精品解析：云南省昆明市第三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

昆明市第三中学高2026届高二年级下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在等差数列中，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式列方程，解出，进而可得. 【详解】设等差数列的公差为d， 由题意得 解得． ． 故选：C. 2. 设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线结合椭圆的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以为的中位线，即， 又由椭圆的定义可得，所以. 故选：A． 3. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， 故选：B 4. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由散点可判断出正相减，去掉离群点后，线性关系更强，由离群点的位置判断去掉离群点后回归方程的斜率变化. 【详解】共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确 去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误 有，，故AB错误. 故选：C. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式和并事件概率性质求解即可． 【详解】由，，可知，， 又，所以， 所以. 故选：D 6. 某次文艺汇演，要将这六个不同节目编排成节目单．如果两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】将捆绑，且可从3个位置选择，再将剩余4人进行全排列，得到答案. 【详解】将捆绑，且可放入；和三个位置，故有种情况， 将其它4个节目和4个位置进行全排列，有种情况， 故节目单上不同的排序方式有种. 故选：B 7. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 8. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参. 【详解】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解题的方法是分类讨论三种情况结合函数值域及导函数求参单调性计算求解即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 【答案】BD 【解析】 【分析】分别根据回归直线、线性回归方程、样本相关系数以及独立性检验的相关概念和性质，对每个选项进行分析判断. 【详解】回归直线是通过最小二乘法拟合数据得到的直线，它的目的是使样本数据点到该直线的距离的平方和最小，而不是经过样本数据点最多的那条直线.所以选项错误.  对于线性回归方程，因为样本点中心一定在回归直线上，所以将，代入回归方程可得： ，即，解得.所以选项正确.  由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数只是对变量之间相关关系的一个估计，它受到样本随机性的影响，不一定能确切地反映变量之间的相关关系.所以选项错误.  在独立性检验中，随机变量的观测值越小，说明两个变量之间越可能没有关系，那么“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率就越大.所以选项正确.  故选：BD 10. 对任意实数x，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. （，1，…，9）的最大值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；由，可判断为负，为正，计算可判断B；令，计算可判断C；结合B计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B，由， 则展开式的通项公式为， 所以为负，为正， 当时，计算可得，， ，，， 所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得， 所以，又，可得，故C正确； 对于D，由B可知，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 移动n次后质点最有可能回到原点 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二项分布的相关知识逐一判断各个选项即可. 【详解】对于B，设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，则， ，所以，故B正确. 对于C，由（1）知，，，又， 所以，故C正确. 对于AD，由B可知，，， 当为偶数时，中间的一项取得最大值，即时概率最大，此时， 所以质点最有可能位于位置0； 当为奇数时，中间的两项取得最大值，即或时概率最大，此时或， 所以，且质点最有可能位于位置或1. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：关键是对于AD选项的判断，要得出，，并对分类讨论，由此即可顺利得解. 三、填空：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为__________；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【答案】 ①. 64 ②. 【解析】 【分析】由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点个数；由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】（1）对于维坐标，， 所以共有种不同的点，即共有个顶点． （2）①对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种， 所以， 则的分布列为： 1 2 6 所以，， . 故答案为：64， 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 四、计算题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 截至2025年2月13日晚，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）总票房（含预售）已突破100亿元，观影人次破2亿，成为中国影史首部票房破100亿且观影人次破2亿的电影，登顶全球影史单一市场票房榜，暂列全球票房榜第17名．按照猫眼专业版AI预测，其最终票房将达到153.38亿，若达成则有望超越电影《星球大战：原力觉醒》的150.19亿票房，排名全球前五．银河影院为了解观众是否喜欢电影与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢该电影的人数是300，喜欢该电影的女生比男生少60人． （1）完成下面的列联表； 喜欢电影 不喜欢电影 总计 女生 男生 总计 （2）根据调查数据回答：有的把握认为是否喜欢电影与性别有关吗？ 附：． 临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表见解析 （2）有的把握认为是否喜欢电影与性别有关. 【解析】 【分析】小问1，可设喜欢电影的男生人数为，喜欢电影的女生人数为，根据题意求出和的值完成列表即可，小问2，先假设对电影的喜好与否与性别没有关系，然后选取，代入公式计算，通过比较与表中给出的临界值可得假设错误，即对电影的喜好与否与性别有关. 【小问1详解】 设喜欢电影的男生人数为，喜欢电影的女生人数为，有，解得. 计算得到不喜欢该电影的男生人数为，不喜欢该电影的女生人数为.填表如下： 喜欢电影 不喜电影 总计 女生 120 80 200 男生 180 20 200 总计 300 100 400 【小问2详解】先假设是否喜欢哪吒电影与性别无关. 在表格中选取，根据公式计算： 说明是否喜欢哪吒电影与性别有关的可能性在以上. 16. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表. 360 54.4 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）设相应事件，可得相应概率，结合全概率公式计算概率运算求解； 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围， 所以适宜作为y与x之间的回归方程模型． 令，则， 则， 所以，所以y关于x的回归方程为． 【小问2详解】 设事件“所取两个鱼卵来自第i批”， 所以， 设事件“所取两个鱼卵有个“死卵”， 则， 由全概率公式， 所以取出“死卵”个数为1的概率为. 17. 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. （1）假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； （2）丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】（1）甲能够获得奖励，理由见详解 （2）乙所说为假 【解析】 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【小问1详解】 甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. 【小问2详解】 假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 18. 为降低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品. （1）若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品件数，求的数学期望； （2）已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元／件） 1 0.5 ①求2件减排器利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：，）. 【答案】（1） （2）①0.81；②增加3件最好 【解析】 【分析】（1）分析可知结合二项分布的期望公式运算求解； （2）①根据相互独立事件的乘法公式计算即可；②先求出一件减排器的平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【小问1详解】 由题意可知：每件产品是二等品的概率均为，则， 所以的数学期望. 【小问2详解】 ①设2件减排器的利润为Y万元， ， 所以2件减排器的利润不少于1万元的概率为0.81； ②一件减排器的平均利润为（万元）， 则增加件产品，利润增加为万元，成本也相应提高万元， 所以净利润为， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，因x只能取正整数，所以或，此时可能为最大值， ， ， 所以要增加产量，增加3件最好. 19. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直. （1）求，满足的关系式； （2）设，讨论函数的单调性； （3）证明：. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，分类讨论两根大小以及根与定义域，利用导函数符号讨论单调性即可求解； （3）利用（2）中结论，当时，，令，，则，结合对数的运算性质即可求解. 小问1详解】 由题意可得， 因为在点处的切线与直线垂直， 所以，即，所以. 【小问2详解】 因为，则， 可得，， 因为， 当时，则，可知， 令，则；令，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 当时，则， 令，则或；令，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则， 令，则或；令，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知：当时，内单调递增， 则，可得在上恒成立， 即，当且仅当时等号成立， 令，则， 因为， 而 ， 所以， 且 ． 所以，即，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明市第三中学高2026届高二年级下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在等差数列中，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某次文艺汇演，要将这六个不同节目编排成节目单．如果两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 10. 对任意实数x，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. （，1，…，9）最大值为 C. D. 11. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 移动n次后质点最有可能回到原点 三、填空：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为__________；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 四、计算题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 截至2025年2月13日晚，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）总票房（含预售）已突破100亿元，观影人次破2亿，成为中国影史首部票房破100亿且观影人次破2亿电影，登顶全球影史单一市场票房榜，暂列全球票房榜第17名．按照猫眼专业版AI预测，其最终票房将达到153.38亿，若达成则有望超越电影《星球大战：原力觉醒》的150.19亿票房，排名全球前五．银河影院为了解观众是否喜欢电影与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢该电影的人数是300，喜欢该电影的女生比男生少60人． （1）完成下面的列联表； 喜欢电影 不喜欢电影 总计 女生 男生 总计 （2）根据调查数据回答：有把握认为是否喜欢电影与性别有关吗？ 附：． 临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表. 360 54.4 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 17. 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. （1）假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； （2）丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 18. 为降低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品. （1）若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的数学期望； （2）已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元／件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：，）. 19. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直. （1）求，满足的关系式； （2）设，讨论函数的单调性； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$