精品解析：2025年湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中中考二模数学试题

2025年中考模拟数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、单选题（每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项中只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数，有理数的定义即可得出结果． 【详解】解：是有理数．是无理数． 故选：D． 2. 科学家通过高倍显微镜发现，荷叶表面布满了小乳突，每个乳突由许许多多直径约为200纳米的细小突起组成，这种细微的纳米结构，使水珠粒子不易与荷叶表面接触，导致荷叶具有独特的自洁、防水、防污的功能．1纳米米，200纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．据此判断即可． 详解】解：200纳米米 故选：C． 3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可 【详解】解：俯视图是从上面看，第一列是三个小正方形，第二列是两个小正方形． 故选A． 4. 如图，甲、乙两支仪仗队员的平均身高相同时，设两支队员身高数据的方差为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差反映的是数据的波动程度，根据数据的波动越大，方差越大，数据的波动越小，方差越小进行解答即可． 【详解】解：由统计图可知，甲队身高数据波动比乙队身高数据的波动小，所以甲的方差比乙的小，即． 故选：A． 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据幂的运算法则，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 6. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：根据反比例函数k值的几何意义可得： ． 故选：C． 7. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点是线段的黄金分割点是解答关键． 利用黄金分割的定义来进行计算求解． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故选：C． 8. 如图，是某公园的进口，，，，，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据共有个出口，东面有三个出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有个出口，其中东面有，，三个出口， ∴恰好从东面的出口出来的概率为， 故选：D． 9. 如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 是方程的解 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，熟悉二次函数图象的特点，能够通过图象直接获取信息，结合题中给出条件进行推断是解题的关键． 利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据图象可知，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，，，故该选项错误，不符合题意； B.由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意； C. 由图象可知，当时，，故该选项错误，不符合题意； D. ∵抛物线和直线都经过点， ∴是方程的解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在一单位为1方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出当脚码分别为偶数和奇数时的坐标规律，即可得到答案． 【详解】解：由图可得： ∵，，，，， ， ∴得到规律， 当为奇数时：； 当为偶数时：； ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分，请将答案写在答题卡相应位置．） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于解答即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，然后提取即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴； 或∵， ∴； 故答案为：或． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键；设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得： ， 解得：（舍去）； ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是； 故答案为． 15. 如图，是的直径，切于点B，交于点D，连接．若，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，先根据圆周角定理求出，由切线的性质得，然后根据直角三角形两直角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵切于点B， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 和与相似比为2， 点B的对应点的坐标是：或． 故答案为：或． 17. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，结合，再进一步的解答即可. 【详解】解：，， , ∴ 垂直平分 ∴ ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值.，其中x＝2． 【答案】，． 【解析】 【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算． 【详解】解：原式 当x＝2时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的计算，掌握分式化简得方法再代入求值是解题的关键． 21. 某校想了解九年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表： 被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图 组别 成绩/分 频数 A a B 16 C 8 D 4 备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为84.5分． 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为________，________； （2）小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由． （3）成绩不低于80分的学生食品安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有500人，试估计九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数． 【答案】（1）40，72 （2）小王的说法不正确，理由见详解 （3）九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数为350人 【解析】 【分析】本题主要考查样本容量、频数分布表、平均数、中位数及扇形统计图，熟练掌握样本容量、频数分布表、平均数、中位数及扇形统计图是解题的关键； （1）由频数分布表及扇形统计图可知成绩在之间的人数有16人，所占百分比为，可得出样本容量，然后再根据C组成绩的人数可求扇形统计图中的圆心角度数； （2）根据中位数的意义可进行求解； （3）根据题意得到成绩为良好的人数有28人，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 样本容量为；； 故答案为40；72； 【小问2详解】 解：小王的说法不正确，理由如下： 由（1）可得：， ∴这40人成绩的中位数为第20和第21个数据和的平均数，即为， ∴小王的说法不正确，因为平均数只是整体的分布水平，而中位数才代表了这组数据中间位置的真实情况； 【小问3详解】 解：由题意得： （人）； 答：九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数为350人． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，写出关于的不等式的取值范围； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于的不等式 x的取值范围； （3）求出一次函数与轴交点的坐标为，由此面积和差可得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 点的坐标为． 将代入，得，即． 该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将点代入，得， 解得， 的取值范围是或； 【小问3详解】 解：将代入，得， 点的坐标为． 由（1），（2）知，， 的面积． 23. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）小时，小时 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； 【小问2详解】 解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 24. 如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用上述知识是解题的关键． （1）利用等角对等边，得到，即可证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）过点作，解直角三角形求得，再利用相似三角形的性质求得即可． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， E为的中点，， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； （2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； （3）当时，y的取值范围是，且，求a的值． 【答案】（1），； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可； （3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，C， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 由（1）知：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点， 令，解得：或； 故点横坐标为：； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； 当时，则：，解得：（舍去）或； 综上：或． 26. 如图1，内接于，作于点D． （1）连结，．求证：； （2）如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分； （3）在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合，即可作答； （2）先根据三角形的外角性质，得，等角对等边，得，即可证明，结合全等三角形的对应角相等，即可作答； （3）根据同弧所对的圆周角是相等，得，由三角形的内角和，得，等角对等边，得，进而证明，得，等角对等边，得，故，因为，，证明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考模拟数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、单选题（每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项中只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 科学家通过高倍显微镜发现，荷叶表面布满了小乳突，每个乳突由许许多多直径约为200纳米的细小突起组成，这种细微的纳米结构，使水珠粒子不易与荷叶表面接触，导致荷叶具有独特的自洁、防水、防污的功能．1纳米米，200纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，甲、乙两支仪仗队员平均身高相同时，设两支队员身高数据的方差为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，是某公园的进口，，，，，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 是方程的解 10. 如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分，请将答案写在答题卡相应位置．） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 因式分解：____________． 13. 如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是_______． 14. 随着经济复苏，某公司近两年总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是_______． 15. 如图，是的直径，切于点B，交于点D，连接．若，则的度数为______． 16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是______． 17. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则______． 18. 如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值.，其中x＝2． 21. 某校想了解九年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表： 被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图 组别 成绩/分 频数 A a B 16 C 8 D 4 备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为84.5分． 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为________，________； （2）小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由． （3）成绩不低于80分的学生食品安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有500人，试估计九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，写出关于的不等式的取值范围； （3）连接，，求的面积． 23. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 24. 如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； （2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； （3）当时，y的取值范围是，且，求a的值． 26 如图1，内接于，作于点D． （1）连结，．求证：； （2）如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分； （3）在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$