精品解析：天津市崇化中学2024-2025学年高一下学期5月期中阶段测试数学试卷

2024-2025学年第二学期高一数学期中阶段测试试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在复平面内，复数对应点在第二象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. 2 B. C. 6 D. 3. 已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为水平放置的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 如图，在中，是中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若，则复数的虚部为_________ 12. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 13. 一圆台的母线长为，两底面的面积分别为和，则此圆台的体积为______. 14. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________. 三、解答题 16. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 18. 在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 19. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为中点，求证：平面平面. 20. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且有. （1）求角； （2）若面积为，，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一数学期中阶段测试试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设，可得，即可求解. 【详解】因为复数对应的点在第二象限，所以可设， 因为， 所以， 所以，， 所以复数对应的点在第三象限. 故选：. 2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，再根据两向量共线的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，，可得：  因为与共线，，，可得：  求解：实数. 故选：B. 3. 已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平面平行的定义，结合，可得判定充分性成立，结合反例图象，可判定必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当，则平面与平面，没有公共点， 若，则直线没有公共点，所以不相交，即充分性成立； 如图所示，若不相交，且，则平面与平面不一定平行， 即必要性不成立， 所以“平行”是“和不相交”的充分非必要条件， 故选：B. 4. 已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径， 由正弦定理可得，则， 易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为. 故选：A. 5. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，进行计算即可. 【详解】在直观图中，，，取中点，连接， 则，而，于是， 则，，， 由斜二测画法规则作出，如图， 则，所以. 故选：C 6. 如图，在中，是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 7. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】 在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 8. 若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解. 【详解】由题意有， 又因为与垂直， 所以， 整理得，解得. 故选：B. 9. 已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的模可求得，可求的取值范围. 【详解】因为与均为单位向量，其夹角为， 由，可得，所以， 所以，所以， 由，，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以的取值范围是. 故选：D. 10. 中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示， 该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若，则复数的虚部为_________ 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】设， 由， 则， 即， 即，解得或， 所以或. 则复数的虚部为. 故答案为：. 12. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】设与的夹角为， . 故答案为： 13. 一圆台的母线长为，两底面的面积分别为和，则此圆台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得上下底面的半径，结合几何体特征，可求得圆台的高，进而可求得圆台的体积. 【详解】由已知可得，上底面半径，下底面半径，又因为母线长， 所以， 即圆台的高为， 所以圆台的体积为 . 故答案为：. 14. 如图，直三棱柱六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得的面积，从而求体积. 【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径， 则， 取的中点，连接 易知：底面中∥，， 则面，即直角三角形，由勾股定理可得：，故 所以 故答案为： 15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出，得出，则可代换为，结合三点共线性质得，原式代换为，再结合基本不等式即可求解 【详解】如图， 设BD与AE的交点为O，则由，得，所以，所以.由点O，F，B共线，得，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题 三、解答题 16. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值； （2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为． 17. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据数量积的计算规则计算. 【小问1详解】 ，，与的夹角是， 则， 即有； 【小问2详解】 由 可得，即， 即，解得.则当k为时，；、 综上，（1），（2）. 18. 在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 19. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 20. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且有. （1）求角； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦函数公式化简已知可得，结合的范围，即可求得的值. （2）由已知利用三角形的面积公式可求得的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得的周长. 【小问1详解】 在中，由及由正弦定理， 得，即， 整理得，而，则， 又，则，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 又，则，，解得， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$