精品解析：山东省日照市2024-2025学年高一下学期期中校际联合考试数学试题

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A 2024级高一下学期期中校际联合考试数学 2025.05 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C 三点共线 D. 三点共线 4. 要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需把函数y=sin2x的图像 A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 若对，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 当时，记．已知，则的图象与轴围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的单调递增区间为 11. 如图，在和中，点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，P为内一点（含边界），且，下列说法正确的是（ ） A. 和的面积相等 B. 和的重心重合 C. 延长BE交AC于点M，则 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的弧长为8，半径为4，则扇形的面积为_______． 13. 已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是_______． 14. 在等腰直角三角形ABC中，，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作，点P在线段AB上，点Q在上，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，求的坐标和； （2）若，与共线，求实数m值； （3）若在上的投影的数量为2，求． 16. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知向量，，其中，函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18. 在中，钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． （1）若，求； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）设，求的最小值． 19. 已知函数的最小正周期为，且点是其图象的一个对称中心． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象．令函数，． （ⅰ）是否存在实数使得函数的最大值为2?若存在，求出实数的值及此时的取值集合，若不存在，请说明理由； （ⅱ）若函数在内恰有2027个零点，求实数与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参照秘密级管理★启用前试卷类型：A 2024级高一下学期期中校际联合考试数学 2025.05 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把变成0到360度内的角即可判断. 【详解】因为，所以角的终边在第三象限. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接列方程，解方程即可. 【详解】由已知，，且， 则， 解得， 故选：B. 3. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 4. 要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需把函数y=sin2x的图像 A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】将目标函数变为，由此求得如何将变为目标函数. 【详解】依题意，目标函数可转化为，故只需将向左平移个单位，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换中的平移变换，属于基础题. 5. 若对，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转换为即可得解. 【详解】由题意即可，所以. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知的两个等式分别平方，然后相加得到一个关系式，然后利用三角函数的两角差公式来求解. 【详解】因为， 所以分别平方得：① ② ①+②得：. 进一步化简得：，所以. 因为，所以. 故选：A. 7. 在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，利用向量的线性运算法则以及向量数量积的运算得到关于的方程，解之即可． 【详解】 因为平行四边形中, ，，E为的中点， 设,由得， ， 即， 解得或（舍去）； 故选：C. 8. 当时，记．已知，则的图象与轴围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得的解析式并作出简图，由对称性可得结果. 【详解】依题意， 作出函数的简图，如图. 由对称性可知，函数的图象与轴围成的图形的面积等于矩形面积的. 故所求图形的面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出可判断A；求出的坐标可判断B；求出可判断C；求出可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由于即可判断；对于B，验算半个周期即可；对于C，直接验算时，函数是否取最值即可；对于D，由整体代入法算出在上单调递增区间为即可判断. 【详解】对于A，显然的最大值为1，故A正确； 对于B，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 令，则， 所以在上的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在和中，点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，P为内一点（含边界），且，下列说法正确的是（ ） A. 和的面积相等 B. 和的重心重合 C. 延长BE交AC于点M，则 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由中线的性质即可判断；对于B，由重心的性质即可判断；对于C，由面积关系可得，进一步即可判断；对于D，设，进而得出，将问题转化为求的最小值，通过建立平面直角坐标系即可求解. 【详解】对于A，因为点是的中点，所以和的底边，对应的高也相等，所以和的面积相等，故A正确； 对于B，设是的重心，则当且仅当， 因为点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点， 所以， 三式相加可得， ， 所以，也就是说点也是的重心，故B正确； 对于C，如下图，因为分别为的中点， 连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M， 则，所以， 同理可得，且， 所以，这两个三角形同底边，所以点到的距离是点到的距离的两倍， 设所成角为，则，其中点到的距离，点到的距离分别为， 即，，C错误； 对于D，如图，过点分别作的平行线，交于点， ，设， 则，因为三点共线，故，要求的最小值，只需求的最小值即可， 设，则， 延长交于点，则， 现在我们按如下方式构造符号题意的三角形，来求， 设，则（理论上来说应该设）， 设，则， 因为是中点，所以， 因为是中点，所以， 类比C选项可知，点是线段的靠近点的三等分点， 从而 ， 故，即的最小值是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的弧长为8，半径为4，则扇形的面积为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】由扇形面积公式直接求解即可. 【详解】所求为. 故答案为：16. 13. 已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数进行化简，再求出时的表达式，最后结合方程在区间内无实数解这一条件确定的取值范围. 【详解】对进行化简，可得： 令，则. 根据正弦函数的性质，可得，，解关于的方程： 即，. 当时，；当时，. 因为方程在区间内无实数解，所以或（不成立，舍去）. 解不等式，得，因为，解得. 故答案为：. 14. 在等腰直角三角形ABC中，，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作，点P在线段AB上，点Q在上，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，得到，先求出的范围，进一步即可求解. 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，， ，设， 所以， ， 由于， 所以， 当且仅当，， ， 当且仅当，或1，或0， 由于都是连续变化的，故所求范围为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，求的坐标和； （2）若，与共线，求实数m值； （3）若在上的投影的数量为2，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量加法、模坐标计算公式求解即可； （2）由向量共线的充要条件列式求解即可； （3）由投影数量的定义、数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 从而． 【小问2详解】 因为，所以 因为与共线，所以，即． 【小问3详解】 因为在上的投影的数量为2，，所以， 所以． 16. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出，再化成齐次式即可求解； （2）先算出，再利用二倍角公式、两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，且，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，因为，且， 所以， 所以， ， 所以． 17. 已知向量，，其中，函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理函数的解析式可得，由，可得，即可得函数解析式. （2）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【小问1详解】 依题意， ． 由得， 即． 又，所以． 所以 【小问2详解】 因恒成立， 则， 而 ， 所以， 即在恒成立， 记， ， 又； 设，则在上单调递增， ， ，即． 故的取值范围为 18. 在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． （1）若，求； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）设，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． 【小问3详解】 设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 19. 已知函数的最小正周期为，且点是其图象的一个对称中心． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象．令函数，． （ⅰ）是否存在实数使得函数的最大值为2?若存在，求出实数的值及此时的取值集合，若不存在，请说明理由； （ⅱ）若函数在内恰有2027个零点，求实数与的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）存在，答案见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据周期性与对称性求出、，即可得解； （2）（ⅰ）首先求出变化后的解析式，再结合二次函数的性质计算可得；（ⅱ）设，则方程变为，显然方程有解，设为，再对、分类讨论，结合正弦函数的周期性，分析可得；法二：方程等价于方程，构造函数，结合函数的性质讨论可得. 【小问1详解】 由且，得， 故， 因为为函数的一个对称中心， 所以，得， 由于，即，则， 因此． 【小问2详解】 由题意，函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以． 则； （ⅰ）， ①若，即时，，由得， 当时，，解得或， 当时，，解得或； ②若，即时，，由得（舍去）； ③若，即时，，由得（舍去） 综上所述：存在实数符合题意， 当时，对应的的取值集合为或； 当时，对应的的取值集合为或． （ⅱ）因为，令， 设，则， 该方程的判别式， 所以该方程有实根，设为，显然两根异号， ①若， 则方程在内都有偶数个根， 所以方程在内总有偶数个根，不符合题意； ②若，则此时， 当时，只有一个根，有两个根， 所以有三个根，由于， 所以在内有个根， 由于方程在内只有一个实根，没有实根， 所以方程在内有2026个实根，在内有2028个实根，不符合题意； ③若，则此时， 当时，只有一个根，有两个根， 所以有三个根，由于， 所以在内有个根， 由于方程在内没有实根，有两个实根， 所以在内有2027个实根，此时，符合题意； ④若， 此时方程在总有偶数个根，不合题意； 综上，． （另解）由（ⅰ）知，令， 当，即时，，从而不是方程的解， 方程等价于方程． 令， 的图象在区间内关于直线对称，则的图象在区间内关于直线对称，， 则时，直线与曲线在区间内总有偶数个交点； 的图象在区间内关于直线对称，则的图象在区间内关于直线对称，， 则时，直线与曲线在区间内总有偶数个交点． 所以当时，直线与曲线在区间内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在区间内恰有2027个零点； 当或时，直线与曲线在内有3个交点（在两个区间内为或个）， 由周期性，， 当时，由于直线与曲线在内有2025个交点，在内有1个交点，在内有2个交点，此时不满足题意； 当时，由于直线与曲线在内有2025个交点，在内有2个交点，所以在内有2027个交点，此时，满足题意． 综上，当时，函数在区间内恰有2027个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$