精品解析：湖北省荆州市成丰学校2025学年高二下学期期中考试数学试题

荆州成丰学校2025年春季学期期中考试高二数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（ ） A. 2种 B. 5种 C. 8种 D. 15种 【答案】C 【解析】 【分析】把编号所有可能情况分两类，一类字母，一类数字，两类数目相加可得． 【详解】由题意这本书的编号可能是字母，，，有3种 可能是数字：1，2，3，4，5，有效种， 共有3+5=8种． 故选：C． 【点睛】本题考查分类计数原理，用列举法列出所有可能事件是常用方法． 2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】 由导函数图象与原函数图象关系可解. 【详解】由导函数图象知，在和上单增，在，上单减，在处取极大值，在处取极小值. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导函数图象研究原函数的单调及极值 导数法研究函数在 内单调性的步骤： (1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 3. 若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可. 【详解】解：由得：，解得：或（舍去）. 故选：B. 【点睛】本题考查排列数与组合数公式，属于基础题. 4. 已知为、的等差中项，为、的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出、的值，利用等式的性质可得结果. 【详解】由题可得，，则． 故选：A. 5. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需对每个选项中的函数求导，根据导函数在上的正负来判断函数的单调性，或者直接根据已知函数的单调区间来判断即可. 【详解】对于A选项，对于二次函数，对称轴为. 二次函数开口向上时，对称轴右侧为增区间，所以的增区间为. 因为不完全等同于其增区间，所以在上不是单调递增，故A不满足题意. 对于B选项，对于函数，求导可得. 当时，，所以，即 根据函数单调性和导数的关系，所以在上单调递减，故B不满足题意. 对于C选项，对于函数，这是对勾函数的形式，其增区间为和. 因为并不完全包含在其增区间内，所以在上不是单调递增的，故C不满足题意. 对于D选项，对于函数，对其求导可得. 当时，，所以，进而，即. 根据函数单调性和导数的关系，当导函数大于时，函数单调递增.所以在上单调递增，故D满足题意. 故选：D. 6. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率. 【详解】解析：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B， 则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=， 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=. 故选：C. 7. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，令，求得，再令，可得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由， 令，可得， 再令，可得， 所以. 故选：A. 8. 把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A. 60 B. 72 C. 96 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】 先把5名同学分成组，有两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成组，有两种情况，故共有种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有24种方法 B. 若A、B不相邻共有72种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分类加法，分步乘法原理，结合排列的相关知识点，对选项一一分析. 【详解】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A不正确； 对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有种，所以B正确； 对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以以C正确； 对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即，由分类加法原理可知共有种，所以D正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：捆绑法解决相邻问题，插空法解决不相邻问题. 10. 已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则（ ） A. B. C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为54 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项公式求解列方程求解即可 【详解】令，得的展开式中各项系数之和为，所以， 选项A正确； 的展开式中第二项的二项式系数为，所以，，选项B正确； 的展开式的通项公式为， 令，则，所以展开式中不存在常数项，选项C错误； 令，则，所以展开式中含项的系数为，选项D正确.； 故选：ABD 【点睛】本题考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题 11. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数字2，0，1，9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________． 【答案】10 【解析】 【分析】 根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数. 【详解】根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为．由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10． 故答案为：10. 13. 已知各项均为正项的等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得，计算出后再利用即可． 【详解】解：由是等比数列，得，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 14. 已知函数，若，则________；若函数在单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）利用求得. （2）利用在区间上恒成立，分离常数后结合导数求得的取值范围. 【详解】 （1）依题意，. （2）依题意在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 构造函数， ，所以在区间上，递增；在区间上，递减.所以在区间上的极大值也即是最大值为. 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查根据导数求参数，考查根据单调性求参数的取值范围，属于中档题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球. （1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？ （2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？ 【答案】（1）720；（2）28. 【解析】 【分析】（1）由题意先将白球选出4个进行排列，再用黑球插空即可得解； （2）由题意将满足要求的情况分为三种：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，再结合分步乘法、组合的知识即可得解. 【详解】（1）首先从5个白球中取出4个进行排列，然后3个黑球插在中间三个空内， 则4个白球两两不相邻的排法有种； （2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，则共有种取法. 【点睛】本题考查了计数原理的应用，合理分类、分步，熟练掌握插空法的应用是解题关键，属于基础题. 16. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）设数列的首项为，公差为. 由题意得 解得 ∴数列的通项公式 . （2）由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等求和方法． 17. 某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动． （1）求男生甲或女生乙被选中的概率； （2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】 （1）求出总的选法，男生甲或女生乙被选中的选法，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率． （2）求出女生乙被选中的概率，男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论. 【详解】（1）某班从名班干部(男生人、女生人)中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种， 男生甲或女生乙都没有被选中的选法： 则男生甲或女生乙被选中的选法有种， ∴男生甲或女生乙被选中的概率为； （2）总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，∴， 男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，∴， ∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）当时，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）单调递增区间为(a，3a)，单调递减区间为(－∞，a)和(3a，＋∞)，极大值为0，极小值为－a3；（3） 【解析】 【详解】解：（1）∵当时， ∴，， ∴所求切线方程为即． （2）∵． 当时，由，得； 由，得或． ∴函数的单调递增区间为 单调递减区间为和． ∵， ∴当时，函数的极大值为0，极小值为． （3） ∵在区间上单调递减 ∴当时，取得最大值 当时，取得最小值． ∵不等式恒成立 ∴解得 故a的取值范围是． 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 19. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； （3）求展开式中含的项的系数及有理项． 【答案】（1） （2）展开式中二项式系数最大的项为，各二项式系数和为 （3）展开式中含的项的系数为，有理项为，， 【解析】 【分析】（1）求得展开式的通项，得到前三项系数为，结合题意，列出方程，即可求得的值； （2）根据二项展开式的性质，得到展开式中二项式系数最大的项为第五项，结合通项求得展开式的底5项，以及各二项式系数和； （3）由展开式的通项，令，得到，求得含的项的系数，再由，4，8，求得对应的有理项. 【小问1详解】 解：由二项式展开式的通项为， 因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， 所以，即，所以（舍去）或． 【小问2详解】 解：当时，可得所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即，且各二项式系数和为． 【小问3详解】 解：由二项式展开式的通项公式为：， 令，可得，所以含的项的系数为； 设展开式中第项有理项，由， 当，4，8时对应的项为有理项，其中有理项分别为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆州成丰学校2025年春季学期期中考试高二数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（ ） A. 2种 B. 5种 C. 8种 D. 15种 2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 3. 若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知为、的等差中项，为、的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 8. 把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A. 60 B. 72 C. 96 D. 150 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有24种方法 B. 若A、B不相邻共有72种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 10. 已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则（ ） A. B. C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项系数为54 11. 若直线是函数图象一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数字2，0，1，9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________． 13. 已知各项均为正项的等比数列，则________． 14. 已知函数，若，则________；若函数在单调递增，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球. （1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？ （2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？ 16. 已知为等差数列前项和，，. （1）求通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动． （1）求男生甲或女生乙被选中的概率； （2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）当时，不等式恒成立，求a的取值范围． 19. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； （3）求展开式中含项的系数及有理项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$