精品解析：2025年安徽省安庆市岳西县岳西部分片区学校联考中考二模数学试题

2025年安徽中考数学模拟试卷 2025.05 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴最小数是． 故选D． 2. 年月日，安徽省统计局通报了年全省经济运行情况．全省地区生产总值（）达到了亿元，按不变价格计算，比上年增长．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数，就是把这个数写成的形式，其中，指数与小数点移动的位数与方向有关． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类项、不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，对模拟月壤进行烧结成型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其中一种“月壤砖”，该“月壤砖”卯结构的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：某种型号的“月壤砖”的示意图，则其左视图是： 故选：B． 5. 如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解：是的半径，交于点，， ， 中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 6. 如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，对顶角等知识，根据正五边形的性质和多边形内角和定理求出，根据四边形内角和是求出，然后根据邻补角定义和对顶角性质求解即可． 【详解】解∶ ∵正五边形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率所求情况数与总情况数之比是银师的关键． 直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从“时代”“”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“”的只有1种情况， 所以恰好选中“”的概率是． 故选：C． 8. 如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点H，连接，由题意得，易证，即可判断A选项；证明，推出，证明，推出，即可判断B选项；由三角形全等得到，根据，即可判断C选项；易证垂直平分，推出，证明是等腰直角三角形，推出，求出，即可判断D选项． 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点， ∴ ∵平分， ∴， 又∵，D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明未知的结论 ． 9. 如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出点坐标，设，根据两个图形的面积相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵正方形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选C． 10. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是正方形，得出，，结合，F分别是，的中点，得出，，即可证明，故①正确；根据全等三角形的性质证明，设正方形的边长为，则，勾股定理求出，等面积法求出，勾股定理求出，即可得出，故②正确；根据题意得出为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线，证出四边形是平行四边形，由①②可知，，，即可证明平行四边形是正方形，故③错误；如图，延长交的延长线于点H，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，结合，即可得出故④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ，F分别是，的中点， ，， 在和中，， ，故①正确； ， ， ， ， ． 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； ，Q，M，N分别是，，，的中点， 为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 由①②可知，，， ，， 平行四边形是正方形，故③错误； 如图，延长交的延长线于点H， ， ， 和中，， ， ， 点C是的中点， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上①②④正确，正确的个数为3． 故选：C． 【点睛】该题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：若分式在实数范围内有意义， 则， 解得，且． 故答案为：且． 12. 的对角线、相交于点O，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形可得，，再利用勾股定理求得，即可得到的长． 详解】解：， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 14. 若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是___________； （2）的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识． （1）由不动点的概念和根的判别式求出和的值，即可求出的值； （2）再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个不动点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小；且当时， 函数的最大值为，最小值为， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程组，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 或， ． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先化为同分母分式，将分子相加，再观察能否约分化简即可． 【详解】解： ． 17. 2025年春晚中由张艺谋执导的《秧》节目受到了全国观众的追捧，彰显了我国在机器人技术这一领域处于世界领先地位．某科技公司分别研发出机器狗和人形机器人，并测试它们搬运物资的能力．已知1台机器狗和2台人形机器人一次可以运载物资，10台机器狗和5台人形机器人一次可以运载物资．求每台机器狗和人形机器人每次各能运载多少千克物资？ 【答案】每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资， 由题意得： 解得： 答：每台机器狗每次能运载物资，每台人形机器人每次能运载物资 18. 我国很多经典古籍中记载了“河图”和“洛书”，它是中国重要的文化遗产之一．“河图”和“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： （1）请按照图1“洛书”中的顺序把数字填入图2对应的正方形空格中； （2）我们把图2叫作一个“三阶”幻方．不难发现：“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都相等．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则“幻方和”与“中心数”还存在着一定的倍数关系． ①如图3，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； ②如图4，、、、、、是含有字母的整式，，，若幻方的“中心数”，，且为常数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）根据“洛书”中实心点或空心点的个数填在正方形空格中即可； （2）①根据图2中相关数字可知：“幻方和”是“中心数”的3倍，然后求出a的值即可； ②根据幻方特点得出，，从而得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据“洛书”中实心点或空心点的个数填图如下： 【小问2详解】 解：①根据图2可知，“幻方和”为，“中心数”为5， ∴“幻方和”是“中心数”的3倍， ∴，， ∵，，幻方的“中心数”， ∴， 解得：， ∴， 解得：； ②∵“幻方和”是“中心数”的3倍， ∴，，， ∵，，，， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查探索与表达规律，一元一次方程的应用．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 19. 黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角，看迎客松根部B的俯角．已知迎客松所处位置的海拔高度为1670米，求迎客松的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】迎客松的高度约为9.9米 【解析】 【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 延长，交于点C，过点B作于点E，则由题意得米，，,则，可得为等腰直角三角形，求出，再解，最后由即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点C，过点B作于点E，则由题意得：米，，． ∵米，米， ∴（米）． 在中，， ∴， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：迎客松的高度约为9.9米． 20. 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地、B、C、四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形的两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）， 满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）方案二 （2）小明，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据方案铺设管道路线求解即可； （2）证，求出小明铺设方案的水管的总长度，进行比较即可得结果； 【小问1详解】 解：方案一：（米） 方案二：（米） 所以方案二总长度更短． 【小问2详解】 如图，作，，垂足分别为和． ∵ ∴，， ∴ ∵， ∴（米）， ， 总长度：（米） ∵ ∴ 所以小明的方案总长度最短． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，根据题意，灵活应用知识点进行求解是解题的关键． 21. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8 八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 a b C （1）填空： ， ， ； （2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由； （3）结合以上数据你认为哪个年级的阅读情况较好，请说明理由． 【答案】（1）7.5，8，1.4 （2）不对，无法确定甲同学在哪个年级 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，方差，利用中位数和众数作决策： （1）根据中位数，众数，方差的计算方法进行求解即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：将八年级的数据排序，得： 5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ； ∴， 出现次数最多的是， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 甲说的不对，理由如下： ∵， ∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的； 小问3详解】 八年级的阅读情况较好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大， ∴八年级的阅读情况较好． 22. 如图1，已知：中，，，点为边中点，点、分别在、边上，连接，和，，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）如图2，当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三线合一性质得，，，证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明得， （ⅰ）当时，则，设，，根据四边形的一组对角为直角得四边形内接于直径为的圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，证明可得，继而得到，求即可； （ⅱ）当时，则，延长至点，使，设，，可得垂直平分，，，推出，，进一步可得四边形内接于直径为的圆，继而得到，证明得，可得，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵点为边中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， （ⅰ）当时，则， 设，， ∵， ∴， ∴四边形内接于直径为的圆，如图， ∵圆周角、所对的弧为， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴； （ⅱ）当时，则， 如图，延长至点，使，设，， ∵即， ∴垂直平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形内接于直径为的圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，一元二次方程的应用等知识点．掌握一组对角互补的四边形为圆内接四边形、相似三角形的判定和性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，直线和抛物线都经过点，且抛物线经过点和点中的一个点． （1）求k，a，b的值； （2）若将抛物线沿y轴方向向上平移n个单位长度，其顶点恰好在直线上，求n的值； （3）若点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）点P坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一次函数等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）利用平移的性质可得结论； （3）设点P的坐标为，得点M坐标为，点N坐标为．分，和三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过点， ， ； 直线， 当时，， 点在直线上， 直线与抛物线都经过点和点， 抛物线不可能经过点，即抛物线经过点， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线， 抛物线的顶点为， 对于，当时，， ； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 点M坐标为，点N坐标为． 分三种情况： ①当时，如图1，根据题意得，整理得， 解得，（舍去），此时点P坐标为； ②当时，如图2，根据题意得， 整理得，解得，此时点P坐标为； ③当时，如图3，根据题意得， 整理得，解得（舍去），，此时点P坐标为； 综上，点P坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽中考数学模拟试卷 2025.05 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A B. 0 C. 1 D. 2. 年月日，安徽省统计局通报了年全省经济运行情况．全省地区生产总值（）达到了亿元，按不变价格计算，比上年增长．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，对模拟月壤进行烧结成型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其中一种“月壤砖”，该“月壤砖”卯结构的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 6. 如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 10. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是__________． 12. 的对角线、相交于点O，，，，则的长为________． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 14. 若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是___________； （2）的取值范围是___________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 化简：． 17. 2025年春晚中由张艺谋执导的《秧》节目受到了全国观众的追捧，彰显了我国在机器人技术这一领域处于世界领先地位．某科技公司分别研发出机器狗和人形机器人，并测试它们搬运物资的能力．已知1台机器狗和2台人形机器人一次可以运载物资，10台机器狗和5台人形机器人一次可以运载物资．求每台机器狗和人形机器人每次各能运载多少千克物资？ 18. 我国很多经典古籍中记载了“河图”和“洛书”，它是中国重要的文化遗产之一．“河图”和“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： （1）请按照图1“洛书”中的顺序把数字填入图2对应的正方形空格中； （2）我们把图2叫作一个“三阶”幻方．不难发现：“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都相等．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则“幻方和”与“中心数”还存在着一定的倍数关系． ①如图3，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； ②如图4，、、、、、是含有字母整式，，，若幻方的“中心数”，，且为常数，求的值． 19. 黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角，看迎客松根部B的俯角．已知迎客松所处位置的海拔高度为1670米，求迎客松的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 20. 为提高耕地灌溉效率，小明爸妈准备在耕地、B、C、四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）， 满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：，） 21. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8 八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 a b C （1）填空： ， ， ； （2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由； （3）结合以上数据你认为哪个年级阅读情况较好，请说明理由． 22. 如图1，已知：中，，，点为边中点，点、分别在、边上，连接，和，，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）如图2，当时，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，直线和抛物线都经过点，且抛物线经过点和点中的一个点． （1）求k，a，b的值； （2）若将抛物线沿y轴方向向上平移n个单位长度，其顶点恰好在直线上，求n的值； （3）若点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $