2025届山东省德州市、烟台市、东营市高考一模数学试题

( 2 025年高考诊断性测试 ) ( 学校 班级 姓名 考号 座号 ) ( 数学答题纸 ) 准 考 证 号                                                                                                     ( 贴 条形码 区 ) ( 缺考标 记 ) ( 此栏考生禁填 ， 缺考考生由监考员用2B铅笔填涂左侧缺考标记。标记 ) ( 注意事项： 请正确填涂 考生信息 、规范粘贴条形码 。 选择题作答必须用 2B 铅笔， 修改时用橡皮擦干净；解答题作答必须用0 .5 mm黑色签字笔，答题不得超出答题区域。 ) 题号 一 二 三 15 16 17 18 19 总分 得分 ( 9     10     11     ) ( 1     2     3     4     ) ( 5     6     7     8     )一、选择题（1-8题） 二、选择题（9-11题） 三、填空题：（本题共3个小题，每小题5分，共15分） ( 12 ． 1 3 ． 1 4 ． ) 四、解答题（本题共5个小题，共77分） ( 第1面/共 3 面 数学答题 纸 ) ( 1 6 . （本小题满分 1 5 分） 座号 座号 座号 ) ( 1 5 . （本小题满分 1 3 分） ) (                                                       )  (                                                       ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 7 . （本小题满分 1 5 分） ) ( （本区域上接第 17 题） 18. （本小题满分 17 分） ) ( 第 2 面/共 3 面 数学答题 纸 ) ( 请 勿 在 此 区 域 内 答 题 ) (                                                       )  (                                                       ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 学校 班级 姓名 考号 座号 ) ( 1 9. （本小题满分 17 分） ) ( 注意事项 ： 使用条形码的考生须在此处规范粘贴条形码；其余考生请忽略该区域。 ) ( 贴 条形码 区 ) ( （本区域上接第 18 题） ) ( 第 3 面/共 3 面 数学答题 纸 ) ( （本区域上接第 19 题） 座号 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、选择题（1-8题） 二、选择题（9-11题） 三、填空题：（本题共 3 个小题，每小题 5分，共 15分） 四、解答题（本题共 5个小题，共 77分） 准 考 证 号                                                                                                     题号 一 二 三 15 16 17 18 19 总分 得分 注意事项： 1. 请正确填涂考生信息、规范粘贴条形码。 2. 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡 皮擦干净；解答题作答必须用 0.5mm 黑色 签字笔，答题不得超出答题区域。 12． 13． 14． 学 校 班 级 姓 名 考 号 座 号 第 1面/共 3面 数学答题纸 2025 年高考诊断性测试 15.（本小题满分 13 分） 16.（本小题满分 15 分） 座号 1  2  3  4  贴条形码区 5  6  7  8  9  10  11  数学答题纸 缺考标记 此栏考生禁填，缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填涂左侧缺考标记。 17.（本小题满分 15 分） （本区域上接第 17 题） 18.（本小题满分 17 分） 第 2面/共 3面 数学答题纸 请 勿 在 此 区 域 内 答 题 （本区域上接第 18 题） 19.（本小题满分 17 分） 第 3面/共 3面 数学答题纸 （本区域上接第 19 题） 座号 学 校 班 级 姓 名 考 号 座 号 贴条形码区 注意事项： 使用条形码的考生须在此处规范粘 贴条形码；其余考生请忽略该区域。 2025年高考诊断性测试 数 学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区 书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.已知集合，，则 A． B． C． D． 2.已知等比数列的前项和为，，，则 A． B． C． D． 3.已知，则 A． B． C． D． 4.已知复数，其中，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.在△中，，，，则 A． B． C． D． 6.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小 二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差的绝对值为 A． B． C． D． 7.已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴 于点，则的值为 A． B． C． D． 8.已知定义在上的函数满足：，为奇函数，且， 若，则正整数的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数，则 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 10.如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，，下列说法正确的有 A．若，则 B．直线与底面所成角的正弦值为 C．若点在底面内的射影为△的中心，则 D．若三棱锥的体积为，则三棱柱的体积为 11.在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有 A．曲线关于直线对称 B．若，则曲线与直线有三个公共点 C．当时，曲线上的点到点距离的最小值为 D．无论为何值，曲线均为一条连续曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去个场馆，每个场馆至少安排人，则所有不同的安排种数为 .（用数字作答） 13.设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直 线与在第一象限的部分交于点，若△为等腰三角形，则的离心率为 . 14.已知正数满足，则的最小值为 ；当取得最小值时， 不等式恒成立，则实数的取值范围为 .（本小题第一 空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 16.（15分）如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面，，. （1）求证：； （2）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 17.（15分）为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金元，该项目不再挑战；若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金元，否则，不获得奖金. 假 设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该 项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； （3）假设本届比赛共有支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 18.（17分）已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求△ 面积的最小值. 19.（17分）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，，且. （1）若数列，求数列； （2）若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组 的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 高三数学试题（第 3 页，共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考诊断性测试 数学试题参考答案 一、选择题 1．A 2．D 3． C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 二、选择题 9．ABD 10．ACD 11． AC 三、填空题 12． 13． 14．， 四、解答题 15．解：（1）因为，所以. 1分 因为在处有极大值，令，解得或. 3分 当时，，在上单减，在 上单增，所以在处取得极小值，舍去； 5分 当时，，在上单增，在 上单减，所以在处取得极大值，符合题意. 综上. 7分 （2）当时，，令，解得或， 当时，，在和上单调递增，当时，，在上单调递减， 8分 所以，当时，取极大值，当时，取极小值. 10分 又当时，，当时，， 11分 若函数有三个不同零点，则， 12分 解得， 所以的取值范围为. 13分 16．解：（1）因为底面，面， 所以. 2分 因为为半圆的直径，为半圆周上一点， 所以，所以. 4分 又，所以平面， 5分 因为平面，所以. 6分 （2）以为坐标原点，分别以的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系, 7分 则，，,,，， ，， . 8分 设为平面的一个法向量， 则有，即，取，可得， 10分 设为平面的一个法向量， 则有，即， 取，可得. 12分 所以， 13分 整理得，解得或， 故当或时，平面与平面夹角的余弦值为. 15分 17.解：设表示“第次挑战第一个项目且挑战成功”，设表示“第次挑战第二个项目 且挑战成功”，，则，. （1）由题意， ， ， ， ， 4分 所以. 5分 （2）随机变量的所有可能取值为， 6分 ， 7分 ， 8分 ， 9分 ， 10分 . 11分 所以的分布列为： 12分 （3）由（2）知 . 14分 因为本届挑战赛共有支参赛队，, 所以，估计该赞助商提供奖金总额为元. 15分 18．解：（1）因为焦距，所以. 1分 又离心率为，所以. 2分 所以，所以椭圆的方程为. 3分 （2）（i）设点，，当直线的斜率存在时，设， 联立，可得， 则，且，. 5分 因为，所以， 即. 6分 所以，整理得，满足. 7分 所以，线段的长度. 9分 当直线的斜率不存在时，△为等腰直角三角形. 设直线，则，又，解得，即. 综上，线段的长度为定值. 10分 （ii）因为，所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆. 11分 下证：.事实上，设点，直线的方程为， 则点到直线的距离，即. 联立，可得， 所以. 整理得，所以. 12分 当斜率不存在时，不妨设，，亦有. 13分 所以. 又因为，所以三点共线. 由椭圆的对称性，知，所以. 14分 在直角三角形中， ， 15分 所以，当且仅当时，“=”成立， 16分 所以△面积的最小值为. 17分 19．解：（1）令， 则，，. 因为，所以，，. 6分 （2）（i）若的三项互不相同，不妨设，因为，由（1）知 ，，，所以，，，此时数列组的周期为. 7分 若的三项中有且仅有两项相同，考虑到，不妨设，易得，，，此时数列组的周期为. 8分 若的三项均相同，不妨设，则，此时数列组的周期为任意正整数. 9分 因此，对任意，为数列组的周期，最小正周期为. 10分 （ii）当为偶数时，不妨设，则，.此时,不存在正整数，使得数列与为同一数列，即数列组不存在周期. 12分 当为奇数时，因为的每一项均为中的元素,所以至多个.因此，对于任意，总存在，以及，使得.下证：若时，. 事实上，设表示除以的余数，由数列到的变换结果，可知，. 不妨设，， 由，知，. 所以， 即. 结合为奇数，，， 可得，所以. 同理可证：对任意，均有.所以. 14分 以此类推，得到，，. 所以，对于任意均存在整数，使得. 15分 在变化时，所有的最小公倍数即为数列组的一个周期. 16分 综上，数列组均存在周期时，的所有可能取值为. 17分 高三数学答案（第 1 页，共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高三数学试题（第 1 页，共 4 页） 2025 年高考诊断性测试 数 学 注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区 书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求。 1.已知集合 { 1,0,1,2,3}A = − ， { | ( 1)( 2) 0}B x x x= + − < ，则 A B = A．{0,1} B．{1,2} C．{ 1,0,1}− D．{0,1,2} 2.已知等比数列{ }na 的前n 项和为 nS ， 2 3 6a a+ = ， 1 4 8a a = ，则 4S = A． 15− B． 5− C．5 D．15 3.已知 tan 2α = − ，则 πcos( ) 2 3πsin(π ) sin( ) 2 α α α + − − − = A． 2 3 − B． 2 3 C． 2− D．2 4.已知复数 1 i 1 i az += − ，其中a∈R ，则“ | | 1z > ”是“ 1a > ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.在△ ABC 中， 2 6AB AC= = ， 60BAC∠ = ， 3BC BD=   ，则 | |AD =  A． 7 B． 13 C． 21 D．2 7 6.已知变量 ,x y 线性相关，其一组样本数据 ( , )( 1, 2, ,9)i ix y i =  ，满足 9 1 33i i x = =∑ ，用最小 二乘法得到的经验回归方程为 2 1y x= − .若增加一个数据 ( 3,3)− 后，得到修正后的回归直 线的斜率为2.1，则数据 (4,8) 的残差的绝对值为 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7.已知 ( , ) 2 pA m 为抛物线 2 2 ( 0)y px p= > 上一点，若过点 A且与该抛物线相切的直线交 x 轴 于点 ( 2,0)− ，则 p 的值为 A．1 B．2 C．4 D．8 高三数学试题（第 2 页，共 4 页） 8.已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足： ( 4) ( ) 0f x f x+ + = ， ( 2)f x + 为奇函数，且 (1) 1f = ， 若 1 (2 1) 20 n k kf k = − ≤ −∑ ，则正整数n的最小值为 A．17 B．19 C．21 D．23 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知函数 2( ) 2 3 sin cos 2cos 1f x x x x= − + ，则 A． ( )f x 的最小正周期为π B． ( )f x 的图象关于直线 6 x π= − 对称 C． ( )f x 在区间 π π[ , ] 4 6 − 上的取值范围为[ 1,1]− D． ( )f x 的图象可由 2cos(2 ) 3 y x π= − 的图象向右平移 6 π 个单位长度得到 10.如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的底面 ABC 是边长为2的正三角形， 1 1 60CAA BAA∠ = ∠ =  ， 下列说法正确的有 A．若 1 1AC A B⊥ ，则 1 2AA = B．直线 1AA 与底面 ABC 所成角的正弦值为 6 6 C．若点 1A 在底面 ABC 内的射影为△ ABC 的中心，则 1 2AA = D．若三棱锥 1 1A ABC− 的体积为2 ，则三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的体积为6 11.在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P 到点 (1,1)F 与到 y 轴的距离之积为常数a ( 0)a > ， 设点 P 的轨迹在 y 轴右侧的部分为曲线Γ，下列说法正确的有 A．曲线Γ关于直线 1y = 对称 B．若 1 4 a = ，则曲线Γ与直线 1y = 有三个公共点 C．当 2a = 时，曲线Γ上的点到点 F 距离的最小值为1 D．无论a 为何值，曲线Γ均为一条连续曲线 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.第九届亚洲冬季运动会于 2025 年 2月在哈尔滨成功举行.4 名大学生到冰球、速滑以及体 育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同 的安排种数为 .（用数字作答） 高三数学试题（第 3 页，共 4 页） 13.设 1 2,F F 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b − = > > 的左、右焦点，过 2F 且倾斜角为60的直 线与C 在第一象限的部分交于点 P ，若△ 1 2PF F 为等腰三角形，则C 的离心率为 . 14.已知正数 ,x y 满足 2 24 0x xy y z+ + − = ，则 z xy 的最小值为 ；当 z xy 取得最小值时， 不等式 22e 4 ln 0 5 x zaxy ax+ − ≥ 恒成立，则实数a 的取值范围为 .（本小题第一 空 2分，第二空 3分） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数 2( ) ( )f x x x c= + 在 1x = 处有极大值. （1）求实数c的值； （2）若函数 ( ) ( )g x f x a= + 有三个不同的零点，求实数a的取值范围. 16.（15分）如图，点C 在以 AB 为直径的半圆的圆周上， =60ABC∠ ，且 BP ⊥平面 ABC ， 2 4AB BP= = ， (0 1)CD CPλ λ= < <   . （1）求证： AC BD⊥ ； （2）当λ为何值时，平面 ACP 与平面 ABD夹角的余弦值为 6 8 ？ 17.（15 分）为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于 2025 年 4 月联合举办第四届 全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越 障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战 两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000 元，该项目不再挑战；若第一次挑战失败，则 必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金. 假 设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为 2 3 ，第一次挑战失败但第二次挑战该 项目成功的概率为 3 4 ；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件 A =“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求 ( )P A ； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量 X ，求 X 的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各 参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 高三数学试题（第 4 页，共 4 页） 18.（17分）已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0) x y a b a b Γ + = > > 的焦距为2 3 ，离心率为 2 2 . （1）求椭圆 1Γ 的方程； （2）设O为坐标原点， ,P Q 为 1Γ 上两个动点，且OP OQ⊥ ，作OM PQ⊥ ，垂足为M . （i）线段OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点M 的轨迹为 2Γ ，过点 P 作 2Γ 的切线交 1Γ 于点 N（异于 ,P Q ），求△ PQN 面积的最小值. 19.（17 分）设 0A 是一个项数为 ( 2)n n ≥ 的数列，其中每一项均为集合{0,1,2}中的元素.定 义数列 *( )jA j∈N 如下：若 -1 1 2: , , ,j nA x x x ，则 1 2: , , ,j nA y y y ，其中，当 1i ix x += 时， i iy x= ，当 1i ix x +≠ 时， 2 2 1 1 14( ) 5i i i i i i iy x x x x x x+ + += + + − + + ， 1,2, ,i n=  ，且 1 1nx x+ = . （1）若数列 0 : 0,1, 2A ，求数列 3A ； （2）若存在 *m∈N ，对任意 0A ，均有数列 mA 与 0A 为同一数列，则称m 为数列组{ }jA 的一个周期. （i）若 3n = ，求数列组{ }jA 的最小正周期； （ii）若数列组{ }jA 存在周期，求n 的所有可能取值.