精品解析：浙江省杭州学军中学紫金港校区2025届高三下学期学科测试数学试题

杭州学军中学紫金港校区2025学年第二学期高三学科测试 数学试卷 一、单选题 1. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求复数，进而得共轭复数，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以， 则在复平面上对应的点为位于第四象限， 故选：D. 2. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接列方程，解方程即可. 【详解】由已知，，且， 则， 解得， 故选：B. 3. 已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（ ） A. B. C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出椭圆离心率，分焦点在轴或轴上讨论列出方程，即可求解. 【详解】易知椭圆的离心率为， 对于椭圆， 当焦点在轴上时离心率为，解得； 当焦点在轴上时离心率为，解得， 所以或. 故选：D． 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 定义新运算：，设，命题，则（    ） A. ，且为假 B. ，且为假 C. ，且为真 D. ，且为真 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合指对数函数性质分析可知，再根据命题的否定分析判断. 【详解】因为，且， 则，， 可得，即命题为假命题， 所以，且为真命题. 故选：D. 6. 六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“甲、乙两人相邻”可直接用捆绑法求出其包含的基本事件个数；对“丙、丁两人之间间隔两人”分两类讨论：丙、丁两人之间是甲和乙及丙、丁两人之间不是甲和乙，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】设事件“甲、乙两人相邻”，“丙、丁两人之间间隔两人”，则. 若丙、丁两人之间是甲和乙，则有种排法；若丙、丁两人之间不是甲和乙，则有种排法， ∴，. 故选：D. 7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，，设出长度，利用正弦定理可得与的等量关系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可. 【详解】在中，， 因为，所以， 设（），则， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ， 又，则，故， 所以． 故选：B． 8. 三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，三棱锥外接球的半径为R，由外接球的表面积可求出R，结合二面角的大小可求出a，当时，点P到平面ABC的距离最大，即体积最大． 【详解】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得， 设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为， 过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O， 即为三棱锥外接球的球心． 因为二面角的大小为，所以， 于是，， ， 因为，即， 解得，即， 因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大， 其最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值等于. 故选：A. 二、多选题 9. 若集合，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以，， 因为，， 所以，所以，所以， 故选项A、C正确，B、D错误. 故选：AC. 10. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出. 【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称， 故是偶函数，则，故A正确； B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误； CD选项，由得， 又，所以，又， 即，即，则， 所以，所以①， 即②， ②-①得，所以函数的周期为4， 令，由，得， 再令，则，所以， 又，由， 所以 ，故C，D正确. 故选：ACD. 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 函数的周期性：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； 三、填空题 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式化简得，再降下标作差即可得，结合等差数列定义即可得到其通项. 【详解】，①， 当时，②， ①-②得，， ，，， 是等差数列， 又， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，求的解析式，设，利用导数证明，则，设，利用导数求的最小值，由此可得结论. 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为，又， 所以 ， 设， 则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， 设，则， 令，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即，时等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15. 如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角余弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为. 试题解析：（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以. （Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为. 设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为. 考点：1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解. 16. 智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） （2）若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 P ， 【解析】 【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可； （2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程； （2）求导后，设；令，利用导数可求得单调性，得到，采用放缩法可确定，知在上单调递增；当时，由恒成立可确定，满足题意；当时，令，利用导数可说明，得到，结合零点存在定理可说明，使得，由此可说明当时，，不合题意；综合两种情况可得结论. 【小问1详解】 当时，， 则，，又， 在处的切线方程为：. 【小问2详解】 ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，，即； 当时，，，， ，， 即，在上单调递增，即在上单调递增； ； ①当，即时，，在上单调递增， ，满足题意； ②当，即时，； 令，则， 在上单调递增，，即， 又，，使得， 当时，，则在上单调递减，此时，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据导数几何意义求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够根据端点效应，说明当时，单调递增；当时，结合零点存在定理说明存在的区间，由此可得参数范围. 18. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率为定值； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设直线方程为， 由得， ， ， 解得. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点M，用待定系数法可求出椭圆C的方程； （2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出，并进行化简，即可求出斜率定值； （3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， ， 的面积， ， ， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得或，即在和上单调递减， 所以当时，取到最大值， 的面积 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解. 19. 设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． （1）若：，写出数列，； （2）若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； （3）求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 【答案】（1）； （2） 证明：设，其中． 假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列， 不妨设不为常数列且为常数列， 记，则． 令 当时，因为，且，所以． 故． 此时为常数列，矛盾． 另法： ①若，则， 有 此时为常数列，矛盾． ②若，则， 有， 矛盾． 综上，对于任意正整数，都不是常数列. （3） 首先证明，若，其中， 则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列． 证明：构造项的数列，其中， 构造项的数列 对任意的正整数，设，则 由于不是常数列，故不是常数列． 其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 证明：假设存在，其中，使得存在数列， 使得对任意的正整数都不是常数列，不妨设的最小值为． 情形一：，则，记，则为常数列，矛盾． 情形二：，对任意的数列，则 记， 定义数列，其中． 则． 则依此类推，对任意正整数，记， 存在正整数，使得为常数列，记，则数列均为常数列， 设，则的各项均为．即时，是常数列，矛盾． 综上，当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 【解析】 【分析】（1）由题意，直接写出答案； （2）利用反证法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；另法：分情况写出常数列的结果反推前一种变换的数列，可得矛盾； （3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 【小问1详解】 由题意可得；. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学紫金港校区2025学年第二学期高三学科测试 数学试卷 一、单选题 1. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（ ） A. B. C. 或4 D. 或4 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 定义新运算：，设，命题，则（    ） A. ，且为假 B. ，且为假 C. ，且为真 D. ，且为真 6. 六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若集合，则一定有（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若，则________. 13. 记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为__________． 四、解答题 15. 如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角余弦值. 16. 智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） （2）若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 18. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率为定值； （3）求面积的最大值. 19. 设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． （1）若：，写出数列，； （2）若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； （3）求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $