精品解析：天津市第二十一中学2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试题

天津市第二十一中学2024——2025学年度第二学期 高二年级数学学科期中质量调查 一、单选题： 1. 已知随机变量，若，则（ ） A 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】 由随机变量,当,结合,即可求得,根据正态分布的对称性,即可求得答案. 【详解】 随机变量 当 又 ,可得 根据正态分布的对称性可得: 故选:B. 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 2. 若函数，则f（x）的单调递增区间为（　　） A. （0，3） B. （-∞，-1）和 （3，+∞） C. （3，+∞） D. （-1，0） 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，进而令，最后求出答案. 【详解】由题意，，令，即函数的增区间为. 故选：C. 3. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A. 36 B. 72 C. 600 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用插空法计算得到答案. 【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个. 故选：. 【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4. 若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则（　　） A. 33 B. 31 C. -33 D. -31 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质求得，令，求得各项系数和为，即可求解. 【详解】由的展开式中的二项式系数和为，可得， 令，可得各项系数和为， 所以. 故选：A. 5. 某科技小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加比赛，其中至少有一名女生的选法共有（　　） A. 9种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有种，再选3名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种 当有二名女生入选时，选选2名女生，有种，再选2名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种 所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选不同选法种数为14. 故选：C 6. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数为0求出值并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意， 所以. 故选：B 7. 已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为 A. （﹣∞，e4） B. （e4，+∞） C. （﹣∞，0） D. （0，+∞） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 解：设g（x）=（x∈R）， 则g′（x）=， ∵f′（x）＜f（x）， ∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0， ∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1 又∵g（0）==1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故选D． 考点：导数的运算． 8. 已知函数（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域和导数，利用特殊值，结合选项以及题目“两个极值点”的要求，判断出正确选项. 【详解】函数的定义域为，.当时，，这是一个单调递增函数，只有一个零点，也即有一个极值点，不符合题意，故C,D两个选项错误.当时，令，当时显然成立，当时，，单调递减，而，故时.由此可知当时，，没有极值点，排除B选项.本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查选择题的解法，属于中档题. 9. 已知函数，，其中，若，，使得成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由得，令，，所以，对函数求导，判断其导函数的正负，得出函数在上的单调性，从而得出函数在上的值域，再由题意得出函数的值域的包含关系，得出关于的不等式，解之可得选项. 【详解】由得，令，，所以， 而，令得，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，而，，且，所以在上的值域为， 又，令得，所以，，所以在上单调递增，在上单调递减，而，，且，所以在上的值域为， 因为，，所以的值域为的值域的子集，所以 ，解得， 故选：B. 【点睛】本题考查函数存在和任意的问题，关键在于构造函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性，继而得出其值域的包含关系，属于难度题. 二、填空题： 10. 在的展开式中，常数项为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据二项式的展开式通项求常数项即可. 【详解】因为展开式的通项为，， 令，可得，所以常数项为． 故答案为：20 11. 已知函数，则函数在处的切线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可． 【详解】由，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 故答案为：． 12. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.5 【解析】 【分析】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”，然后结合条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”， 则甲从中选 3 个. 甲选到 的概率为 ， 乙选了 活动，他再选择 活动的概率为: 故答案为: . 13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A， 所以，； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 14. 已知函数 在上不单调，则t的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性，利用函数在上不单调，建立不等式，即可求得的范围. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在，上单调递增，上单调递减， 若在上不单调， 则或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 15. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根． 故答案为：. 三、解答题： 16. 用0，1，2，3，4五个数字． （1）可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？ （2）可以排成多少个四位数？ （3）可以排成多少个四位数字的电话号码？ 【答案】（1）60个 （2）500个 （3）625个 【解析】 【分析】（1）先考虑能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择，再考虑不重复的五位数字，需注意万位不为0，对个位是否为0分类讨论，进而求解； （2）四位数的要求为千位不为0，求解即可； （3）四位数字的电话号码相对（2）的区别在于首位可为0，进而求解. 【小问1详解】 由题，能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择， 需用5个数字组成不重复的五位数，则万位不是0， 所以当个位是0时，共有个； 当个位不是0时，共有个， 所以不重复的且能被2整除的五位数有个. 【小问2详解】 要组成一个四位数，则千位不为0， 所以共有个. 【小问3详解】 要组成一个四位数字的电话号码，则共有个. 17. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1. （1）求与的值； （2）求其展开式中所有的有理项. 【答案】（1）； （2）有理项为，， 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和为128可得，再根据各项系数之和可得，即可求出； （2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项． 【小问1详解】 二项式系数之和为，解得：， 令可得二项式的展开式的系数和为：， 解得：. 小问2详解】 的展开式的通项为： ， 当为整数时，有理项，则时，满足题意， 所以有理项为：，，. 18. 大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. （1）若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 【答案】（1）分布列见详解；； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，结合超几何分布求分布列、期望和方差； （2）记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，求，，结合条件概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有： ， 所以的分布列为 1 2 3 的期望为， 的方差为. 【小问2详解】 有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为， 记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B， 则，， 可得， 所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为. 19. 已知函数 （1）若，求函数的极值； （2）当时，在（1，∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （3）当时，若函数在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极小值为4-8ln2，无极大值. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，通过讨论的单调性，即可得到函数f（x）的极值； （2）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数的取值范围； （3）当 时，易得函数 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 函数的定义域为（+∞），当时， ，解得， 2 0 单调递减 单调递增 所以的极小值为，无极大值 【小问2详解】 由，得在（1，+∞）上恒成立 令，则.. 当时，，当时， 所以，在为单调递减，在为单调递增.. 所以，所以 【小问3详解】 当时，可得函数 函数h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点等价于与函数t有两个不同的交点. . 当时，递减： 当时，，t（x）递增. 由. 要使与函数有两个不同的交点， 则 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数研究函数的极值和函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，（1）的关键是讨论其函数的单调性，即可得到该函数的极值；（2）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题；（3）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于的不等式组． 20. 已知函数 （1）求曲线在处的切线斜率； （2）当时，求证：； （3）设存在两个极值点且，若，求证： 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率； （2）分析可知原题意等价于，构建函数，利用导数证明不等式即可； （3）分析可知在内有2个零点，利用韦达定理可得，构建函数，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 因为，则， 可得，所以曲线在处的切线斜率. 【小问2详解】 若，且，等价于， 构建，则， 构建，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 所以. 【小问3详解】 由题意可知：的定义域为，且， 设， 若存在两个极值点，则在内有2个零点， 可得，解得， 此时的对称轴， 可知在内单调递减，且，则，可得， 且，则，可得， 因为 ， 即，且， 构建， 则， 可知在上单调递减，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第二十一中学2024——2025学年度第二学期 高二年级数学学科期中质量调查 一、单选题： 1. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 2. 若函数，则f（x）的单调递增区间为（　　） A. （0，3） B. （-∞，-1）和 （3，+∞） C. （3，+∞） D. （-1，0） 3. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A. 36 B. 72 C. 600 D. 480 4. 若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则（　　） A. 33 B. 31 C. -33 D. -31 5. 某科技小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加比赛，其中至少有一名女生的选法共有（　　） A. 9种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 6. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 0 7. 已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为 A. （﹣∞，e4） B. （e4，+∞） C. （﹣∞，0） D. （0，+∞） 8. 已知函数（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 9. 已知函数，，其中，若，，使得成立，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 10. 在的展开式中，常数项为_________． 11. 已知函数，则函数在处的切线方程是____________． 12. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 14. 已知函数 在上不单调，则t的取值范围是_______________. 15. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 三、解答题： 16 用0，1，2，3，4五个数字． （1）可以排成多少个不重复能被2整除的五位数？ （2）可以排成多少个四位数？ （3）可以排成多少个四位数字电话号码？ 17. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1. （1）求与的值； （2）求其展开式中所有的有理项. 18. 大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. （1）若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 19. 已知函数 （1）若，求函数的极值； （2）当时，在（1，∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （3）当时，若函数在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 20. 已知函数 （1）求曲线在处切线斜率； （2）当时，求证：； （3）设存两个极值点且，若，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$