数”，则区间 I 可能是（ ） A．  , 2  B．  , 1  C．  0, D．  2, 11. 已知半径为 2 的球O内部有一定点 P ,且 1OP  ， A， B ,C是球 面上三个不同的点，且 PA PB , PA PC , PB PC ，下面说法正 确的是（ ） A. [1,3]PA B.三棱锥 P ABC 的体积最大值为 3 2 C.若 PA PB PC PD       ，则点D一定在球O外部 D. cos APO cos BPO cos CPO 3      三、填空题：本题共 3 小题，每空 5 分，共 15 分。把答案填在答题卡的相应位置. 12． 复数 3i 2 i   的共轭复数为 . 13． 设函数   2f x a x a  ，   e ex xg x   ，若曲线  y f x 与  y g x 恰有3个公共 点，则 a  . 14. 已知对任意 {1,2,3,4,5}i ，都有 ia N  ， {0,1}ib  ， 1 1 2 2 3 3M b a b a b a   4 4b a 5 5b a ， 若存在一组正整数 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ，使M 可以表示{0 1,2,3,4, , }n， 的所有数，那么 n的最大 值为 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 设函数   2ln 1f x ax x   ， aR ． (1)若  f x 在 1x  处切线为 y b ，求实数 a b 的值； (2)是否存在实数 a，使得当  0,2x 时，函数  f x 的最小值是3 ？若存在，求出 a 的值；若 不存在，说明理由． 16.（本小题满分 15 分） 在 ABCV 中，三个角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，点D在边 AB 上，且 CD BC， 1 3 cos 2 6  ACD BCDS S ac B△ △ . (1)求B； (2)若 2 3CD ，点 E在线段 AB上，当△CBE为锐角三角形，求 2 CE BE 的取值范围. 17.（本小题满分 15 分） 如图所示，三棱柱 ABF DCE 中，平面 ABCD 平面 ADEF ， 2 2 4AD AB AF   ， 120BAD FAD   ，点为棱 AD M 的中点，动点 P满足    1 0 1PC AB AD AF           . 大庆实验中学 试卷第 3页，共 3页 （1）当 3 4   时，求证：CM PB ； （2）若平面 PMB与平面MEC所成角的正切值为 19 ，求的值. 18.（本小题满分 17 分） 近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展．某 新能源汽车公司为了解其对 A型充电桩进行投资后所获得的利润 y（单位：百万元）关于投资 金额 x（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10 组样本数据，根据统计数据计算得到 10 1 40i i y   ， 10 1 70i i x   ，利润的方差 2 3.6yS  ，投资金额的方差 2 12xS  ，以及样本相关系数 0.96r  ． (1)根据样本相关系数 r 判断利润 y与投资 x的相关性强弱，并求出 y关于 x的经验回归方程 （精确到 0.01，注： 30 5 7.47 ）； （2）为了解使用 A 型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150名车主， 其中男性车主90名（60 名满意，30名不满意），女性车主60 名（60% 满意）。将频率视为 概率，用样本估计总体： ① 为了解车主对充电桩的满意情况，从 150 名车主中任意抽取一位，若该车主表示满意，求 该车主是男性的概率； ②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，利用卡方检验（ 0.05  ）判断这一 观点是否成立，并给出结论依据。 附：①样本相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ，当  0.75,1r  时，相关性较强，当  0.3,0.75r  时，相关性一般； ②经验回归方程 ˆˆ ˆy a bx  中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ③ 19.（本小题满分 17 分） 如图，已知点 (2, 1)B  ，BC x 轴于点C，M 是线段OB上任意一 点，MD x 轴于点D，ME BC 于点 E，OE与MD相交于点 P . （1）求点 P的轨迹方程； （2）设点 P轨迹所在的完整圆锥曲线为 ① 0 (2 3, 3)P  是上的一点，求经过点 0P 且与相切的直线 1l 方程； ②直线 1l 与 1y  相交于 1 1( ,1)A x ，经过 1 1( ,1)A x 且与 y 轴平行的直线与曲线相交于 1 1 1( , )P x y ，经过 1 1 1( , )P x y 且与相切的直线 2l 与 1y  相交于 2 2( ,1)A x ，经过 2 2( ,1)A x 且与 y 轴平行的直线与曲线相交于 2 2 2( , )P x y ，如此类推，得到一系列的点，求 2025 1 0 i i i PA    大庆实验中学 试卷第 1页，共 9页 大庆实验中学实验二部 2022 级高三得分训练（五） 数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C A C A B 7.方法 1：由双曲线光学性质可知，PA与双曲线相切时，PA是 1 2F PF 的角平分线，又 (8,3 3)P 处的切 线方程为 2 2 8 3 3 1x y a b   ，因切线经过 (2,0)A ，所以 4a  ， 3b  ， 5 4 e  方法 2：因为 1 1 2 2 PF AF PF AF  ,所以 2 2 P P a ex c a ex c      ，即可解得 8.由题意可知， 6( ,0), (0, ) 2 A B  6( , ) 2 AB    ，且 6 2AB k     而 2 2 2cos( ) 3 3 3 y x    4 6 3x y      即当 2( , ) 4 2 C   时，曲线在C 处切线与直线 AB 垂直，此时 AB DC   最大 大庆实验中学 试卷第 2页，共 9页 9 10 11 ABD ABD ACD 10. e( ) x f x x x   ， 2 ' 2 e ( 1)( ) xx xf x x     ， 2 ( ) e( ) 1 xf xF x x x    ， ' 3 e ( 2)( ) x xF x x    ， 当  , 1x    时， ' 3 e ( 2)( ) 0 x xF x x    ，函数 ( )F x 在  , 1  单调递增； 由 2 ' 2 2 e ( 1) e ( 1)( ) 1 x xx x xf x x x       ， 令      2 e 1 1 x x g x f x x     ，则     2 3 e 2 2x x x g x x     ， 此时 3 0x  ， e 0x  、 2 2 2 0x x   恒成立，     2 3 e 2 2 0 x x x g x x      ，  g x 也即  f x 在  , 1  单调递减， 1 ' ' 1 e ( 1 1) 2( ) ( 1) 1 0 1 e f x f          ，则函数 ( )f x 在  , 1  单 调递增， 又有  , 2  是  , 1  的子集，故 A、B 满足. 当  0,x   时， 3 0x  ， e 0x  ，在  0,2x 时， 2 0x   ，在  2,x   时， 2 0x   ， '( )F x 可能大于0，也可能小于0，故 C 不满足. 当  2,x   时， 2 ' 2 e ( 1)( ) 0 xx xf x x     ，函数 ( )f x 在  2,  单调递增， ' 3 e ( 2)( ) 0 x xF x x    ，函数 ( )F x 在  2,  单调递增，故 D 满足. 故选：ABD. 11.不妨以 P 为坐标原点， , ,PA PB PC 方向分别为 , ,x y z 建立空间直角坐标系，因为 1OP  ，设球心 ( , , )O a b c ，且 2 2 2 1a b c   ， 可知以O为球心， 2r  为半径的球面与 x 轴分别交于 大庆实验中学 试卷第 3页，共 9页 2( 3 ,0,0)a a  ， 2( 3 ,0,0)a a  ，与 y 轴分别交于 2(0, 3 ,0)b b  ， 2(0, 3 ,0)b b  ，与 z 轴 分别交于 2(0,0, 3 )c c  ， 2(0,0, 3 )c c  ，所以 23PA a a   或 23PA a a   ，又 [ 1,1]a  ，所以 [1,3]PA ，故 A正确；因为 2 2 21 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 6P ABC V a a b b c c          ， 当 3 3 a b c   时， 2 2 2 1 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2.3 6 a a b b c c         ，此时，三棱锥 P ABC 的体积 大 于 3 2 ， 故 B 错 误 ； 由 题 意 可 知 2 2 2( 3, 3, 3)D a a b b c c      ， 所 以 2 2 2( 3, 3, 3)OD a b c     ，即 10OD  ，而 2r  ，所以 D 在球 O 外，即 C 正确；因为 cos PA POAPO a PA PO          ，所以 cos cos cosAPO BPO CPO a b c        ，而 2 2 2 1a b c   ， 又 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 3( ) 3a b c a b c ab ac bc a b c            ， 所以 cos APO cos BPO cos CPO 3      ，故 D 正确. 12. 3 2i  13.1 14.31 方法 1：由题意分析可知，n有最大值，即 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 需要都取到最大，故这 5 个数都不相等，又因为M 可以表示{1,2,3,4, , }n 的所有数，所以 1 21, 2a a  ，由于3可以由 1 2a a 表示，所以 3 4a  ，以此类推 可知 4 8a  ， 5 16a  ，当 1ib  时，M 最大，即为31 方法 2：因为 {0,1}ib  ，所以每个 ib 的取值有 2 种情况，对于一组正整数 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ，M 共有 32 种 情况,所以 31n  ，当 12iia  时，即可表达{01,2,3,4, ,31}， 中的所有数 15.（1）   2f x a x    ，  f x 在 1x  处切线为 y b ，故  1 2 0f a    ，解得 2a  ， 大庆实验中学 试卷第 4页，共 9页 故   2 2ln 1f x x x   ，所以  1 2 1 3f    ，所以 3b  ， 所以 2 3 5a b    ； （2）存在 2a  ，理由如下：  f x 的定义域为  0,  ，   2f x a x    ， 当 0a  时，   2 0f x a x    在  0,2x 上恒成立， 故  f x 在  0,2x 上单调递减， 所以    min 2 2 2ln 2 1 3f x f a     ，解得 1 ln 2 0a    ，舍去. 当 0a  时，令   0f x  得， 2x a  ，令   0f x  得， 20 x a   ， 若 1a  ，则 2 2 a  ，故  f x 在 20,x a     上单调递减，在 2 ,2x a     上单调递增， 故  min 2 22 2 ln 1 3f x f a a          ，解得 2a  ，满足要求， 若0 1a  ，则 2 2 a  ，故  f x 在  0,2x 上单调递减， 故    min 2 2 2ln 2 1 3f x f a     ，解得 1 ln 2 1a    ，舍去. 综上， 2a  . 16.（1）∵ 1 3 cos 2 6ACD BCD S S ac B △ △ ， ∴记点C到 AB的距离为 h，则 1 1 1 2 2 2 BD h AD h    ， ∴ 2BD AD ， 2 3 BD c ， 1 3 AD c ， ∴ 1 3 1 1 2cos sin 2 6 2 2 3BCD cS ac B a B   △ ． ∴ tan 3B  ，又 π0, 2 B      ，∴ π 3 B  ． （2）由（1）知 π 3 B  ，CB CD ， 2 3CD  ，∴ 2πtan 3 CDBC   ． 设 CEB   ． 在 CBE△ 中，由正弦定理可得  sin sin sin π CB CE BE B B      ， 大庆实验中学 试卷第 5页，共 9页 ∴ 2 π πsin sin sin 3 3 CE BE          ，则 3 sin CE   ， π2sin 3 sin BE        ， ∴ π2sin 2 3 32 sin sin CE BE           π π2sin cos 2cos sin2 3 2 3 33 3 1 sin sin sin tan             ∵ BCE 为锐角三角形， π0 2 2π π0 3 2            ，解得 π π 6 2   ， 又 siny  ， tany  在 π π, 6 2       均为递增函数，且函数值均为正数， 又 1y x  在  0,  上单调递减， 所以 2 3 3 1 sin tan y      在 π π, 6 2       上单调递减， 当 π 6   时 2 3 3 1 4 3 4 sin tan      ， 当 π 2   时 3 0 tan  ，所以 2 3 3 1 2 3 1 sin tan      ， 故  2 2 3 1, 4 3 4CE BE    ． 17.（1）方法一：由  1PC AB AD AF        可得， PC AB AD AF AD          ， 即 PC CD DA AF AD          ，即 FP FE   . 如图： 当 3 4   时，在 PEM△ 中， 1PE  ， 2EM ED  ， 3PM  ，因为 2 2 2EM PM PE  ，所以 PM EF ， 又 / /EF AD，所以 PM AD . 大庆实验中学 试卷第 6页，共 9页 因为平面 ADEF 平面 ABCD，平面 ADEF 平面 ABCD AD ， PM 平面 ADEF ， 所以 PM 平面 ABCD . 又CM 平面 ABCD，所以 PM CM . 又在平行四边形 ABCD中， 120BAD  ， 2 4 AD AB ，M 为 AD中点，所以BM CM ， PM BM M  ， ,PM BM 平面 PMB， 所以CM 平面 PMB . 又 PB 平面 PMB，所以CM PB . 方法二：（向量方法） 因为平面 ADEF 平面 ABCD，平面 ADEF 平面 ABCD AD ，所以过 F 作 FO AD 于O，则 FO 平面 ABCD； 连接OB，因为 AOF AOB  ，所以OB AD . 在Rt FOB 中， sin 60 3FO AF   ， sin60 3BO AB   ， 90FOB   . 所以 6FB  ，则 2 2 2 4 4 6 1cos 2 2 2 2 4 AF AB BFAF AB AF AF              ， 1 2 CM AB AD      . PB PC CB PC AD AB AD AF               ， 当 3 4   时， 3 4 PB AB AD AF       . 23 1 3| | 4 2 4 PB CM AB AD AF AB AD AB AD AB AF AB                                   21 3 1| | 0 2 8 2 AB AD AD AD AF           . 所以CM PB . （2）如图，由（1）得： , ,OF OB OD两两垂直，故可以O为原点，OB方向为 x轴，OD方向为 y轴，OF方 向为 z轴，建立如图所示坐标系. 平面MEC中，      0,3,0 , 3,4,0 , 0,4, 3M C E ，  0,0, 3F . 大庆实验中学 试卷第 7页，共 9页    0,1, 3 , 3,1,0ME MC   ， 设平面MEC的法向量为：  1 1 1 1, ,n x y z  ， 则 1 1 0 0 n ME n MC                    1 1 1 1 1 1 , , 0,1, 3 0 , , 3,1,0 0 x y z x y z        1 1 1 1 3 0 3 0 y z x y       , 令 1 1x  ，则  1 1, 3,1n    ； 平面 PMB中，由（1）可知， FP FE   ， 设  0, ,0P m ，因为  0, ,0FP m  ，  0,4,0FE   ， 所以    0, ,0 0,4,0m   4m  .      0,3,0 , 3,0,0 , 0,4 , 3M B P  ，    3, 3,0 , 0,4 3, 3MB MP      设平面 PMB的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z  ， 则 2 2 0 0 n MB n MP                    2 2 2 2 2 2 , , 3, 3,0 0 , , 0, 4 3, 3 0 x y z x y z             2 2 2 2 3 3 0 4 3 3 0 x y y z        , 令 2 3x  ，则  2 3, 3,3 4n    ； 由题意，设平面 PMB与平面MEC所成角为θ，且 tanθ 19 ，则 5cosθ 10  . 1 2 2 1 2 3 4 5cosθ 105 (4 3) 12 n n n n                ，解得 1 4   . 即平面 PMB与平面MEC所成角的正切值为 19时， 的值为 1 4 . 18.（1）由于 0.96r  ，由题可知利润 y与投资金额 x相关性较强， 又             1 2 1 1 2 2 1 1 ˆ n i i i n i i n i i i n n i i i i x x y y x x b r x x y y x x y y                       2 1 2 1 n i i n i i y y x x        ， 大庆实验中学 试卷第 8页，共 9页  22 1 1 n y i i S y y n    ，  22 1 1 n x i i S x x n    ， 所以 2 2 ˆ y y xx nS Sb r SnS   ；又 2 12xS  ， 2 3.6yS  ， 所以 3.6 0.96 30 0.096 0.ˆ 53 12 y x S b r S       ， 由题，得 1 10 1 7 10 i ix x     ， 1 10 1 4 10 i iy y     ， 所以 4 7ˆˆ 0.53 0.29a y bx      ， 则 y关于 x的经验回归方程为 0.53 0 9ˆ .2y x  ． （2）①设事件 A  “抽取到的是男性车主”，事件 B “该车主表示满意” 60 5( ) 96 8 P A B   该车主是男性的概率为 5 8 ②零假设为 0H ：车主性别与满意度无关 将所给数据进行整理，得到性别与满意度的列联表 满意度 性别 合计 男性 女性 满意 60 36 96 不满意 30 24 54 合计 90 60 150 根据列联表，经计算得 2 2 150(60 24 30 36) 0.116 90 60 54 96         因为0.116 3.841 我们没有充分证据推断 0H 不成立，可以认为车主性别与满意度无关，因此可以认为这一观点不成立. 19. 大庆实验中学 试卷第 9页，共 9页 （1）设 ( , )M a b 因为直线 : 2 xOB y   ，所以 2a b  ， (2, )E b ，直线 : 2 bOE y x ， 所以 ( , ) 2 abP a ，即 2 4p px y  ，所以P 的轨迹方程式 2 4 ( [0,2])x y x   （2）①由题意可知： 2 4x y  直线 1l 方程为 3 3y x   ②设 ( , )n n nP x y 经过 ( , )n n nP x y 与相切的切线为 ( )2 n n n xy x x y    ，又 1 1( ,1)n nA x  所以 2 11 ( )2 4 n n n n x xx x    2 1 4 2 n n n xx x   因为 0 2 3x  ， 1 2 3 3 x  ， 2 2 3 3 x   ， 3 2 3 3 x  所以数列{ }nx 是从 1,n n N   起的周期数列，且 2T  又 1 0 2 1 3 2 0 1 1 2 2 3, , ,cos60 cos30 cos30 x x x x x x P A PA P A          所以 2025 1 0 i i i PA    = 1 0 2 1 3 2 2026 2025 8 3 4050 cos60 cos30 cos30 cos30 3 x x x x x x x x            