精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（下）期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列是等比数列，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（ ）种不同的选法. A. 6 B. 7 C. 11 D. 14 3. 罗老师准备从小染，小冰等5人中随机选取2人去参加巴蜀中学的超级演说家比赛，则小染、小冰两人中至少有1人被选到的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 100 5. 已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 120种 D. 150种 8. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 10. 定义在上的函数的导函数为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象与轴有2个不同的交点 C. D. 当时， 11. 若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； （2）求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 16. 已知数列满足，令. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. （1）若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； （2）若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 18. 已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. （1）求双曲线的方程； （2）已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 19. 已知函数. （1）求在的最大值和最小值； （2）当时，讨论定义在上的函数的单调区间的个数，并求的零点个数的最大值； （3）求证：当时，对于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（下）期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列是等比数列，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式将表示出来，然后将的表达式列出来，最后计算对数的值. 【详解】因为数列是等比数列， 则，而. 则. 故选：B. 2. 某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（ ）种不同的选法. A. 6 B. 7 C. 11 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列式求解即可. 【详解】由题意知种. 故选：C. 3. 罗老师准备从小染，小冰等5人中随机选取2人去参加巴蜀中学的超级演说家比赛，则小染、小冰两人中至少有1人被选到的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】运用古典概型的概率，先计算小染和小冰都没有被选到的概率，然后用1减去它，就是小染和小冰至少有1人选上的概率. 【详解】设事件为“小染，小冰中至少有1人被选到”， 小染，小冰中至少有1人被选到的概率为： . 故选：D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为.. 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 当时，， 故，其他项均不合要求， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 5. 已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出，再利用两点间距离公式得到，结合中点坐标公式得到，进而得到，整理得到，最后求解轨迹方程即可. 【详解】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 6. 过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 7. 在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 120种 D. 150种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合的知识，先将C班的人按照不相邻的条件排列，共有4种情况，然后针对每种情况利用插空法再将A班和B班的人进行排列，最后将其相加得到总的排法数. 【详解】因为C班3人不相邻排列，所以有以下情形的排列方式： 第一类，C班3人分别在第一､第三､第五个位置，则有种排法； 第二类，C班3人分别在第一､第三､第六个位置，则有种排法； 第三类，C班3人分别在第一､第四､第六个位置，则有种排法； 第四类，C班3人分别在第二､第四､第六个位置，则有种排法；因此不同排法共有种. 故选：C. 8. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 所以数列的公差为3，即A正确； 依题意可得， 所以，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误； 由 ，所以成等差数列，故D正确. 故选：ABD 10. 定义在上的函数的导函数为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象与轴有2个不同的交点 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令即可求解；对于B，求出即可求解；对于C，求出单调性，画出图象即可求解；对于D，根据当时即可求解. 【详解】对于A，令得， 因为，所以，故A正确； 对于B，由得， 则，因为， 所以，于是函数， 令，则， 所以只有一个零点，故B错误； 对于C，， 令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由函数的图象可得， 因为， 所以，故C错误； 对于D，，当时， 因为，所以成立，故D正确. 故选：AD. 11. 若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率、互斥事件、概率的基本性质及条件概率公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由与相互独立，得， 则，A错误； 对于B，由与互斥，得，则， ，因此，B正确； 对于C，，由与互斥，得发生则一定不发生， 则，，因此，C正确； 对于D，，即，由， 得，则，与互斥，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】0.15## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，结合正态分布的概率表示，可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则， 令可得或. 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案. 【详解】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； （2）求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】（1），有较强的线性相关性 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法依次计算相关量即可计算求解. 【小问1详解】 由题意可知， ， 因为非常接近1，故与有较强的线性相关性； 【小问2详解】 ， 故.将代入可得， 故经验回归方程为. 16. 已知数列满足，令. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，即可根据等比数列的定义证明为等比，求解首项，即可利用等比数列的通项公式求解， （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式即可化简求解. 【小问1详解】 因为，则，所以， 又，则，故，因此是以4为首项，2为公比的等比数列, 则. 【小问2详解】 由（1）知，，所以①， 则②， 由①-②得到， 故 因此 17. 某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. （1）若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； （2）若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【答案】（1）答案见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）由题意可得变量满足二项分布，根据其概率公式以及分布列，可得答案； （2）由题意可得变量的所有可能的值，分别求得每个值对应的概率，根据数学期望以及方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 【小问2详解】 因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 18. 已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. （1）求双曲线的方程； （2）已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【小问1详解】 由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）略 19. 已知函数. （1）求在的最大值和最小值； （2）当时，讨论定义在上的函数的单调区间的个数，并求的零点个数的最大值； （3）求证：当时，对于. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）单调区间见解析，零点个数的最大值为3； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据正弦函数的性质，可得函数的单调性，可得答案； （2）由题意整理函数解析式，求导结合（1）所得的单调性与最值，进行分情况讨论导数与零的关系，可得函数的单调性，结合零点的定义以及判定，可得答案； （3）由（2）所得的单调性与最值，对于不等式进行放缩，根据裂项相消，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可得答案. 【小问1详解】 由，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数的最大值为，又， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题知，又， 则，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，且， ①当，即时，，即， 此时函数在上单调递减，又， 则函数在上有1个单调区间和1个零点； ②当，即时，， 则存在，使得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，则，又， 所以在上也有一个零点， 所以函数在上有2个单调区间和2个零点； ③当，且，即时， 存在，使得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，此时取，则，， 此时函数在上有3个单调区间且有3个零点. 综上所述：①当时，函数有1个单调区间； ②当时，函数有2个单调区间； ③当时，函数有3个单调区间； 且函数的零点个数的最大值为3； 【小问3详解】 证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 则，即，则， 则， 设，则， 所以函数在上单调递减，则， 则，取时， ，， ，又， ， 结论得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $