精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学 一、选择：（3*9＝27） 1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 6 D. 2. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，是边上一点.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列描述中正确的是（ ） A. 若则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 5. 在中，若，则的形状是（ ） A 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 6. 对于平面向量给出下列命题： ①若，则； ②若，则当且仅当时，成立； ③对于任意的向量都成立； ④对于任意的向量，都有 其中真命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 若非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空（4*6＝24） 10. 已知，是虚数单位，若，则等于________． 11. 中，，则角B等于________． 12. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______． 13. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________． 14. 设向量，且，则m=_________. 15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 三、 解答 16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积，求b，c的值. 17. 已知，. （1）若向量与向量夹角为，求及在方向上的投影； （2）若向量与向量垂直，求向量与夹角. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 19. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 20. 已知点是锐角的外心，分别为角的对边，， （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 一、选择：（3*9＝27） 1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，然后根据纯虚数定义即可解题. 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：D 2. 已知向量且，则实数的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 3. 在中，是边上一点.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把化为，和已知的条件作对比，求出值． 【详解】解：， ，， 故选：A． 4. 为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列描述中正确的是（ ） A. 若则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】D 【解析】 【分析】依据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，根据相应的判定定理和性质定理逐一对每个选项进行判断. 【详解】对于A： 若，，则与平行或相交或异面，故A错误； 对于B： 若，，则或与相交，故B错误； 对于C： ，，则或与异面，故C错误； 对于D： 若，，，由面面平行的性质可知，故D正确． 故选：D． 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 6. 对于平面向量给出下列命题： ①若，则； ②若，则当且仅当时，成立； ③对于任意的向量都成立； ④对于任意的向量，都有 其中真命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积定义依次判断即可. 【详解】对于①，，， 因为，所以，若，则， 所以不一定成立，故①错误； 对于②，由①可知，若，则也可能成立，故②错误； 对于③，与共线，与共线， 因为与不一定共线，且也不一定成立， 故对于任意的向量不一定成立，故③错误； 对于④，对于任意的向量，都有，故④正确； 综上所述，真命题有1个. 故选：B 7. 若非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 8. 已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】设，，则， 点D，E分别是边AB，BC的中点，， ，， 则， ． 故选：B. 9. 在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比. 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为. 因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 二、填空（4*6＝24） 10. 已知，是虚数单位，若，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、的值，再计算其模. 【详解】由（），可得，解得， 所以. 故答案为：． 11. 中，，则角B等于________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求出或，则得到角B的大小. 详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，则，则或，则角B等于或. 故答案为：或. 12. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解 【详解】设圆柱的轴截面的边长为x， 则由，得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 13. 一个四面体所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】球心在正四面体的高上，设底面三角形外接圆圆心为,，根据球半径相等列方程，进而求出半径，即可求出表面积. 【详解】如图，在四面体中，所有棱长都为，设底面三角形外接圆圆心为, 则, 设,则, 所以外接球半径为,所以表面积为, 故答案为: . 14. 设向量，且，则m=_________. 【答案】-2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 考点：向量的模 15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 三、 解答 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积，求b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由正弦定理得到； （2）结合（1）中的，利用三角形面积公式得到，由余弦定理求出. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，即，解得， 由余弦定理得，所以， 综上，. 17. 已知，. （1）若向量与向量的夹角为，求及在方向上的投影； （2）若向量与向量垂直，求向量与的夹角. 【答案】（1）；-1；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出，再根据平面向量的几何意义求出在方向上的投影； （2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得，∴； 在方向上的投影为 （2）由已知得，即∴，∴， ∴向量与的夹角为. 【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示. 因为分别是中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. 【小问2详解】 连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 19. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 20. 已知点是锐角的外心，分别为角的对边，， （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角A的取值范围可求得角A的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值； （3）由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，结合两角和的正弦公式和内角和定理求出的范围． 【小问1详解】 因为，则， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，则， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 分别取AB，BC的中点D，E，连接OD，OE， 可得， 同理可得， 由得，， 所以， 即， 在中，由正弦定理得：，（为的外接圆的半径） 代入上式得， 则， 由正弦定理得，， 代入上式得，；所以， 所以，即， 因为，且为锐角三角形，，所以， 所以，所以， 即的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$