精品解析：陕西省榆林市靖边县第九中学2024-2025学年九年级下学期第三次模拟数学试卷

2025年陕西省初中学业水平考试突破卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图，在中，，直线经过点且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是平分线，于点，点在上，连接，，．若，则的长度是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若点，都在函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在边和上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，内接于．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的二次函数的图象经过点，则函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值11 C. 最大值 D. 最大值11 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 实数8，，，，3.1415，中，是无理数的是______． 10. 如图，正方形和正六边形有一条公共边，则______． 11. 为筹办牡丹花展，植物园设计牡丹的摆放造型，如图是牡丹造型和牡丹盆数（圆点）的数量规律，那么按照此规律排列，第13个牡丹花造型有______盆牡丹花（圆点）． 12. 某种商品进价为800元，出售价标为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则商店可打______折． 13. 如图，在矩形和正方形中，点，均在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在同一个反比例函数的图象上．若正方形的面积为36，且，则这个反比例函数的表达式为______． 14. 如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为_______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 17. 化简：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在边上求作一点，连接，使是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 20. 甲、乙两人玩一种抽卡片游戏，背面完全相同，正面分别写有，，，的四张卡片背面朝上洗匀后，甲从中随机抽取一张，记下数字，把卡片放回后，背面朝上洗匀，乙再从中随机抽取一张，记下数字．若所得两数之和大于，则甲胜；若所得两数之和不大于，则乙胜．这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 21. 如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，先在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后选定点，使，用视线确定与交于点．此时，测得米，米，米，求河的宽度． 22. 欢乐话剧团推出，两种票，购买8张种票，6张种票，共需3120元；购买1张种票比1张种票需多付40元．若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图的函数图象（其中取正整数）． （1）请写出与之间关系式； （2）据悉，看一场话剧持种票的有300人，求该场话剧收入的总额． 23. 随着科技的发展，人工智能已经悄然运用在各行各业．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分（百分制且得分用表示），然后对数据进行整理和分析，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息． 抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，71，74，75，78，78，84，85，85，85，86，89，90，91，93，96，98，99，99，100． 抽取的对乙款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：86，87，87，87，88，88，90，91． 抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 855 104.5 乙 86 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若此次调查用户对甲款人工智能软件进行了评分的有500名，对乙款人工智能软件进行了评分的有700名，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 24. 如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若半圆的半径为4，，求的长． 25. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. （1）如图1，等腰直角三角形，，点在斜边上，且，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，，则的长为 ． （2）如图2，某城市有一块矩形空地，米，米，现计划将此矩形空地改造为花园广场，出入口在边上，且米，出入口为边的中点，处为一个出入口．根据规划要求，计划在矩形空地内建造一绿化区和一活动区，使，再修建两条互相垂直的观光路和，使．若沿修一条笔直的小路，当小路最短时，求的长度和此时到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省初中学业水平考试突破卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 如图，在中，，直线经过点且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 3. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方， 根据幂的乘方法则计算，幂的乘方等于底数不变，指数相乘． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，是的平分线，于点，点在上，连接，，．若，则的长度是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，含的直角三角形是解题的关键．如图，证明，可得，作于，根据含30度角的直角三角形的性质即可求的长，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴，而， ∴， 如图，作于， ∵， ∴， ∵点D在的平分线上，，， ∴， 故选：C． 5. 若点，都在函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质及其图象上点的坐标特征．首先确定函数表达式中的系数符号，再代入点的横坐标求出对应的和，最后比较它们的大小． 【详解】解：， ． 随x的增大而增大． 点，都在函数图象上，且， ． 故选：B． 6. 如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在边和上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，进而得出为等腰直角三角形即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：A． 7. 如图，是的直径，内接于．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查半圆（直径）所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补．解题的关键是利用直径所对圆周角为直角以及圆内接四边形对角互补的性质来求解． 先连接，根据直径所对圆周角是直角求出的度数，再求出的度数，最后利用圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】连接， 是的直径， ， ， 四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补， ， ， 故选：C． 8. 已知关于的二次函数的图象经过点，则函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值11 C. 最大值 D. 最大值11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ， ， 代数式有最大值， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 实数8，，，，3.1415，中，是无理数的是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查无理数，求一个数的算术平方根，先化简，再根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：实数8，，，，3.1415，中，是无理数的是，； 故答案为：，． 10 如图，正方形和正六边形有一条公共边，则______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正多边形的内角问题，先根据四边形正方形，六边形是正六边形，算出，再运用减去，即可作答． 【详解】解：∵四边形正方形，六边形是正六边形， ∴， 则， 故答案为： 11. 为筹办牡丹花展，植物园设计牡丹的摆放造型，如图是牡丹造型和牡丹盆数（圆点）的数量规律，那么按照此规律排列，第13个牡丹花造型有______盆牡丹花（圆点）． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，先根据题干的图形，总结得出第个牡丹花造型：（盆），把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，第1个牡丹花造型：（盆）， 第2个牡丹花造型：（盆）， 第3个牡丹花造型：（盆）， 第4个牡丹花造型：（盆）， …… 依次类推：第个牡丹花造型：（盆）， 把代入，得（盆）， 故答案为：． 12. 某种商品的进价为800元，出售价标为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则商店可打______折． 【答案】九二 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设商店打折，根据商店打折销售，但要保证利润率为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设商店打折，由题意，得：， 解得：； 故答案为：九二． 13. 如图，在矩形和正方形中，点，均在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在同一个反比例函数的图象上．若正方形的面积为36，且，则这个反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形和矩形的性质， 根据题意可得，则可得，设，则利用反比例函数图象上点的坐标特征建立方程，求出k值即可得到反比例函数解析式．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴， ∵， ∴， 设，则， 可得， 解得， 这个反比例函数的表达式为， 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图,连接,过点作,使得,连接.证明,推出,推出,求出即可解决问题． 【详解】解：如图,连接,过点作,使得,连接. ∵四边形是菱形, ∴, ， ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴ ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ， ， ∴最小值为． 故答案为：. 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、负整数、0指数幂和立方根，熟练掌握实数的基本知识是解题的关键； 先化简绝对值，计算负整数、0指数幂和立方根，再计算加减． 【详解】解：原式． 16. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以19，得， 把不等式的解集在数轴上表示出来如下： 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在边上求作一点，连接，使是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的尺规作图，先理解题意，作的垂直平分线，交于一点D，连接，则，故是等腰三角形，即可作答． 【详解】解：如图，点即为所求． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定三角形全等的方法是解题关键； 先由得到，再证明，进而得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴． ∴． 20. 甲、乙两人玩一种抽卡片游戏，背面完全相同，正面分别写有，，，的四张卡片背面朝上洗匀后，甲从中随机抽取一张，记下数字，把卡片放回后，背面朝上洗匀，乙再从中随机抽取一张，记下数字．若所得两数之和大于，则甲胜；若所得两数之和不大于，则乙胜．这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】这个游戏规则对甲、乙双方不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【详解】解：这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 理由：列表如下： 数字和 由表格可知，会出现个等可能的结果，其中两数之和大于的有个，两数之和不大于的有个， 所以，， 所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 21. 如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，先在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后选定点，使，用视线确定与交于点．此时，测得米，米，米，求河的宽度． 【答案】河的宽度为67.5米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明即可解答，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 答：河的宽度为67.5米． 22. 欢乐话剧团推出，两种票，购买8张种票，6张种票，共需3120元；购买1张种票比1张种票需多付40元．若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图的函数图象（其中取正整数）． （1）请写出与之间的关系式； （2）据悉，看一场话剧持种票的有300人，求该场话剧收入的总额． 【答案】（1） （2）该场话剧收入的总额是156000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）分别设每张种票、种票的价格为未知数，根据题意列方程组并求解；将代入（1）中求得的与之间的关系式，求出对应的值，再根据“该场话剧收入的总额每张种票价格种票的持票人数 + 每张种票价格种票的持票人数”计算即可． 【小问1详解】 解：设与之间的关系式为为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：设每张种票价格是元，每张种票价格是元． 根据题意，得， 解得， ∴每张种票价格是 240 元，每张种票价格是 200 元． 当时，，（元）。 答：该场话剧收入的总额是 156000 元． 23. 随着科技的发展，人工智能已经悄然运用在各行各业．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分（百分制且得分用表示），然后对数据进行整理和分析，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息． 抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，71，74，75，78，78，84，85，85，85，86，89，90，91，93，96，98，99，99，100． 抽取的对乙款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：86，87，87，87，88，88，90，91． 抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 104.5 乙 86 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若此次调查用户对甲款人工智能软件进行了评分的有500名，对乙款人工智能软件进行了评分的有700名，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1）87，85，20 （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎，见解析 （3）估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数为315人 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定性，利用样本估计总体： （1）根据中位数，众数的确定方法，求出，利用频数求出总数求出即可； （2）利用方差判断稳定性即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：甲中数据出现次数最多的是85， ∴， ∵乙中组频数为：，组频数为：，组频数为：8， ∴组频数为：，位于第10个和第11个数据均为87， ∴，， ∴； 【小问2详解】 乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由：∵甲款和乙款人工智能软件评分的平均数相同，乙款人工智能软件评分的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎； 【小问3详解】 （人）， ∴估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数为315人． 24. 如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若半圆的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可证明； （2）过点作于点，证明，得出，根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 则， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 25. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可； （2）分三种情形：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点，的坐标分别代入， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：存在．理由如下： 由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，， ∴， ∴设点． 由点，，的坐标，得 ，， ． 当为斜边时，， 整理得：， 解得或， ∴点或； 当为斜边时，， 解得， ∴点； 当为斜边时，， 解得， ∴点． 综上所述，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题． 26. （1）如图1，等腰直角三角形，，点在斜边上，且，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，，则的长为 ． （2）如图2，某城市有一块矩形空地，米，米，现计划将此矩形空地改造为花园广场，出入口在边上，且米，出入口为边的中点，处为一个出入口．根据规划要求，计划在矩形空地内建造一绿化区和一活动区，使，再修建两条互相垂直的观光路和，使．若沿修一条笔直的小路，当小路最短时，求的长度和此时到的距离． 【答案】（1）；（2）当小路最短时，的长度是米，此时到的距离为米 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，求出，证明，再由全等三角形的性质即可得解； （2）过点作，取米，连接．证明，得出．连接，交于点．证明，得出米，从而可得米，由得出当，，三点共线时最小，再求出的最小值，最后利用相似三角形的性质求解即可． 详解】解：（1）∵等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作，取米，连接． ∵，， ∴， ∴，即． 又∵，米，米，， ∴， ∴， ∴，即． 如图，连接，交于点． ∵，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）． ∵， ∴当，，三点共线时最小，最小值为（米）， ∴当小路最短时，（米）． 当，，三点共线时，此时点位置为图中，米， ∴（米）． 如图，过点作， ∴， ∴， ∴，即， ∴（米）． 综上所述，当小路最短时，的长度是米，此时到的距离为米． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$