精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

北京师范大学天津生态城附属学校 2024—2025学年度高二年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共45分． 1. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 3. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①-2是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增. 则正确命题序号是 A ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 4. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（ ） A. 乙组数据的相关系数大于零 B. 甲组数据的相关程度比乙强 C. 乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D. 乙组数据的相关系数比甲小 6. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 7. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ） A. B. C. D. 8. 对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（ ）种． A. 120 B. 360 C. 420 D. 240 9. 若函数有最小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 11. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为______；该展开式中项的系数为_______． 13. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 14. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为___________；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为___________； 15. 已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为___________． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ （3）甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ （4）男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 17. 已知函数，满足． （1）求实数a的值； （2）求的单调区间和极值． 18. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值 19. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 20 已知函数． （1）若时，直线是曲线的一条切线，求b的值； （2），且恒成立，求a的取值范围； （3）令，且在区间上有零点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师范大学天津生态城附属学校 2024—2025学年度高二年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共45分． 1. 下列求导运算中正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数导数的公式与复合函数求导逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B不正确； ，故C不正确； ，故D不正确. 故选：A. 2. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本相关系数，回归直线方程，相关指数和残差的概念判断即可． 【详解】对于A选项，样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确； 对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确； 对于C选项，相关指数来刻画模型的拟合效果，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故C错误； 对于D选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故D正确； 故选：C． 3. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①-2是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增. 则正确命题的序号是 A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 4. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算可得，再分析理解得，结合对立事件求概率． 【详解】由题意： 所以，得 所以 故选：C． 5. 对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（ ） A. 乙组数据的相关系数大于零 B. 甲组数据的相关程度比乙强 C. 乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D. 乙组数据的相关系数比甲小 【答案】D 【解析】 【分析】利用线性相关的定义进行判断即可. 【详解】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关， 且乙组数据呈负相关，相关系数记为，则， 甲组数据呈正相关，相关系数记为，则， 乙图的点相对更加集中在某一条直线附近， 所以其相关性较强，则乙组数据的相关系数更接近，故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 6. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 【答案】D 【解析】 【分析】利用经验回归方程，结合正相关的意义判断A；求出样本的中心点，求出并依次判断BCD. 【详解】对于A，由经验回归方程，得回归直线斜率，与有正相关关系，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由选项B知，，当时，，C正确； 对于D，当时，，残差为，D错误. 故选：D 7. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可. 【详解】由题意知，， 所以 . 故选:B. 8. 对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（ ）种． A. 120 B. 360 C. 420 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类与分步计数原理，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，再分当C与A颜色相同与颜色不同分类计数即可. 【详解】设四棱锥， 则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法， 当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法， 当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法， 故此时共有种涂色方法（种）. 故选：C． 9. 若函数有最小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数的取值范围. 【详解】作出的图象： 当时，， 当时，在上在 上 则在上单调递减，在 上单调递增，又 ∴， 函数有最小值，则， 即， 故选B 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合函数最值的有界性以及利用数形结合是解决本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题得， 所以. 故答案为： 11. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案为：；. 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为______；该展开式中项的系数为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为二项式展开式的各二项式系数之和为，即，解得， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：； 13. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用二项分布数学期望公式计算即得第一空；利用对立事件的概率公式，计算求解易得. 【详解】设甲射击3次，击中目标次数为，依题意，,则； 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为和,则, 因“至少有1人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为. 故答案为：2；. 14. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为___________；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为___________； 【答案】 ①. 0.54 ②. 【解析】 【分析】根据题意设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场，事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场，结合条件概率的性质与全概率公式求解概率即可. 【详解】根据题意，设事件：小王同学第一天去甲游乐场， 事件：小王同学第二天去甲游乐场， 事件：小王同学第一天去乙游乐场， 事件：小王同学第二天去乙游乐场， ， 所以；， 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为． 故答案为：0.54；. 15. 已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的零点和方程的根之间的关系，令，得，令，求导，求出的单调区间和极值，令只有一解得出a的范围． 【详解】令，得， ， 令，则， 令得或， ∴当或时，，当时，． 在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，取得极小值， 当时，取得极大值， 当时，， 只有一个零点， 只有一解， 或， 即． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ （3）甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ （4）男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1）576 （2）240 （3）3720 （4）2880 【解析】 【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可； （2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可； （3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可； （4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可. 【小问1详解】 先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； 【小问2详解】 从剩下2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法， 因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； 【小问3详解】 7个人全排列，有种排法， 甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法， 所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法； 【小问4详解】 先排4名女生，有种排法， 从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法， 4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法． 17. 已知函数，满足． （1）求实数a的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求导后根据求解即可； （2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可. 【小问1详解】 由题意，，又，解得 【小问2详解】 由（1），且为增函数. 令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值. 综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 18. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取和 的中点和，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，，结合，即可得证； （2）由平面法向量为，且，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由平面，得到平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，求得直线与平面夹角余弦值. 【小问1详解】 证明：取和 的中点和，连接和， 在正四棱柱中，可得为正三角形，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则 取，可得，所以， 因为，即，所以平面平面. 【小问2详解】 由平面的法向量为，且， 设直线与平面所成的角为， 可得， 又因为，所以到平面的距离为. 【小问3详解】 由为正三角形，且为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面， 所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量， 又由，可得， 设直线与平面夹角为， 可得， 则，即直线与平面夹角的余弦值为. 19. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 【答案】（1）10个样品中有3个不合格产品 （2） 0 1 2 3 （3）元 【解析】 【分析】（1）利用，可以求出不合格品概率，即可求出结果； （2）利用超几何分布求出分布列； （3）由样本频率估计总体，利用二项分布求出200件产品中不合格品的个数，即可求出预计维修费用. 【小问1详解】 ∵，且视为不合格， ∴∴，即10个样品中有3个不合格产品. 【小问2详解】 由（1）可知，10件样品中有3件不合格产品，有7件合格产品； ∴的可能值为0，1，2，3.∴， ， ， ， ∴分布列为: 0 1 2 3 【小问3详解】 由（1）可知，不合格品的概率为， ∴不合格品的个数， ∴200块电池中，不合格品的个数为个， 所以维修费用元. 20. 已知函数． （1）若时，直线是曲线的一条切线，求b的值； （2），且恒成立，求a的取值范围； （3）令，且在区间上有零点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切点在切线上求解即可； （2）原不等式恒成立分离参数后化为，利用导数求的最小值即可； （3）设，在上的一个零点为，利用零点转化为，再构造函数，求最小值即可. 【小问1详解】 当时，，设切点为， 因为是的一条切线， 所以，解得， 所以， 又切点在切线上， 所以，得． 【小问2详解】 当时，由恒成立可得恒成立， 即恒成立，令， 则，当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 故时，有极小值也是最小值，所以. 【小问3详解】 ，设在上的一个零点为， 则， ，当时等号成立． 令，则． 因为，则，即， 所以在区间上单调递减， 所以的最小值为， 故的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于利用在区间上有零点，利用零点表示 ，再将转化为关于的二次式得出最小值为，之后利用导数求最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$