精品解析：2025年山东省菏泽市牡丹区二模数学试题

九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，直线，它们之间距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长 D. 线段的长度 4. 下图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱柱 5. 下列运算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 6. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正五边形内接于，连结，则度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 会员卡类型 办卡费用/元 有效期 优惠方式 A类 40 1年 每杯打九折 B类 80 1年 每杯打八折 C类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ） A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡 10. 如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ） A. 图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 图形上任意一点到原点的最大距离是1 C. 图形的周长大于 D. 图形所围成区域的面积大于2且小于 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 小亮在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为纳米，通过百度搜索小亮又知道纳米米，则水分子的直径约为_____米． 12. 已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件c的值是__________． 13. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是__________． 14. 正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形是正方形． 所有正确结论的序号是_______． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数中，①；②；③；④，其图象中不存在“同号点”的是_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，函数的图象经过点B，与直线交于点D． （1）求k的值； （2）直线与边所在直线交于点M，与x轴交于点N． ①当点D为中点时，求b的值； ②当时，结合函数图象，直接写出b的取值范围． 18. 如图，在中，是边中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 19. 2020年3月至5月，某校开展了一系列居家阅读活动．学生利用“宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升．为了解学生居家阅读的情况，学校从七、八两个年级各随机抽取50名学生，进行了居家阅读情况调查．下面给出了部分数据信息： ．两个年级学生平均每周阅读时长（单位：小时）的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生平均每周阅读时长在这一组的是：6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 c．两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 6.3 8 7.0 八年级 6.0 7 7 6.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全图2； （2）写出表中的值； （3）返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予“阅读之星”称号．小丽说：“根据频数分布直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级获得该称号的人数多．”你认为她的说法________（填入“正确”或“错误”）； （4）请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价． 20. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 21. 如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F． （1）求证：； （2）若，，求EF的长． 22. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是． （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度． （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米） 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可． 【详解】解：； 因此根据题意可得-3是最小的 故选B． 【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小． 2. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，理解定义是关键． 3. 如图，直线，它们之间的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长 D. 线段的长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离的定义判断即可． 【详解】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度． 观察图形可得为直线之间的垂线段． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，熟练掌握定义，并结合图形准确判断是解题的关键． 4. 下图是某个几何体三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱． 故选D． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体． 5. 下列运算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加法、同底数幂的乘法、整式的幂运算、积的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项错误 B、，此项正确 C、，此项错误 D、，此项错误 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加法、同底数幂的乘法、整式的幂运算、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键． 6. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，由得，即可求得代数式值． 【详解】解： = =， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查代数式的化简求值，利用平方差公式正确化简代数式是解此题的关键． 7. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列出表格如下： 宫 商 角 徵 羽 宫 宫，宫 宫，商 宫，角 宫，徵 宫，羽 商 商，宫 商，商 商，角 商，徵 商，羽 角 角，宫 角，商 角，角 角，徵 角，羽 徵 徵，宫 徵，商 徵，角 徵，徵 徵，羽 羽 羽，宫 羽，商 羽，角 羽，徵 羽，羽 共25种等可能的结果，其中，先发出“宫”音，再发出“羽”音的结果只有1种， ∴； 故选：A． 8. 如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可． 【详解】∵五边形为正五边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键． 9. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 会员卡类型 办卡费用/元 有效期 优惠方式 A类 40 1年 每杯打九折 B类 80 1年 每杯打八折 C类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ） A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡 C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡 【答案】C 【解析】 【分析】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：列出3类会员卡用含x的关系表示消费的费用y，再确定y的范围，进行比较即可解答． 【详解】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=40+0.9x=40+18x，yB=80+0.8x=80+16x，yC=130+15=130+15x， 当75≤x≤85时, 1390≤yA≤1570； 1280≤yB≤1440； 1255≤yC≤1405； 由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围． 10. 如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（ ） A. 图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 图形上任意一点到原点的最大距离是1 C. 图形的周长大于 D. 图形所围成区域的面积大于2且小于 【答案】C 【解析】 【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意； B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意； C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意； D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 小亮在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为纳米，通过百度搜索小亮又知道纳米米，则水分子的直径约为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：∵， ∴水分子的直径约为米， 故答案：． 12. 已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是__________． 【答案】（答案不唯一，负数即可） 【解析】 【分析】当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可． 【详解】当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使． 【点睛】本题考查了真命题和不等式的性质知识点，不等式符号要变号，就使不等式两边同时乘或除同一个负数即可，这一性质是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C. 【详解】解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为或． 【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 14. 正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形是正方形． 所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； ②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形； 故正确的结论序号是①②④. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数中，①；②；③；④，其图象中不存在“同号点”的是_____． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一或第三象限的函数都是满足条件的，结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，以及特殊值法逐个判断即可求解． 【详解】解：由题意可知，只要函数的图象经过第一和第三象限，都是满足条件的． ①函数的图象经过第一和第二，四象限，故满足条件，不符合题意； ②函数的图象经过第一和第二，四象限，故满足条件，不符合题意； ③函数的图象经过第二和第四象限，故不满足条件，符合题意； ④对于，当时，，即函数中，存在一个点在第一象限，故满足条件，不符合题意； 故答案为：③． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角度的三角函数值的混合运算，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式化简、绝对值化简计算即可； （2）由一元二次方程根的判别式得，化简得，所以，不妨令，则一元二次方程为，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， ， ， 不妨令，则一元二次方程为， ， ， 故一元二次方程为的解为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，函数的图象经过点B，与直线交于点D． （1）求k的值； （2）直线与边所在直线交于点M，与x轴交于点N． ①当点D为中点时，求b的值； ②当时，结合函数图象，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入，求解即可； （2）①根据题意得出D的坐标为(4，1)，代入即可； ②当D在BC上方时，得D的坐标为(1，4)，代入，得，即可得到b的取值范围． 【详解】（1）把代入， 解得：； （2）①如图： 当点D为中点时，可得D的纵坐标为1， 代入得x=4， ∴ 代入得：； ②当D在BC上方双曲线上时， 当D点到直线BC的距离大于2时， DM＞MN， 当D点到直线BC的距离等于2时，D点纵坐标为4 ∴D点纵坐标为4，代入得横坐标为1， ∴D的坐标为(1，4)， 把D(1，4)代入， 得：， ∴当时，DM=MN， 当时，DM＞MN， 当D在BC下方双曲线上时， DM＜MN，不符合题意， 故b的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据图像获取信息是解题关键． 18. 如图，在中，是边中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出，平分，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据矩形的判定即可得证； （2）如图（见解析），连接DF，先根据矩形的性质得出，再在中，利用余弦值、勾股定理可求出OA的长，从而可得OC的长，由此即可得出答案． 【详解】（1）∵在中，，是边中线 ∴，平分（等腰三角形的三线合一） ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四边形是矩形； （2）如图，连接DF 由（1）知，四边形是矩形 ，即 是直角三角形 在中， 设，则 由勾股定理得： 解得 又 ． 【点睛】本题考查了矩形判定与性质、等腰三角形的性质、余弦三角函数值等知识点，较难的是题（2），利用余弦三角函数值和勾股定理求出OA的长是解题关键． 19. 2020年3月至5月，某校开展了一系列居家阅读活动．学生利用“宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升．为了解学生居家阅读的情况，学校从七、八两个年级各随机抽取50名学生，进行了居家阅读情况调查．下面给出了部分数据信息： ．两个年级学生平均每周阅读时长（单位：小时）的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生平均每周阅读时长在这一组的是：6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 c．两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 6.3 8 7.0 八年级 6.0 7 7 6.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全图2； （2）写出表中的值； （3）返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予“阅读之星”称号．小丽说：“根据频数分布直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级获得该称号的人数多．”你认为她的说法________（填入“正确”或“错误”）； （4）请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价． 【答案】（1）见解析；（2）6.5；（3）错误．（4）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据人数总数是50人计算可得结果;（2）根据学生总数50人可知中位数在25、26两名同学的阅读时间的平均数;（3）根据总人数不确定可得结果;（4）根据数据进行表述，符合题意即可; 【详解】（1）正确补全图形；50-6-13-9=22（人）； （2）中位数==6.5； （3）错误.因为七年级和八年级的学生总人数不确定. （4）答案不唯一，理由支持结论即可．从表上可以反映出七年级学生整体平均阅读时长高于八年级的平均阅读时长. 【点睛】本题主要考查了对频率分布直方图的认识，对中位数、平均数、方差的理解很重要. 20. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 21. 如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F． （1）求证：； （2）若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接OC，利用圆周角定理及切线的性质定理求出，由圆的半径相等求出，利用平行线的性质求出，即可得到结论； （2）由求出，AC=6，证明求出OE，根据三角形中位线的性质求出OF，即可得到EF． 【小问1详解】 证明：连接OC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴． ∵DE是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵OB，OC是⊙O的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，O为AB中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键． 22. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是． （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度． （2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米） 【答案】（1）此人离地面的高度约 （2）与地面的距离范围为 【解析】 【分析】（1）过作，由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作，然后分当时和当时，进而分类求解即可． 【小问1详解】 解：过作， ∵，， ∴， ∵点为的中点，米， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：过点作， 当时，∵， ∴， ∴，即； 当时，； ∴，即； ∴与地面的距离范围为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $