精品解析：2025年湖南省邵阳市武冈市武冈市九年级模拟考试三模数学试题

2025届湖南省邵阳市武冈市初中学业水平检测第三次模拟考试 数学试题 （本试题卷共26题．时量120分钟．满分120分．） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 2. 据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 是的平方根 B. 2是的算术平方根 C. 的平方根是2 D. 8的立方根是2或 6. 如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（ ） A. 4，4 B. 4，9 C. 5，9 D. 9，9 7. 如果，那么、的值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列说法中错误的是( ) A. 若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B. 若a＝b，则ac＝bc C. 若ac＝bc，则a＝b D. 若，则a＝b 9. 在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　) A. 24 B. 26 C. 28 D. 26或28 10. 抛物线的函数表达式为，则下列结论中，正确的序号为（ ） ①当时，取得最小值；②若点，在其图象上，则； ③将其函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线的函数表达式为；④函数图象与轴有两个交点，且两交点的距离为． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 12. 若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________（写出一个即可）． 13. 把5×5×5写成乘方的形式__________ 14. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 15. 若与互为相反数，则__________． 16. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 17. 如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则________°． 18. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 _____． 三、解答题： 本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 22. 如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）如图（1），若点D是的中点，求证：； （2）如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； （3）如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 23. 中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 24. 2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 （1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 25. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 26. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 （1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； （2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湖南省邵阳市武冈市初中学业水平检测第三次模拟考试 数学试题 （本试题卷共26题．时量120分钟．满分120分．） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：如图，正六边形的对称轴有6条． 故选：C． 2. 据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 3. 星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在每段中，离公园的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【详解】解：图像分为三个阶段， 第一个阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增加而减小； 第二个阶段：在公园停留一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而变化； 第三个阶段：沿原路匀速步行回家，离公园的距离随时间的增大而增大，且这段的速度小于第一阶段的速度； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图像，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图像的纵坐标判断离公园的距离及运动的速度是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解． 【详解】解：由题意，∵， ∴在x轴的负半轴上， ∵，，，，…， ∴的横坐标为，即， 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 是的平方根 B. 2是的算术平方根 C. 的平方根是2 D. 8的立方根是2或 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根，立方根的定义判断解答即可，本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】没有平方根；的算术平方根是2；的平方根是；8的立方根是2． 故选B． 6. 如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（ ） A. 4，4 B. 4，9 C. 5，9 D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为， 则这组数据的中位数为， 这组数据的众数为， 故答案为：D． 7. 如果，那么、的值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 8. 下列说法中错误的是( ) A. 若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B. 若a＝b，则ac＝bc C. 若ac＝bc，则a＝b D. 若，则a＝b 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质逐项分析即可. 【详解】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2，然后再加上3，等式仍成立，即3﹣2a＝3﹣2b，故本选项不符合题意. B、在等式a＝b的两边同时乘以c，等式仍成立，即ac＝bc，故本选项不符合题意. C、当c＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意. D、在等式的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式. 9. 在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　) A. 24 B. 26 C. 28 D. 26或28 【答案】D 【解析】 【分析】如图：由，根据平行四边形的对边相等且平行，可得AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，即可得∠AEB＝∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB，故AB＝AE，∠ABC的平分线分对边AD为5和4两部分，所以AE可能等于5或等于4，然后即可得出答案． 【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵∠ABC的平分线分对边AD为5和4两部分， 如果AE＝4，则四边形周长为26； 如果AE＝5，则AB＝DC＝5，AD＝BC＝9， ∴的周长为28； ∴的周长为26或28． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用． 10. 抛物线的函数表达式为，则下列结论中，正确的序号为（ ） ①当时，取得最小值；②若点，在其图象上，则； ③将其函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线的函数表达式为；④函数图象与轴有两个交点，且两交点的距离为． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与轴的交点坐标可判断④，从而可得答案． 【详解】解：，图象的开口向上， 当时，取得最小值；故①符合题意； 的对称轴为， 而， ，故②符合题意； 将其函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线的函数表达式为，故③不符合题意； 当时，则， 解得：， 而， 故④符合题意． 二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：240． 12. 若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________（写出一个即可）． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 13. 把5×5×5写成乘方的形式__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数乘方的定义解答． 【详解】5×5×5＝. 故答案是：. 【点睛】考查了有理数的乘方的定义，注意指数是底数的个数． 14. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】2026 【解析】 【分析】把代入得，再代入进行计算，即可作答．本题考查了一元二次方程的根的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 若与互为相反数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，有理数的加法计算，根据互为相反数的两个数的和为0得到，再由绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：6． 17. 如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 先根据平行线的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 18. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，点到圆上的距离，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值， ∴的最大值为3， 答案为：3． 三、解答题： 本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 22. 如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）如图（1），若点D是的中点，求证：； （2）如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； （3）如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵D为中点， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）成立． 证明：如图2，过D作，交于F， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即； （3）． 证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出，推出，根据等边三角形性质求出，即可得出答案； （2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质． 23. 中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 【答案】每辆汽车的售价应定为24万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确找到题中的等量关系是解题的关键． 设每辆汽车售价降低万元，则多买辆，根据题意列出方程，解答分析即可． 【详解】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆， 由题意得：， 化简得：， 解得：，， 要尽可能给顾客更多优惠， 取， ， ∴每辆汽车的售价应定为24万元． 24. 2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 （1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 【答案】（1），， （2）4000人 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键． （1）先算出总人数，再运用总人数乘上，得出的值，再求出的值，然后计算D的占比，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人）， ∴（人）， ∴（人）， ∴D所在扇形圆心角的度数为：， 【小问2详解】 解：依题意，（人） 答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人． 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图如下图： 根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果， 其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：． 25. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的解集为或． 【小问3详解】 解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 26. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 （1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； （2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】（1）3 （2） 解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【小问1详解】 解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $