精品解析：河北省衡水市阜城县某校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2025年04月高二数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序排法种数为（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 2. 名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65 7. 的展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 8. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ） A. 随机变量X的取值为1，2，3 B. C. D. 11. 若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 二、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为______． 13. 设随机变量的分布列为，，其中为常数，则________． 14. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占，高二60人中女生占，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______． 四、解答题 15. 有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法? （1）至少有名女运动员； （2）队长中至少有人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员. 16. 已知在的展开式中，第项为常数项. （1）求 （2）求含的项的系数与该项的二项式系数； （3）求展开式中所有的有理项. 17. 已知，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 18. 已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x. （1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值； （2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围. 19. 甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （1）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率； （2）设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年04月高二数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序排法种数为（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】先排两位爸爸，再将两个小孩排在一起，有种排法，进而将两位妈妈和孩子进行全排列，相乘后得到答案. 【详解】（捆绑法）爸爸排法有种，两个小孩排在一起看成一体，有种排法， 妈妈和孩子共有种排法， ∴排法种数共有 （种）方法. 故选：C 2. 名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原理可得：， 应选答案：D． 【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意． 3. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 5. 展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和得到，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】展开式中所有二项式系数之和是，故， 的展开式的通项为：， 取得到常数项为：，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项式系数和，根据常数项求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6. 某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件， 依题意，，，，， 由全概率公式得，. 故选：B 7. 的展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为， 故选：A. 8. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动， 设男生甲被选中为事件，其概率为， 设女生乙被选中为事件， 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为， 所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. 故选：B. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D. 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：ACD． 10. 随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ） A. 随机变量X的取值为1，2，3 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解. 【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误； 则，，故B错误，C正确； 又，， 所以．故D正确． 故选：CD． 11. 若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性，画出示意图，利用数形结合转化求解即可. 【详解】由题意，得， 故在，上是增函数， 在上是减函数，作出其大致图象如图所示， 令，得或 则结合图象可知， 解得.又， 所以，可以取. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的值的求法，考查分析问题解决问题的能力，数形结合的应用，是中档题. 二、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】从10个人中选出7人得到电影票即可. 【详解】解：依题意可得不同的分法种数为． 故答案为：120 13. 设随机变量的分布列为，，其中为常数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，即可解出． 【详解】因为．故， 所以． 故答案为：． 14. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占，高二60人中女生占，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】用分别表示取的一人是来自高一和高二，表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：,且, 所以 故答案为： 四、解答题 15. 有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法? （1）至少有名女运动员； （2）队长中至少有人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员. 【答案】（1）246 （2）196 （3）191 【解析】 【分析】（1）解法一：结合组合数的应用，根据分类加法计数原理求解； 解法二：结合组合数的应用，利用间接法求解即可； （2）解法一：结合组合数的应用，根据分类加法计数原理求解； 解法二：结合组合数的应用，利用间接法求解即可； （3）结合组合数的应用，按照有女队长和不选女队长两种情况分类讨论，再根据分类加法计数原理求解. 【小问1详解】 解法一：至少有名女运动员包括以下几种情况: 女男， 女男， 女男， 女男. 由分类加法计数原理可得共有种选法. 解法二：“至少有名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”， 可用间接法求解.从人中任选人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种. 故“至少有名女运动员”的选法有 （种）. 【小问2详解】 解法一：可分类求解:“只有男队长”的选法有种；“只有女队长”的选法有种； “男、女队长都入选”的选法有种， 故共有种选法. 解法二：间接法:从人中任选人，有种选法，其中不选队长的方法有种， 故“至少有1名队长”的选法有 （种）. 【小问3详解】 当有女队长时，其他人任意选，共有种选法； 当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种， 因此，不选女队长时的选法共有种. 故既有队长又有女运动员的选法共有 （种）. 16. 已知在的展开式中，第项为常数项. （1）求 （2）求含的项的系数与该项的二项式系数； （3）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）10 （2），45 （3），， 【解析】 【分析】（1）求出二项式的展开式通项，根据常数项赋值求解即可求解； （2）令，得，即可求出，再根据二项式系数的概念求二项式系数即可； （3）利用二项式展开式通项中的指数为整数且求出，再根据通项即可求解. 【小问1详解】 的展开式的通项为， 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 【小问2详解】 令，得， 所以含的项的系数为. 该项的二项式系数为. 【小问3详解】 根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数.又， 所以可取，即可取.所以第项，第项与第项为有理项， 它们分别为，，，即，，. 17. 已知，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187. 【解析】 【分析】 利用赋值法，分别将，，代入二项展开式中，求出部分项的系数之和，得出①②③式； （1）由②-①，即可得的值； （2）由(②-③)，即可得的值； （3）由(②+③)，即可得的值； （4）根据二项展开式的通项得到展开式中每项系数的符号，然后去掉绝对值并结合（2）和（3）中的结果求解即可． 【详解】解：令则①； 令则②； 令则③； （1）②-①得：； （2）(②-③)得：； （3）(②+③)得：； （4）由展开式可知均为负值，均为正值， 则. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的系数和问题，由于二项式定理中的字母可取任意数或式，所以利用赋值法是求解二项展开式各项系数和的关键，考查计算和转化能力． 18. 已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x. （1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值； （2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围. 【答案】（1）－；（2）(－∞，－1]；（3）. 【解析】 【分析】（1）求导根据即可求出的值，注意检验时，函数f(x)是否在x＝2处取得极值即可得出结论； （2）原题等价于在时恒成立，参变分离，求出的最小值即可得出结果； （3）利用导数研究函数的图象与性质，进而根据题意得到不等式组，解不等式组即可求出结果. 【详解】（1）由题意，得 (x>0)， 因为x＝2时，函数f(x)取得极值，所以，即，解得， 则，则，令，则或，所以和时，，单调递减，时，，则单调递增，故函数在x＝2处取得极大值，故符合题意，因为； （2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意在时恒成立，即在时恒成立，则在时恒成立，即， 当时，取最小值， 所以a的取值范围是. （3）当时，， 即. 设， 则，令，或， 当变化时，的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以g(x)极小值＝g（2）＝ln2－b－2， g(x)极大值＝g（1）＝－b－， 又g（4）＝2ln2－b－2， 因为方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根， 则，解得ln2－2<b≤－， 所以实数b的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. （1）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率； （2）设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： ，【解析】 【分析】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，分析的可能取值，计算对应的概率，分析事件“甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等”所包含的情况可得结果. （2）根据（1）分析的取值，计算对应概率可得分布列和期望. 【小问1详解】 用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值均为，则 ，，， ，，. 设甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等为事件， 则. 【小问2详解】 由题意得，随机变量的所有可能取值为. 由（1）得，，， ∴， ∴的分布列为： ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $