天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

北京师范大学天津生态城附属学校 2024—2025学年度高二年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共45分． 1. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 3. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①-2是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增. 则正确命题的序号是 A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 4. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（ ） A. 乙组数据的相关系数大于零 B. 甲组数据的相关程度比乙强 C. 乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D. 乙组数据的相关系数比甲小 6. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 7. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ） A. B. C. D. 8. 对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（ ）种． A. 120 B. 360 C. 420 D. 240 9. 若函数有最小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 11. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 12. 二项式展开式的各二项式系数之和为______；该展开式中项的系数为_______． 13. 甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 14. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为___________；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为___________； 15. 已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为___________． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ （3）甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ （4）男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 17. 已知函数，满足． （1）求实数a的值； （2）求的单调区间和极值． 18. 如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面距离； （3）求直线与平面夹角余弦值. 19. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 20. 已知函数． （1）若时，直线是曲线的一条切线，求b的值； （2），且恒成立，求a的取值范围； （3）令，且在区间上有零点，求的最小值． 北京师范大学天津生态城附属学校 2024—2025学年度高二年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，共45分． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 二、填空题：本题共6小题，共30分． 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 ①. ②. 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 0.54 ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1）576 （2）240 （3）3720 （4）2880 【17题答案】 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）10个样品中有3个不合格产品 （2） 0 1 2 3 （3）元 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $