考前猜想05 三角函数与解三角形六种考法-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

考前猜想05 三角函数与解三角形六种 一、题型归纳 1.三角函数基本公式与恒等变换 （1）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角三角函数值也可求出角终边的位置． （2）弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， (3)若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． （4）利用诱导公式化简求值的解题策略 ①条件求值问题的策略 条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． ②给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． ③观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． (5)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解． (6)“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用． ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的． “凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等． (7)“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： ①求值：求出所求角的某种三角函数值． ②界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围． ③求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小． 2.三角函数图像与性质 (1)已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： ①由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出． ②代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求． (2)求三角函数单调区间的2种方法 ①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． ②图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． (3)已知单调区间求参数范围的3种方法 ①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． ③周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． (4)三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： ①若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． ②若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (5)三角函数对称性问题的2种求解方法 ①定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． ②公式法： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为． 函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为． 函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z (6)三角函数值域或最值的3种求法 ①直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出． ②化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值) ． ③换元法： 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (7)与三角函数有关的零点问题 ①性质+数形结合：通过研究三角函数的性质，结合图象分析零点． ②分离参数+数形结合：将参数分离，转化为两个函数图象的交点问题． ③方程+数形结合：将零点问题转化为方程的根的问题，借助图象求解． ④利用导数研究零点：通过求导数确定函数的单调性和极值点，结合图象分析零点． 3.求取值范围 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 4. 正余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： (1)选定理. ①已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； ②已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； ③已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； ④已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； ⑤已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． (2)巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． (3)得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等． 5. 解三角形综合 (1)常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． ① ② ③ ④ (2)与三角形面积有关问题的解题策略 ①利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； ②把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． (3)将复杂的多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步． 6.与其他章节融合 二、重难点例题及变式 类型一、三角函数基本公式与恒等变换 例．（1）已知，则（  ） A． B． C． D． （2）若，且，则（  ） A． B． C． D．1 （3）已知，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】若，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练3】若，则（  ） A． B． C． D． 类型二、三角函数图像与性质 例．（1）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    （2）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（  ） A．1 B． C． D．3 【变式训练2】（多选）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（  ） A．的定义域为 B．当时，取得最大值 C．当时，的单调递增区间为 D．当时，有且只有两个零点和 类型三、求取值范围 例．（1）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． （2）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【变式训练1】已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 类型四、正余弦定理解三角形 例．已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】在中，，，则（  ） A． B． C． D． 类型五、解三角形综合 例．在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角大小； （2）如图，若为 外一点，且，，，，求的面积． 【变式训练1】已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)若角，求角； (2)若，求的最大值 【变式训练2】在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 类型六、与其他章节融合 例．（1）已知，，且，则________. 【变式训练1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C． D．4 【变式训练2】已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 三、考前突破练 1．已知为锐角，，则（  ） A． B． C． D． 2．已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（  ） A． B． C． D． 3．若，则（  ） A． B． C． D． 4.在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（  ） A． B．2 C． D． 5．已知是函数在上的两个零点，则（  ） A． B． C． D． 6.在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 7.在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（  ） A． B．25 C． D．24 8．（多选）已知，则下列说法正确的是（  ） A．是周期函数 B．有对称轴 C．有对称中心 D．在上单调递增 9．（多选）已知函数，若，且，则下列说法正确的是（  ） A．函数为偶函数 B．函数为偶函数 C． D．在区间上单调递减 10．在中，点D在边BC上，且满足AD=BD，，则的取值范围为______. 11.如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ． 12.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）延长BC到D，使得，且，求的面积. 13.设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 14.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前猜想05 三角函数与解三角形六种 一、题型归纳 1.三角函数基本公式与恒等变换 （1）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角三角函数值也可求出角终边的位置． （2）弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， (3)若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． （4）利用诱导公式化简求值的解题策略 ①条件求值问题的策略 条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． ②给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． ③观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． (5)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解． (6)“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用． ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的． “凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等． (7)“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： ①求值：求出所求角的某种三角函数值． ②界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围． ③求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小． 2.三角函数图像与性质 (1)已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： ①由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出． ②代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求． (2)求三角函数单调区间的2种方法 ①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． ②图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． (3)已知单调区间求参数范围的3种方法 ①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． ③周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． (4)三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： ①若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． ②若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (5)三角函数对称性问题的2种求解方法 ①定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． ②公式法： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为． 函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为． 函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z (6)三角函数值域或最值的3种求法 ①直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出． ②化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值) ． ③换元法： 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (7)与三角函数有关的零点问题 ①性质+数形结合：通过研究三角函数的性质，结合图象分析零点． ②分离参数+数形结合：将参数分离，转化为两个函数图象的交点问题． ③方程+数形结合：将零点问题转化为方程的根的问题，借助图象求解． ④利用导数研究零点：通过求导数确定函数的单调性和极值点，结合图象分析零点． 3.求取值范围 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 4. 正余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： (1)选定理. ①已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； ②已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； ③已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； ④已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； ⑤已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． (2)巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． (3)得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等． 5. 解三角形综合 (1)常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． ① ② ③ ④ (2)与三角形面积有关问题的解题策略 ①利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； ②把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． (3)将复杂的多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步． 6.与其他章节融合 二、重难点例题及变式 类型一、三角函数基本公式与恒等变换 例．（1）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B （2）若，且，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由得， 即， 因为，所以， 所以，结合，且， 得， 所以. 故选：A. （3）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得，又，则， 故． 故选：B． 【变式训练1】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，由题设显然， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式训练2】若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C 【变式训练3】若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 类型二、三角函数图像与性质 例．（1）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． （2）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：令，因为，， ， 所以，， ，， 因为， 结合的图象（如图所示）， 得到，或，, 因为， 所以，， 则解得，此时，，，满足题意， 或解得，不符合题意舍去. 故选：A. 【变式训练1】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（  ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 【变式训练2】（多选）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（  ） A．的定义域为 B．当时，取得最大值 C．当时，的单调递增区间为 D．当时，有且只有两个零点和 【答案】BCD 【解析】由图得，且位于增区间上， 所以，又因为，所以， ， 则，得，所以， 所以， 由图可知，原点右侧的第二个零点为， 所以的定义域为，故A错误； 当时，， 因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确； 当时，令，则， 又因为， 所以当时，的减区间为， 因为函数为偶函数， 所以当时，的单调递增区间为，故C正确； 当时，，令， 得或，则或， 因为函数为偶函数， 所以当时，有且只有两个零点和，故D正确. 故选：BCD. 类型三、求取值范围 例．（1）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简， 在时，，该区间上有零点，故， 又时单调，则，即， 故 故选：C （2）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 【变式训练1】已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又， 由，得到， 所以函数的单调增区间为， 依题有，则，得到， 故选：B. 【变式训练2】已知函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，得， 不妨设且和在区间内，则， 即，化简得， 由，得，所以为大于1的整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：C. 类型四、正余弦定理解三角形 例．已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 由正弦定理得， 又，且， 所以，故， 又，所以， 由，即，得， 面积的最大值为， 故选：C．   【变式训练1】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由以及正弦定理可得：， 因，代入整理得， 因,则得，又因，故. 故选：A. 【变式训练2】在中，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   由正弦定理可得，， 又，所以， 不妨设， 所以由余弦定理得． 故选：D. 类型五、解三角形综合 例．在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角大小； （2）如图，若为 外一点，且，，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）由，得， 即， 由正弦定理，得，整理，得， ∴，又，∴，∴； 又，∴； （2） 连接BD，因为，，， 所以，， 所以，所以． 又，所以， 在 中，由正弦定理可得，即， 所以 ， 所以 ； 综上， . 【变式训练1】已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)若角，求角； (2)若，求的最大值 【答案】(1)；(2)最大值为 【解析】（1）由题意知. 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 由角，所以. （2）由（1）知，所以，， 因为，所以， 由正弦定理得：，所以， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，且，则有，得，所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 【变式训练2】在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 【答案】(1)等腰三角形；(2) 【解析】（1）由二倍角公式得， 所以， 整理得，即. 因为，所以，即，即为等腰三角形. （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 又为三角形内角，所以，即的最大值为，此时，又，所以， 故，可得为直角三角形且. 又由（1）可得为正三角形， 所以当最大时，的面积. 类型六、与其他章节融合 例．（1）已知，，且，则________. 【答案】 【解析】因为，，且，则，即， 于是， 所以. 故答案为： 【变式训练1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】由于，，成等差数列，则， 由正弦定理可得, 故, ， 由于，因此，故 ，当且仅当，取等号， 故选：B 【变式训练2】已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记角所对的边分别为.因为， 所以由正弦定理可得.. ， 令，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故，故， 则实数的取值范围为. 故选：A 三、考前突破练 1．已知为锐角，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为锐角，所以，， 又，所以， 而，所以， 所以， 因此. 故选：D． 2．已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 故选：A 3．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件等式可知，， 整理为，则， 又，， 所以，， 所以 . 故选：D 4.在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（  ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为2. 故选：B. 5．已知是函数在上的两个零点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得， ，， 因为是函数在上的两个零点， 则是在上的两个根， 故，故， 则 . 故选：A． 6.在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 【答案】C 【解析】由余弦定理得， 即， ， 所以或， 又，所以. 故选：C 7.在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（  ） A． B．25 C． D．24 【答案】A 【解析】由， 又， ， ， ， 当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值. 故选：A 8．（多选）已知，则下列说法正确的是（  ） A．是周期函数 B．有对称轴 C．有对称中心 D．在上单调递增 【答案】ACD 【解析】因为， 所以， 所以函数为周期函数，A正确； 因为 所以， 所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称， 所以为函数的中心对称，C正确； 当时，， 因为， 所以，所以函数在上单调递增，D正确； 由可得， 当时，由，可得， 函数在上单调递增， 当，由，可得， 函数在上单调递增， 又，， 作出函数在的大致图象可得： 结合函数是一个周期为的函数可得函数没有对称轴，B错误. 故选：ACD. 9．（多选）已知函数，若，且，则下列说法正确的是（  ） A．函数为偶函数 B．函数为偶函数 C． D．在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】由辅助角公式可得， 为锐角，且，， 因为，则，可得， 所以，，因为，故， 对于A选项，， 且，故， 即函数不是偶函数，A错； 对于B选项，， 即函数为偶函数，B对； 对于C选项，， 所以，，C对； 对于D选项，因为，且当时，， 由于，故函数在区间上单调递减，D对. 故选：BCD. 10．在中，点D在边BC上，且满足AD=BD，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 ，， ，，，且为锐角， 在中， ， 又 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的取值范围是. 故答案为： 11.如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】为的平分线，又， 设，则， ， 又为锐角三角形，故，解得， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，由正弦定理得， 即 ， 由，得， 故，所以 故答案为： 12.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）延长BC到D，使得，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，由正弦定理得. 所以设，，则，， 由余弦定理得， 又，所以. （2），解得， 结合，则，由（1）知， 则，则， 因为由（1）知，则， 则. 13.设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由， 故， 所以，所以， 由余弦定理， 因为，所以． （2）在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或．    当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． 且， 在中，由正弦定理，得， 解得． 又因为为的平分线，所以 14.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. （2）因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$